Gleichungen höheren Grades

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1 GS c_hoeheregl.mcd Definition: Eine Gleichung der Form k = 0 heißt "Gleichung n-ten Grades". Gleichungen höheren Grades n a k k = 0 mit der Definitionsmenge ID IR und a n 0 Schreibweise: n k = 0 a k k = 0 a 0 + a + a a n n + a n n = 0 Allgemeine : Durch Abspaltung von möglichst vielen Linearfaktoren wird der Grad der Gleichung bis zum Eponenten k = erniedrigt, dann Anwendung der Mitternachtsformel. ( ) ( ).... b + b + c = 0. Möglichkeit: "Reine" Gleichung höheren Grades a 0 + a n n = 0 n a 0 = n = c durch Ziehen der n-ten Wurzel. a n. Fall: n gerade und c> 0. Fall: n gerade und c< 0. Fall: n ungerade und c> 0. Fall: n ungerade und c< 0 a 0 n n < 0 a = c und = c n a 0 > 0 Gleichung besitzt keine in IR a n a 0 n < 0 a = c (nur eine!) n a 0 n > 0 a = c (nur eine!) n. Möglichkeit: Erzeugung der Linearfaktoren durch Ausklammern a 0 = 0 oder a 0 = 0 a = 0 oder a 0 = 0 a = 0 a = 0 usw. Ausklammern der höchstmöglichen Potenz von und Produkt gleich Null. z.b. bei einer Gleichung. Grades: a 0 + a + a + a + a = 0 speziell: a + a + a + a = 0 a + a + a + a = 0 = 0 a + a + a = 0 a + a + a = 0 = 0 a + a = 0 a + a = 0 = 0 a = 0 = 0 = 0 /

2 . Möglichkeit: Gleichung besitzt eine ganzzahlige Polynomdivision ohne Rest z. B. bei einer Gleichung. Grades: a 0 + a + a + a = 0 teilbar. ist a + a + a + a 0 ist durch Es gilt: a + a + a + a 0 : ( ) = a + b + b 0. Möglichkeit: Biquadratische Gleichungen. Fall: a 0 + a + a = 0 Substitution = t a 0 + a t+ a t = 0 der quadratischen Gleichung und Resubstituition liefert die reinquadratischen Gleichungen: = t und = t Auflösen durch Wurzelziehen, sofernt > 0 bzw. t > 0. en: = t ; = t ; = t ; = t ;. Fall: a 0 + a + a = 0 Substitution = t a 0 + a t+ a t = 0 der quadratischen Gleichung und Resubstituition liefert die reinen kubischen Gleichungen: = t und = t Auflösen durch Wurzelziehen. en: t > 0 = t bzw. t < 0 = t t > 0 = t bzw. t < 0 = t 5. Möglichkeit: Gleichung besitzt keine ganzzahlige und ist nicht biquadratisch numerische Verfahren, z.b. Tangentenverfahren (Newton'sche Näherung), Sekantenverfahren (Regula Falsi), Intervallhalbierung, usw. Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. /

3 Aufgabe : a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: = 0 = sweg: : Auflösen nach und. Wurzel ziehen. IL = { ; } = 0 auflösen, i i =...i.i keine in IR keine in IR Darstellung der Gleichung mit : Linke Funktion: Rechte Funktion: Differenzfunktion: l := r := d := l r + Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d = 0 L =.. /

4 Graphische der Gleichung: Gleichheit der Funktionswerte Differenzfunktion 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 /

5 Aufgabe : a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: + = 0 = : Gleichung besitzt keine in IR. IL = { } Darstellung der Gleichung mit : Linke Funktion: Rechte Funktion: l := r := Differenzfunktion: d := l r + besitzt keine Nullstellen Gleichheit der Funktionswerte Differenzfunktion Achse Graph von l() Graph von r() 0 -Achse Graph von d() 5 /

6 Aufgabe : a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: = 0 = sweg: : Auflösen nach und. Wurzel ziehen. IL = { } = 0 auflösen, Darstellung der Gleichung mit : + i i = i i keine in IR keine in IR Linke Funktion: Differenzfunktion: l := Rechte Funktion: d := l r + r := Bestimme diejenigen -Werte, für die gilt: d = 0 + = 0 L =.587 Gleichheit der Funktionswerte Differenzfunktion 0 0 -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 /

7 Aufgabe : a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: + = 0 = sweg: Bemerkung: Auflösen nach und. Wurzel ziehen. =.587 =.587 IL = { } : + = 0 auflösen, Darstellung der Gleichung mit : + i i.587 = i keine in IR i keine in IR Linke Funktion: l := Rechte Funktion: r := Differenzfunktion: d := l r + d = 0 + = 0 L =.587 Gleichheit der Funktionswerte Differenzfunktion Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse -Achse Graph von d() : d() = 0 7 /

8 Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: sweg: : + 0 = 0 Polynomdivision ohne Rest. Definition der Polynomfunktion: f := + 0. wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 0: f = keine f = 0 := Polynomdivision: der quadratischen Gleichung: Mathcad - : + 0 in Partialbrüche zerlegt, ergibt + 0 = 0 auflösen, L := + 0 = 0 auflösen, 5 IL = { 5 ; ; } Graphische der Gleichung: Graph von f() -Achse 8 /

9 Aufgabe : a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: = 0 sweg: Polynomdivision ohne Rest. : Definition der Polynomfunktion: f := wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 0. f = keine f = keine f = 0 := Polynomdivision: in Partialbrüche zerlegt, ergibt der kubischen Gleichung: = 0 Definition der Polynomfunktion: p := wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 0. f( 5) = keine f( 5) = 0 := 5 Polynomdivision: der rein quadratischen Gleichung: = 0 auflösen, Mathcad - : in Partialbrüche zerlegt, ergibt L := = 0 auflösen, IL = { 5 ; ; ; } 5 9 /

10 Graphische der Gleichung: f Graph von f() -Achse 0 /

11 Aufgabe 7: a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: + = 0 sweg: Substitution = t : Substitution: + = 0 ersetzen, = t ersetzen, = t t t+ = 0 der quadratischen Gleichung: t t+ = 0 auflösen, t 9 Resubstitution: = auflösen, = 9 auflösen, Mathcad - : L := + = 0 auflösen, IL = { ; ; ; } Definition der Polynomfunktion: f := + Graphische der Gleichung: Graph von f() -Achse /

12 Aufgabe 8: a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: 5 = 0 sweg: Substitution = t : Substitution: 5 = 0 ersetzen, = t ersetzen, = t t 5 t = 0 der quadratischen Gleichung: t 5 t = 0 auflösen, t 9 Resubstitution: = 9 auflösen, = auflösen, i i keine Mathcad - : L := 5 = 0 auflösen, i i keine keine IL = { ; } Definition der Polynomfunktion: f := 5 Graphische der Gleichung: Graph von f() -Achse /

13 Aufgabe 9: a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: 7 8 = 0 sweg: Substitution = t : Substitution: 7 8 = 0 ersetzen, = t ersetzen, = t t 7 t 8 = 0 der quadratischen Gleichung: t 7 t 8 = 0 auflösen, t 8 Resubstitution : = auflösen, + i i keine keine Resubstitution : = 8 auflösen, + i i keine keine Mathcad - : L := 7 8 = 0 auflösen, i i + + i i keine keine keine keine IL = { ; } /

14 Definition der Polynomfunktion: f := 7 8 Graphische der Gleichung: Graph von f() -Achse /

15 Aufgabe 0: a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: = 0 sweg: Newton'sches Verfahren (Formelsammlung Seite 0): Ist ein Näherungswert für die Nullstelle von f, so ist f T = f ( ) ein neuer, im allgemeinen besserer Näherungswert. : Polynomfunktion: f := Ableitung: f d := d f Funktionswerte: f( ) = f( ) = im Intervall ] ; [ Startwert: 0 := f 0. Näherung: := 0 f = f. Näherung: := f =.7 f. Näherung: := f =.70 f. Näherung: := f =.708 Mathcad - :.7085 L + auflösen, := = i keine gleit, i keine 5 /

16 Definition der Polynomfunktion: f := Graphische der Gleichung: Achse Graph von f() /