Theorie 3: Graphische Veranschaulichung der Fallunterscheidung
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- Hilko Albrecht
- vor 6 Jahren
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1 Die Formel von Cardano - mit grahischer Lösung Theorie : Grahische Veranschaulichung der Fallunterscheidung Gegeben ist eine kubische Gleichung in reduzierter Form: x x = 0 mit 0 IR. Definieren Sie einen Funktionsterm, bestimmen Sie die Monotonieeigenschaften sowie die Lage der Extremunkte. Definition eines Funktionsterms: f( x) = x x. Ableitung: f' ( x) = x Horizontale Tangenten: f' ( x) = 0 x = 0 Lösungen und Funktionswerte: x = ; f x x = ; f x = = Fall : Für > 0 gilt Die Funktion f hat keine Extrema und nur eine reelle Nullstelle. Fall : Für < 0 gilt Die Funktion f hat ein Maximum und ein Minimum. x = f x x = f x = Maximum = Minimum Je nach der Lage der Extrema können eine, zwei oder drei reelle Wurzeln auftreten. Seite von
2 Fall a: Eine reelle Wurzel Wenn beide Werte der Extrema ositiv bzw. negativ sind, hat die gegebene Gleichung nur eine reelle Wurzel. Bedingung: fx f x 0 0 vereinfachen 7 0 Fall b: Drei reelle Wurzeln Wenn die Werte des Maximums und des Minimums ungleiche Vorzeichen besitzen, hat die gegebene Gleichung drei reelle Lösungen. Bedingung: fx f x 0 0 vereinfachen 7 0 Fall c: Zwei reelle Wurzeln Wenn nur einer der Werte des Maximums oder des Minimums Null ist, hat die gegebene Gleichung zwei reelle Lösungen. Bedingung: fx f x = 0 = 0 vereinfachen 7 = 0 Fall : Sonderfälle 0 = 0 f( x) = x x 0 0 genau eine Nullstelle genau drei Nullstellen = 0 0 f( x) = x genau eine einfache Nullstelle = 0 = 0 f( x) = x genau eine dreifache Nullstelle Seite von
3 Aufgabe Gegeben ist eine kubische Gleichung y by mit b 0, c und d. cy d = 0 a) Bringen Sie die Gleichung in die reduzierte Form x x = 0. b) Untersuchen Sie die Funktion f( x) = x x auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. c) Bestimmen Sie die Nullstellen mit der Lösungsformel von Cardano und zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Grahen der Funktion f. Gegeben: b 0 c d Gleichung: y by cy d 0 = y y = 0 Teilaufgabe a) Koeffizienten: b c b cb d 7 Reduzierte Form: x x 0 = x x = 0 Teilaufgabe b) Funktionsterm: f( x) x x f( x) x x Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Existenz der Extrema Extrema: f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x i i Folgerung: Extrema "keine" Anzahl der Nullstellen Nullstellen "eine einfache" Seite von
4 Teilaufgabe c) Diskriminante nach Cardano: D D.9 Lösungsformel für die Nullstelle: x D D x 0.77 Grah mit einer Nullstelle 8 y-achse 0 8 x-achse Mathcad-Lösung: 05 x NS f( x) = 0 x 9 x = 0 x NS Seite von
5 Aufgabe Gegeben ist eine kubische Gleichung y by mit b, c und d. cy d = 0 a) Bringen Sie die Gleichung in die reduzierte Form x x = 0. b) Untersuchen Sie die Funktion f( x) = x x auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. c) Bestimmen Sie die Nullstellen mit der Lösungsformel von Cardano und zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Grahen der Funktion f. Gegeben: b c d Gleichung: y by cy d 0 = y y y = 0 Teilaufgabe a) Koeffizienten: b c b cb d 7 Reduzierte Form: x x 0 = x x = 0 Teilaufgabe b) Funktionsterm: f( x) x x f( x) x x Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Existenz der Extrema Extrema: x E f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x Folgerung: Extrema "zwei ohne Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten" Anzahl der Nullstellen Nullstellen "eine einfache" Seite 5 von
6 Teilaufgabe c) Diskriminante nach Cardano: D D.95 Lösungsformel für die Nullstelle: x D D x.89 Grah mit einer Nullstelle 8 y-achse 0 8 Nullstelle: x.89 Hochunkt: x H 0.8 y H.9 Tiefunkt: x T 0.8 y T.089 x-achse Mathcad-Lösung: 7 x NS f( x) = 0 x 5 x = 0 x NS.89 8 Seite von
7 Aufgabe Gegeben ist eine kubische Gleichung y by cy a) Bringen Sie die Gleichung in die reduzierte Form x x d = 0 mit b = 0., c und d. b) Untersuchen Sie die Funktion f( x) = x x auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. c) Bestimmen Sie die Nullstellen mit der Lösungsformel von Cardano und zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Grahen der Funktion f. Gegeben: b c d Gleichung: y by cy d 0 = y y y = 0 Teilaufgabe a) Koeffizienten: b c b cb d 7 Reduzierte Form: x x 0 = x x = 0 Teilaufgabe b) Funktionsterm: f( x) x x f( x) x x Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Existenz der Extrema Extrema: x E f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x Folgerung: Extrema "zwei mit Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten" Anzahl der Nullstellen Nullstellen "drei einfache" Seite 7 von
8 Teilaufgabe c) Diskriminante nach Cardano: D D.7 Lösungsformel für die Nullstelle: x D D x.75 x i D D i x. x i D D i x 0.59 y-achse Grah mit drei Nullstellen x-achse Nullstellen: x.75 x. x 0.59 Hochunkt: x H.55 y H Tiefunkt: x T.55 y T.079 Mathcad-Lösung: Berechnung der Nullstellen.75 x NS Seite 8 von
9 Aufgabe Gegeben ist eine kubische Gleichung y by cy a) Bringen Sie die Gleichung in die reduzierte Form x x d = 0 mit b, c 0und d 0. = 0. b) Untersuchen Sie die Funktion f( x) = x x auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. c) Bestimmen Sie die Nullstellen mit der Lösungsformel von Cardano und zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Grahen der Funktion f. Gegeben: b c 0 d 0 Gleichung: y by cy d 0 = y y = 0 Teilaufgabe a) Koeffizienten: b c b 7 cb d 7 Reduzierte Form: x x = x x 0 = 0 7 Teilaufgabe b) Funktionsterm: f( x) x x f( x) x x 7 Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Existenz der Extrema Extrema: x E f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x Folgerung: Extrema "zwei, wobei eines Nullstelle ist" Anzahl der Nullstellen Nullstellen "eine einfache und eine zweifache" Seite 9 von
10 Teilaufgabe c) Diskriminante nach Cardano: D D 0 Lösungsformel für die Nullstelle: x D D x. x i D D i x 0.7 x i D D i x 0.7 y-achse Grah mit zwei Nullstellen x-achse Nullstellen: x. x 0.7 x 0.7 Hochunkt: x H 0.7 x T 0.7 Tiefunkt: x T 0.7 y T 0 Mathcad-Lösung: Berechnung der Nullstellen 0.7 x NS 0.7. Seite 0 von
11 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f( x) = x x. a) Untersuchen Sie den Sonderfall 0 = 0 auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. Konkret:, 0. b) Untersuchen Sie den Sonderfall = 0 0 auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. c) Untersuchen Sie den Sonderfall = 0 = 0 auf Extrema und geben Sie die Anzahl der Nullstellen an. Teilaufgabe a) Gegeben: 0 Koeffizienten: 0 Reduzierte Form: x x 0 = x x = 0 Funktionsterm: f( x) x x f( x) x x Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Existenz der Extrema Horizontale Tangenten : x E f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x i i Folgerung: Extrema "keine" Anzahl der Nullstellen Nullstellen "eine einfache" Diskriminante nach Cardano: D D 0.07 Lösungsformel für die Nullstelle: x D D x 0 Seite von
12 Grah mit einer Nullstelle 8 Nullstelle: x 0 y-achse 0 8 x-achse Mathcad-Lösung: x NS f( x) = 0 x x = 0 0 x NS 0 Teilaufgabe b) Gegeben: 0 Koeffizienten: 0 Reduzierte Form: x x 0 = x = 0 Funktionsterm: f( x) x x f( x) x Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Existenz der Extrema Horizontale Tangenten : x E f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x 0 0 Folgerung: kein Extremum Seite von
13 x NS f( x) 0 = x = 0 auflösen x i i Grah mit einer Nullstelle 8 Nullstelle: x y-achse 0 8 x-achse Mathcad-Lösung: x NS f( x) = 0 x = 0 x NS Seite von
14 Teilaufgabe c) Gegeben: 0 0 Koeffizienten: 0 0 Reduzierte Form: x x 0 = x = 0 Funktionsterm: f( x) x x f( x) x Ableitung: f' ( x) d dx f( x) f' ( x) x Horizontale Tangenten : x E f' ( x) = 0 x = 0 auflösen x 0 0 Folgerung: kein Extremum x NS f( x) 0 = x = 0 auflösen x Grah mit einer Nullstelle 8 y-achse 0 8 x 0 x-achse Seite von
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