Funktionen-Katalog. I. Geraden. f(x) = 1 oder y = 1. x = 1. eine Gerade parallel zur x-achse. Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f(x) = - x

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1 Funktionen-Katalog I. Geraden II. Ganzrationale Funktion: Parabeln -ten Grades 3-ten Grades Parabeln höheren Grades III. Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Polstellen... IV. Eponentialfunktionen V. Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Allgemeine Sinusfunktion VI. Überblick über die wichtigsten Funktionen I. Geraden f() = 1 oder y = 1 = 1 eine Gerade parallel zur -Achse f() = Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f() = - Erste Winkelhalbierende - Steigung 1 f() = + 1 Zweite Winkelhalbierende - Steigung -1 f() = - 0,5 + Gerade mit Steigung und y-achsenabschnitt 1 Gerade mit Steigung -0,5 (nach unten) und y-achsenabschnitt j.rudolf@web.de / 1

2 Ganzrationale Funktionen 1.) Parabeln -ten Grades f() = ² (Parabel) f() = -² Normalparabel - 1 Tiefpunkt - achsensymmetrisch f() = ² an der -Achse gespiegelt - 1 Hochpunkt f() = -0,5 ² Steilere Parabel (Faktor ) f() = ² + 1 Parabel umgeklappt / flacher (Faktor 0,5) 1 Hochpunkt f() = ² - Parabel um nach oben verschoben keine Nullstelle f() = ( - 1)² Parabel um nach unten verschoben Nullstellen f() = ( - 1)² - = ² Parabel um 1 nach rechts verschoben Um 1 nach rechts, nach unten verschoben j.rudolf@web.de /

3 .) Parabeln 3-ten Grades f() = ³ f() = -³ Parabel 3-ten Grades - punktsymmetrisch 1 Wendepunkt - 1 Nse - monoton wachsend f() = ³ + 1 monoton fallend f() = ³ - ² um 1 nach oben verschoben - 1 Nullstelle f() = ³ - HP berührt -Achse - TP - WP - Nullstellen 3 Nullstellen -HP - TP - WP j.rudolf@web.de / 3

4 3.) Parabeln höheren Grades f() = 4 f() = - 4 analog zur Parabel -ten Grades - aber steiler f() = 4 - ² + 1 an der -Achse gespiegelt f() = 4 - ² + 0,5 Tpe - 1 HP - Wpe - Nse f() = 4 - ² 4 Nullstellen f() = 4 + ³ 3 Nullstellen f() = 5 1 TP - Wpe - Nsen f() = analog zur Parabel 5 Grades 4 Nsen - Hpe - Tpe - 3 Wpe j.rudolf@web.de / 4

5 II. Gebrochenrationale Funktionen f() = 1 (Hyperbel) f() = - 1 waagrechte Asymptote y = 0 - senkrechte Asymptote = 0 mit Vorzeichenwechsel f() = 1 an der -Achse gespiegelt f() = - 1 ohne Vorzeichenwechsel an der -Achse gespiegelt j.rudolf@web.de / 5

6 Verschiedene Verhalten für ± (Maßgeblich sind Zählergrad und Nennergrad - es gibt vier Fälle) f() = + 3 f() = 4 + waagrechte Asymptote y = 0, da Zählergrad < Nennergrad f() = = + + ( ) waagrechte Asymptote y = 4/ = (Koeffizienten vor höchsten Eponenten dividieren), da Zählergrad = Nennergrad f() = = ( ) Schiefe Asymptote y = + (nach Polynomdivision), da Zählergrad = Nennergrad +1 Näherungspolynom y = ² + + (nach Polynomdivision), da Zählergrad > Nennergrad +1 j.rudolf@web.de / 6

7 Die senkrechten Asymptoten (= Polstellen) Entscheidend ist, den Term zu faktorisieren und zu kürzen, um so die Nullstellen von Nenner und Zähler bestimmen zu können - es gibt drei Fälle: Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel, Lücke f() = 1 f() = 1 ( ) senkrechte Asymptote bei =, da Nullstelle des Nenners - mit Vorzeichenwechsel, da einfache Nse f() = ( ) = senkrechte Asymptote bei =, da Nullstelle des Nenners - ohne Vorzeichenwechsel, da doppelte Nse ( ) f() = = ( ) Lücke bei = - keine Polstelle, da die Nullstelle des Nenners sich herauskürzt ( + 1)( ) f() = = ( + 1)( ) ( + ) ( )( + ) Lücke bei = 0 (herausgekürzt) und Polstelle mit VZW bei = (einfache Nullstelle nach dem kürzen) 4 f() = + 1 Lücken bei = 0 und = -1 (herausgekürzt), Polstelle mit VZW bei = und Polstelle ohne VZW bei = keine Polstelle oder Lücke, da der Nenner nie Null wird j.rudolf@web.de / 7

8 Weitere Effekte: Nullstellen, Etrempunkte, Wendepunkte, Asymptote wird geschnitten f() = 1 1 f() = + 0, waagrechte Asymptote y = - Nsem f() = 3 waagr. Asy.: y = - - keine senkr. Asy Nsen - 1 HP - Wpe 3 f() = + 1 waagr. Asy.: y = - - senkr. Asy. = 0-1 TP - 1 WP - f() schneidet waagr. Asy waagr. Asy.: y = - - keine senkr. Asy. - 1 HP - 1 TP - 1 WP - f() schneidet waagr. Asy. j.rudolf@web.de / 8

9 IV. Eponentialfunktionen f() = e f() = - e monoton wachsend - Asymptote y = 0 immer positiv f() = e monoton fallend - Asymptote y = 0 immer negativ f() = - e monoton fallend - Asymptote y = 0 immer positiv f() = e monoton wachsend - Asymptote y = 0 immer negativ f() = e + Asymptote y = - (nach unten verschoben) Nullstelle bei = ln schiefe Asymptote y = - Nullstelle (mit Newtonverfahren) = 0,44... j.rudolf@web.de / 9

10 Besonderheiten f() = e f() = e y-achsenabschnitt bei f() = e e Asymptote bei y= 0 ( e fällt schneller ) Nullstelle (Faktor!) bei = 0 zusätzlich TP und WP f() = 5 4e keine Asymptote f() = e + e Begrenztes Wachstum (monoton wachsend, Asymptote bei y = 5) f() = e e + 1 keine Asymptote Asymptote y = 1 Nullstelle (über Substitution: e = u): = 0 j.rudolf@web.de / 10

11 VII. Trigonometrische Funktionen Alles im Bogenmaß ( Taschenrechner: RAD statt DEG - Es gilt 180 f() = sin() π =ˆ π - Umrechnung: = α 180 f() = cos() ) Amplitude 1 (also von -1 bis +1) durch (0 0) mit Steigung 1 f() = tan() Amplitude 1 (also von -1 bis +1) durch (0 1) mit Steigung 0 f() = sin²() Polstellen bei -! Zwischen 0 und 1 j.rudolf@web.de / 11

12 Allgemeine Sinusfunktion f() = a sin(b + c) + d f() = a sin() (im Vergleich zu sin()) Streckung in y-richtung um den Faktor a Dieser Faktor vor der Sinusfunktion heißt Amplitude. Er bestimmt den "Ausschlag" der Sinusfunktion f() = sin() + d Verschiebung in y-richtung um d: Zusammen: f() = a sin() + d Streckung und Verschiebung in y-richtung: Funktion oszilliert zwischen -a +d und a + d. j.rudolf@web.de / 1

13 f() = sin(b) Stauchung in -Richtung um den Faktor b (Periode T = " /b): f() = sin( + c) Verschiebung in -Richtung nach links um d: Nullpunkt: + c = 0 " = - c Zusammen: f() = sin(b + c) Periode T = " /b, Verschiebung nach links um c/b: Nullpunkt: b + c " = - c/b j.rudolf@web.de / 13

14 VI. Die wichtigsten Schaubilder im Überblick f() = 1 oder y = 1 = 1 f() = ² (Parabel) f() = ³ f() = 1 (Hyperbel) f() = 1 f() = e f() = e f() = sin() f() = cos() Last Update: j.rudolf@web.de / 14