Gebrochen-rationale Funktionen

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1 Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion (Polynom) befindet: Eigenschaften f(x) = g(x) h(x) Echt gebrochen-rationale Funktion Der Grad des Zählerpolynoms g(x) ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms h(x). Beispiel: f(x) = 2x3 +10x 2 3 6x 4 Unecht gebrochen-rationale Funktion Der Grad des Zählerpolynoms g(x) ist größer als der Grad des Nennerpolynoms h(x). Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochen-rationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochen-rationalen Term zerlegt werden. Beispiel: f(x) = 2x3 +10x 2 3x 6x 2 Seite 1 von 11

2 Definitionsbereich, Definitionslücken und Nullstellen Jede gebrochen-rationale Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Bei einer gebrochen-rationalen Funktion gehören nur die reellen Zahlen zum Definitionsbereich, für die die Nennerfunktion h(x) verschieden von Null ist. Daher ist nicht jede gebrochenrationale Funktion für alle rationalen Zahlen definiert. Die Stellen x0 mit h(x0)=0, für die die Funktion f(x) nicht definiert ist, heißen Definitionslücken. Definitionslücken Stellen, an denen der Nenner Null wird und die Funktion nicht definiert ist. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Hebbare Definitionslücken (stetig behebbare Definitionslücke) Polstellen (Unendlichkeitsstellen). Eine gebrochen-rationale Funktion kann mehrere oder keine Definitionslücken haben. Hebbare Definitionlücken Unter einer hebbaren Definitionslücke x0 versteht man eine Definitionslücke, die durch Kürzen des Funktionsterms behoben werden kann. Der Definitionsbereich wird dadurch aber nicht verändert. Die Funktion f(x) ist damit an der Stelle x0 stetig fortsetzbar. Formal muss lim x> x0 f(x) = a und lim x< x0 f(x) = a gelten. Dann schreibt man kürzer: lim x x0 f(x) = a Polstellen An dieser Definitionslücke nähert sich der Graph der Funktion immer mehr einer Geraden parallel zur y-achse an d.h. an der Definitionslücke x 0, einer gebrochen rationalen Funktion f gilt: lim f(x) = + oder lim f(x) = x x 0 x x0 < < und lim f(x) = + oder lim f(x) = x x0 x x0 > > Die Gerade mit der Gleichung x = x 0 ist die senkrechte Asymptote des Graphen von f. Seite 2 von 11

3 Es gibt vier Arten von Polstellen. Polstellen mit Vorzeichenwechsel und Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. Polstellen mit Vorzeichenwechsel nennt man auch Polstellen ungerader Ordnung und Polstellen ohne Vorzeichenwechsel nennt man auch Polstellen gerader Ordnung. Nullstellen Die Nullstellen des Zählerpolynoms einer gebrochen rationalen Funktion f, die nicht Definitionslücken von f sind, sind ihre Nullstellen. Einfluss von Parametern auf den Graphen der Funktion Für die drei Funktionen k, g und h mit k(x) = a x, g(x) = g(x) = f(x + c) und h(x) = f(x) + d a x+c und h(x) = a x + d gilt: Wenn der Graphen zur Funktionsgleichung y = a bekannt ist, erhält man durch Verschieben x im Koordinatensystem auch den Graphen zur Gleichung y = a + d. Die Form des Graphen ändert sich durch die Parameter c und d nicht. Einfluss des Parameters c Wenn eine Zahl c zu x addiert wird, dann verschiebt sich der Graph der Funktion parallel zur y -Achse, für c < 0 nach rechts, für c > 0 nach links. x+c Seite 3 von 11

4 Beispiel: k(x) = 2 x, g(x) = 2 x+4 Hier: 4>0 Verschiebung nach links Einfluss des Parameters d Wenn eine Zahl d zum Funktionswert k(x) addiert wird, dann verschiebt sich der Graph der Funktion parallel zur x -Achse, für d < 0 nach unten, für d > 0 nach oben. Beispiel: k(x) = 2 x, h(x) = 2 x + 4 Hier: 4>0 Verschiebung nach oben Die Funktionsgleichung kann auch beide Parameter gleichzeitig enthalten. Der Graph zu y = a wird dann entlang der x- und y-achsen verschoben. x Einfluss des Parameters a Es gibt 4 Fälle: 1. Fall a>1: Streckung des Graphen 2. Fall 0<a<1: Stauchung des Graphen 3. Fall -1<a<1: Stauchung des Graphen und Spiegelung an der x-achse 4. Fall a<-1: Streckung des Graphen und Spiegelung an der x-achse Seite 4 von 11

5 Zählergrad und Nennergrad Zählergrad Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt. Beispiel: f(x) = x4 + 9x 3 10x + 25 x Der Zählergrad der Funktion ist 4, da x 4 die höchste Potenz im Zähler ist. Nennergrad Unter dem Nennergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt. Beispiel: f(x) = x4 + 9x 3 10x + 25 x Der Nennergrad der Funktion ist 2, da x 2 die höchste Potenz im Nenner ist. Waagerechte und senkrechte Asymptoten Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion f(x) beliebig nähert, ohne sie zu berühren. Es gibt drei Arten von Asymptoten: Senkrechte Asymptoten Waagrechte Asymptoten Schräge Asymptoten Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke) Wird der Betrag der Funktionswerte beliebig groß, während sich die x-werte einer Definitionslücke b annähern, dann hat die gebrochen-rationale Funktion eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = b. b nennt man dann auch Polstelle der Funktion. Seite 5 von 11

6 Beispiel: f(x) = 1 x+2, D=R\{-2} b=-2; x=-2 Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad Für f(x)= a n x n +a n 1 x n 1 + a 1 x+a 0 e m x m +e m 1 x m 1 + +e 1 x+e 0 Fall 1: Zählergrad < Nennergrad [n<m] In diesem Fall ist die x-achse die waagrechte Asymptote [Beispiel 1]. Bei der Addition einer Konstante c, entspricht die waagrechte Asymptote y=c [Beispiel 2]. Fall 2: Zählergrad = Nennergrad [n=m] In diesem Fall ist die zu x-achse parallel Gerade mit der Gleichung y = a n e m die waagrechte Asymptote. Bei der Addition einer Konstante c, entspricht die waagrechte Asymptote y= a n e m +c. Beispiele 1: f(x) = 1 x+2 y=0 Seite 6 von 11

7 Beispiel 2: f(x) = 1 x y=3 Schräge Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1 Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad +1 ist, wird der Restterm, d.h. der gebrochen rationale Term, der sich bei der Polynomdivision ergibt, für immer größer werdende Werte von x immer kleiner und nähert sich 0 an. Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion nähert sich damit immer weiter dem Graphen der Asymptote an. Beispiel: f(x)= x2 1 x f(x) = x2 1 = x 1 x x x In diesem Fall ist die Funktion y = x die Asymptote und y = 1 der Restterm. x Keine schräge oder waagrechte Asymptote Zählergrad > Nennergrad + 1 Wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad +1 ist, gibt es weder eine schräge noch eine waagrechte Asymptote. Seite 7 von 11

8 Übungsaufgaben Aufgabe 1: Geben Sie eine gebrochen-rationale Funktion f an, deren Graph G f die x-achse im Punkt N(2 0) schneidet und Asymptoten mit dem Gleichungen x = 3 und y = 1 x + 1 besitzt. Skizzieren Sie 2 G f. Aufgabe 2: Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x) = 9 x2 x Untersuchen Sie dazu geeignete Eigenschaften der Funktion und des Funktionsgraphen und zeichnen Sie den Graphen. Seite 8 von 11

9 Lösung 1: Der Graph der Funktion g(x) = x 2 besitzt eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x 3 x = 3 und N ist wegen g(2) = 0 eine Nullstelle des Graphen. Die Funktion besitzt jedoch eine waagrechte (Zählergrad=Nennergrad) und nicht die geforderte senkrechte Asymptote. Der Graph der Funktion h(x) = 1 x besitzt zwar die geforderte schräge Asymptote, 2 x 3 enthält aber den Punkt N wegen h(2) = 1 jedoch nicht. Der Graph der Funktion f(x) = 1 x hat mit f(2) = 0 alle drei geforderten Eigenschaften. x 3 Seite 9 von 11

10 Lösung 2: 1. Definitionslücken: Der Funktionsterm ist nicht definiert, wenn der Nenner gleich null ist: x 2 16 = 0 x 1 = 4; x 2 = 4 Maximale Definitionsmenge ist also Df=R\{-4;4}. Da der Zähler für x= 4 und x= 4 ungleich 0 ist, liegen Polstellen vor. 2. Senkrechte Asymptoten: 9 x 2 f(x) = (x 4)(x + 4) = 9 x2 (x 4) 1 (x + 4) Für x 4 gilt: 7 /+ 8 Setzt man 4 in den ersten Faktor ein, erhält man 7. 8 Der zweite Faktor ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus. x 1 = 4 ist daher Polstelle mit Vorzeichenwechsel von nach +. f(x) = 9 x 2 (x 4)(x + 4) = 9 x2 (x + 4) 1 (x 4) Für x 4 gilt: 7 /+ 8 Setzt man +4 in den ersten Faktor ein, erhält man 7. 8 Der zweite Faktor ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus. Links von 4 sind beide Faktoren negativ; das Produkt ist also positiv. Rechts von 4 ist der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv; das Produkt ist also negativ. Das Produkt der beiden Faktoren ändert somit ihr Vorzeichen von Plus nach Minus! x 2 = 4 ist daher Polstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach. Die Geraden mit den Gleichungen x = 4 und x = 4 sind senkrechte Asymptoten des Graphen von f. 3. Symmetrie: Es gilt: f( x) = 9 ( x)2 ( x) 2 16 = 9 x2 x 2 16 = f(x) Der Graph ist daher achsensymmetrisch bezüglich der y-achse. 4. Nullstellen: 9 x 2 = 0 x 3 = 3; x 4 = 3 5. Schnittpunkte mit der y-achse f(0) = 9 16 = 9 16 Seite 10 von 11

11 6. Waagrechte oder schräge Asymptoten Zählerpolynom und Nennerpolynom haben beide den Grad 2, also liegt keine schräge, aber eine waagrechte Asymptote vor. f(x) = x2 ( 9 x 2 1) x 2 (1 16 x 2) = 9 x x 2 Für große x-werte geht der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen +1. Damit folgt: f(x) = 1 lim x ± Die Gerade mit der Gleichung y = 1 ist also waagrechte Asymptote des Graphen von f. Seite 11 von 11