Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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1 Nullstellen ganzrationaler Funktionen 1

2 Nikolausproduktion Gewinnoptimierung bei der Nikolausproduktion Weihnachten steht vor der Tür! Die Firma des Unternehmers Niko Laus will herausfinden, ab welcher Stückzahl ihre Produktion von Schokoweihnachtsmännern gewinnbringend verläuft. Der Gewinn wird durch die folgende Funktion beschrieben: g() = 3 0,5 4,5

3 Wiederholung Kurze Wiederholung Nullstellen nennt man die -Werte, mit denen der Term den Wert Null ergibt. Bestimme die Nullstellen der folgenden Terme: Term Nullstellen = 0 = 1 1 ² - ² - = 0 ( ) = 0 0 und ² ² = / = ± 8-4 und - 3

4 Wiederholung Kurze Wiederholung Berechne nun die Nullstellen der folgenden Terme: ( 3)² ( + ) ( ) ² - 16 Term Gleichung ( 3) ( 3) = 0 ( + ) ( - ) = 0 ( + 4) ( - 4) = 0 Nullstellen 3 - und -4 und 4 ² ( + ) ( + ) = 0-4

5 Merksatz I Merksatz I Ein Produkt ist immer genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist! 5

6 Nullstellen berechnen Klar? Berechne die Nullstellen der folgenden Terme: Term f() Gleichung f() = 0 Nullstellen ² ( + 1) ( + 1) = 0-1 ( 7)² ²- 14 ( 7) ( 7) = 0 ( - 14) = und 14 ² - 49 ( 7) ( + 7) = 0-7 und 7 ³ - 8² + 16 ( - 4) ( - 4) = 0 0 und 4 6

7 Merksatz II Merksatz II Besitzt ein Term eine Nullstelle n, so kann ich den Faktor ( N ) ausklammern und den Term auch schreiben als ( N ) Restterm siehe auch Buch S. 95 Satz 1 7

8 Das führt uns auf etwas Neues! Wir suchen die Nullstellen des folgenden Terms: ³ - 6² mit dem Graphen. Er hat offensichtlich drei Nullstellen: bei = 1,, und 3. 8

9 Also stecken im Term drei Faktoren,, die Null werden, für = 1, = und = 3 also gilt... (³ 6 ² ) = ( - 1 ) ( - )( -3) : ( - 1) (³ 6 ² ) : ( - 1) (³ 6 ² ): ( - 1) = = ( )( 3) (² 5 + 6) (³ 6 ² ) = ( 1) (² 5 + 6) - N Restfaktor 9

10 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = : 5 = 10

11 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = : 75 : 5 = : 11

12 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = : 75 : 5 = 1 : 1

13 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = 75 : 5 =

14 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = 3 75 : 5 =

15 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = 3 75 : 5 =

16 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = ( 3 ) 75 : 5 =

17 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = ( 3 ) 4 schriftlich subtrahieren 75 : 5 =

18 Die Polynomdivision Die Polynomdivision und die normale Division ( ) : ( ) = ( 3 ) : 5 =

19 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) : 5 =

20 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) : 5 = 1-5 : : 0

21 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) : 5 = 14-5 : = : 1

22 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) : 5 = 14-5.

23 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) : 5 =

24 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) : 5 =

25 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) : 5 = ( 4 + 8) 5

26 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) ( 4 + 8) 3 subtrahieren 75 : 5 =

27 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) ( 4 + 8) 75 : 5 =

28 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) ( 4 + 8) 75 : 5 =

29 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = 4 ( 3 ) ( 4 + 8) : 5 = : : 9

30 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) : 5 = = 5 : : 30

31 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) 75 : 5 =

32 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) : 5 =

33 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) : 5 =

34 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) : 5 = (3 6) 34

35 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) : 5 = (3 6) 0 subtrahieren 35

36 Die Polynomdivision ( ) : ( ) = ( 3 ) ( 4 + 8) : = 4 : = 4 3 : = 3 (3 6) 0 36

37 Die Polynomdivision Die Polynomdivision ergibt also: ( ) : ( ) = und weiter dividiert ( 4 + 3) : ( 1) = 3 also gilt eben auch ( ) = ( ) ( 4 + 3) = ( ) ( 1) ( 3), wie vorhin bereits festgestellt. 37

38 Übung a : Eine kleine Polynomdivision Aufgabe: Teile ( 4 + 3) : ( 1) =

39 Vier drei Fragen! Vier Fragen : 1. Welche Lösungsverfahren benutzt man zum Berechnen von Nullstellen?. Wofür benötigt man die Polynomdivision? 3. Wie funktioniert die Polynomdivision? 4. Inwiefern kann sie bei der Nikolausproduktion behilflich sein? 39

40 Zusammenfassung! Zu unserer Ausgangsfrage: Gewinnoptimierung bei der Nikolausproduktion: g() = 3 0,5 4,5 Wie können wir hier die Nullstellen bestimmen? Umformen Ausklammern p-q-formel Binomische Formeln? Wir müssen den Term in Faktoren zerlegen, also nehmen wir das Neue: Die Polynomdivision! 40

41 Übung b : Eine weitere Polynomdivision Aufgabe: Teile ( 3 0,5 4,5) : (,5) = ( 3,5 ) 4,5 ( 5 ),5 (,5)

42 Das Puzzle: Graph und Term Zusammenhänge zwischen Term (-1) (-) (-3) und Graph 4

43 Insbesondere jetzt : Das Verhalten des Graphen an den Nullstellen 1.) Vom Graphen zum Term 43

44 1.) Vom Graphen zum Term f() = 0,15 ( + ) ( 3 ) doppelt 44

45 Funktionen - : Arbeitsblatt "Terme und Graphen" Ordne den Graphen die richtigen Funktionsterme zu! y 5 y 5 y 5 y y y y y a) f ( ) = 0,1 ³( + )( 3) b) f ( ) = 0,1 ( + ) ( 3) c) f ( ) = 0,1 ( + )² ( 3)² d) f ( ) = 0,05 ( + ) ( 3)³ e) 4 6 f ( ) = 0,001 ( + )² ( 3) f) f ( ) = 0,15 ( + )² ( 3) g) f ( ) = 0,05 ( + ) ( 3)³ h) f ( ) = 0, ² ( + ) ( 3) i) f ( ) = 0,15 ( + )²( 3) k) f ( ) = 0,1 ( + ) ( 3) y y Name : 45

46 1.) Vom Graphen zum Term Gemeinsamkeiten und Unterschiede der vorgegebenen Graphen NNullstellen Nullstellen (stimmen überein) Grenzwertverhalten ( ± ) (stimmt t teilweise überein) Verhalten des Graphen in der Umgebung der Nullstellen (ist unterschiedlich) 46

47 Man erinnert sich... a n > 0 n ist gerade n ist ungerade a n < 0 47

48 1.) Vom Graphen zum Term Welche Terme gehören jetzt auf jeden Fall in welches der vier Felder? Problem: Wie erkennt man den Grad n und den Faktor a n im faktorisierten Term? 48

49 1.) Vom Graphen zum Term Zusammenfassung I Grenzwertverhalten ( ± ) im faktorisierten Term a n sieht man direkt, denn es ist der Faktor vor dem Produkt. n ist die Summe aller Hochzahlen von! 49

50 Funktionen - : Arbeitsblatt "Terme und Graphen - nun sortiert n gerade n ungerade a n > 0 y 5 y y 5 y 5 y von links oben nach rechts oben von links unten nach rechts oben a n < 0 y 5 y y 5 y 5 y von links unten nach rechts unten von links oben nach rechts unten 50

51 1.) Vom Graphen zum Term Wie können wir aber nun die Terme und Graphen genau zuordnen? Das Verhalten des Graphen in der Umgebung der Nullstellen ist deutlich unterscheidbar. Dafür können nur die Eponenten n in den Faktoren ( Nullstelle ) n verantwortlich sein. Aufgabe: Beobachtet und notiert, wie sich die Veränderung von n auf den Verlauf des Graphen an den Null- stellen auswirkt! 51

52 1.) Vom Graphen zum Term Zusammenfassung II Verhalten des Graphen an einer Nullstelle An einer Nullstelle kann der Graph die -Achse schneiden oder berühren. 1. Bei geradem Eponent berührt der Graph die -Achse,. bei ungeradem Eponent schneidet der Graph die -Achse. 3. Je höher der Eponent,, desto flacher verläuft der Graph in der Umgebung der Nullstelle. 5

53 1.) Vom Graphen zum Term Definition Vielfachheit einer Nullstelle Im faktorisierten Term nennt man den Eponenten n des Faktors ( - Nullstelle ) n die Vielfachheit der Nullstelle N. 53

54 Funktionen - : Arbeitsblatt "Terme und Graphen - nun sortiert n gerade n ungerade a n > 0 y 5 y y 5 y 5 y f ( ) = 0,15 ( + )² ( 3) 4 6 f ( ) = 0,001 ( + )² ( 3) ( ) = 0,1 ( + ) ( 3) f f ( ) = 0,05 ( + ) ( 3)³ f ( ) = 0,1 ³( + )( 3) von links oben nach rechts oben von links unten nach rechts oben a n < 0 y 5 y y 5 y 5 y f ( ) = 0,15 ( + )²( 3) f ( ) = 0, ² ( + ) ( 3) f ( ) = 0,1 ( + ) ( 3) f ( ) = 0,05 ( + ) ( 3)³ f ( ) = 0,1 ( + )² ( 3)² von links unten nach rechts unten von links oben nach rechts unten 54

55 .) Vom Term zum Graphen Umgekehrt Vom Term zum Graphen Zum Skizzieren eines Graphen dienen: - das Grenzwertverhalten ( ± ) ± ): Grad n und a n ablesen a n > 0 a n < 0 n gerade von links oben nach rechts oben von links unten nach rechts unten n ungerade von links unten nach rechts oben von links oben nach rechts unten - die Nullstellen - die Vielfachheit der Nullstellen 55

56 .) Vom Term zum Graphen Rückblick 1. Die Vielfachheit einer Nullstelle ist der Eponent n des. Faktors ( Nullstelle ) n im faktorisierten Term.. Am Eponenten n erkennt man den Verlauf des Graphen in der Umgebung der Nullstelle: Zusammenfassung II 3. Bei geradem Eponenten n berührt der Graph, bei ungeradem Eponenten n schneidet der Graph die -Achse. 4. Je höher der Eponent, desto flacher verläuft der Graph in der Umgebung der Nullstelle. 56

57 Und die drei Fragen... Die drei Fragen 1.Wann berührt und wann schneidet der Graph die -Achse?.Was kann euch beim Skizzieren des Graphen behilflich sein? 3.Welche Auswirkungen hat der Wert der Vielfachheit auf den Steigungsverlauf des Graphen an der Nullstelle? 57

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