Funktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.

Transkript

1 R. Brinkmann Seite Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden sollen einige Funktionen kurz vorgestellt und der Verlauf deren Graphen prinzipiell dargestellt werden. Für den Bereich der Sozialpädagogik haben e-funktionen und Logarithmusfunktionen eine gewisse Bedeutung. Auf diese Funktionsklasse soll dann in Verbindung mit der Differential- und Integralrechnung näher eingegangen werden. Als weiteres wären da noch die gebrochenrationalen Funktionen von gewissem Interesse. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden. Die wesentliche Eigenschaft einer Funktion ist: Jedem Wert der unabhängigen Variablen () wird genau ein Funktionswert f() zugeordnet. Die Definitionsmenge (D) einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen, für die die Funktionsgleichung definiert ist. Die Wertemenge (W) ist die Menge aller Funktionswerte, sie hängt auch von der Definitionsmenge ab. Rationale Funktionen: Ganzrationale Funktion n ten Grades. Ganzrationale Funktion n - ten Grades (Polynom n - ten Grades) Eine Funktion f() mit n n n f() = an + an + an a + a + a0 heißt ganzrationale Funktion n - ten Grades. Die Zahlen a ; a ; a ;... a ; a ; a heißen Koeffizienten n n n 0 Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen. Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Die Definitionsmenge ist normalerweise die Menge der reellen Zahlen. Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

2 R. Brinkmann Seite Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen: f () + + f 0 f () f Gebrochenrationale Funktionen n ten Grades: Eine Funktion mit der allgemeinen Funktionsgleichung n n n a n + an + an a + a + a0 m m m m + m + m y = f() = m,n b b b... b b b heißt gebrochenrationale Funktion. Die Definitionsmenge gebrochenrationaler Funktionen ist eingeschränkt. Überall dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert. Verlauf des Graphen gebrochenrationaler Funktionen: f () f () f 0 f 0 Hyperbel punktsymmetrisch Hyperbel achsensymmetrisch Beide Funktionen sind an der Stelle = 0 nicht definiert. Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

3 R. Brinkmann Seite Transzendente Funktionen Eponentialfunktionen * Eine Funktion der Form f = a mit a und heißt Eponentialfunktion + f = f = f = Alle Graphen obiger Eponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 ). Je größer die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf. f f f 0 f() = f() = f() = Alle Graphen obiger Eponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 ). Je kleiner die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf f f f 0 Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

4 R. Brinkmann Seite Die e Funktion als besondere Eponentialfunktion: Die Graphen verlaufen von II nach I Ist der Eponent positiv, so ist der Graph monoton steigend. Ist der Eponent negativ, so ist der Graph monoton fallend. Es gibt keine Nullstellen. Für große Beträge nähert sich der Graph immer mehr der Achse. Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 0 ). n e = lim + n e,88... n n f f f () e f () e Training EFKT_0: Graphen von e Funktionen. Ermitteln Sie Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion e. Zeichnen Sie jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion e in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y- Achse. Lesen Sie an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Etremwerte und Wendepunkte. Bemerkung: Berücksichtigen Sie nur die Funktionswerte, die im Intervall [ -0 ; 0 ] liegen..) f = e ;g = e für [ ;].) f = e für [ ; ].) = [ ] f e für ;.) = [ ] f e für ;.) + f = e für [ ;].) f = e für [ ; ].) 9.) ( ) [ ] + f = e für ; 8.) f = 0e + + für ; [ ] 0.) ( ) f = e für ; [ ] = ( ) [ ] f e für 0 ; Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

5 R. Brinkmann Seite Logarithmusfunktionen. Logarithmusfunktionen sind nur für positive Werte definiert. Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( 0 ) Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Eponentialfunktionen f log() g ln() f g Training LNFKT_0: Graphen von Logarithmusfunktionen. Zeichnen Sie die Graphen folgender Logarithmusfunktionen und lesen Sie daraus ab: Verschiebungen und Formänderung der Grundfunktion ln (), Achsenschnittpunkte, Grenzwerte und Etremwerte..) f = ln( ) für ( 0;8].) f = ln( ) für [ 8;0) f = ln für ; 0 und 0 ;.) f = ln( ) + für ( ;9].) [ ) ( ] f ln für 8;0.) f = ln + für ( 0;8].) f = ln( ) für ( 0;8].) = ( ) [ ) 8.) f = ln( + ) für ( ;] = 9.) f e ln für ( 0;8] Wurzelfunktionen. = 0.) f e ln für ( 0;8] Wurzelfunktionen sind nur für positive Werte definiert. f () Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen f Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

6 R. Brinkmann Seite Trigonometrische Funktionen. Die Sinusfunktion f = sin ist eine periodische Funktion mit der Periodenlänge π Sie ist für alle reellen Werte definiert. Werte werden im Bogenmaß angegebe n Die Kosinusfunktion f = cos ist eine periodische Funktion mit der Periodenlänge π Sie ist für alle reellen Werte definiert. Werte werden im Bogenmaß angegeben. f Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

7 R. Brinkmann Seite Die Betragsfunktion. Die Betragsfunktion wird nach der Vorschrift falls 0 = falls < 0 gebildet. Für alle Werte ist sie positiv. An der Stelle = 0 ist sie unstetig. f () f 0 Zusammengesetzte Funktionen. Aus allen bisher bekannten Funktionen lassen sich weitere Funktionen zusammensetzen. Dazu ein paar Beispiele. f () e f 0 f () f ln( ) () Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 von 0

8 R. Brinkmann Seite Umkehrfunktionen Umkehrfunktion der quadratischen Funktion y = f = vertauschen der Variablen und y = f y = y y = nd. u Wurzel ziehen y = y = bzw. y = Es gibt also zwei Umkehrfunktionen:. u = u = Bei der Bildung der Umkehrfunktion wurde die Definitionsmenge eingeschränkt. Umkehrfunktion der e Funktion y = f = e vertauschen der Variablen und y = f y = e e = y Logarithmieren y = ln e = ln y ln Die Umkehrfunktion ist die Loharithmusfunktion: = ln u y Bei der Bildung der Umkehrfunktion wurde die Definitionsmenge eingeschränkt. f u u g f u g 0 0 In beiden Fällen ist der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung der Graphen der Ursprungsfunktion an der Geraden g() =. Das gilt für alle Funktionen und deren Umkehrfunktionen. Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 8 von 0

9 R. Brinkmann Seite Die gaußsche Glockenkurve. Funktionsgleichung: f = e für π f () e π 0. f Eigenschaften: Die Funktion ist achsensymmetrisch. Die Funktion erreicht in der Mitte bei = 0 den höchsten Wert. Nach rechts und links fallen die Werte sehr schnell ab. Nennenswerte Funktionswerte liegen nur im Bereich von bis + Die Ergebnisse von Klassenarbeiten oder psychologischer Tests verteilen sich oft in dieser Form. Betrachtet man die Fläche unter der Kurve, so beträgt der Anteil, der im Bereich von bis + liegt etwa 8%, das ist etwa / der Gesamtfläche. Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 9 von 0

10 R. Brinkmann Seite Bei IQ Messungen haben die meisten Testpersonen einen IQ zwischen 0 und 0. Nur wenige liegen darunter oder darüber. So dass der Mittelwert bei etwa 00 liegt. Um diesen Sachzusammenhang mit der gaußschen Glockenkurve zu veranschaulichen, muss die Mitte zu dem Wert 00 verschoben werden. Auch die Streuung um den Mittelwert wird berücksichtigt. μ 00 σ f () e π σ ( μ ) σ f Die Transformation der Achse erfolgte hier linear mit der Transformationsformel IQ =σ +μ= + 00 das bedeutet für 8 IQ Im Bereich von 8 IQ liegen ca. 8% der Testpersonen. Parameter: μ ist ein Maß für die Verschiebung der Mitte (hier 00). σ ist ein Maß für die Streuung (Varianz hier ). Vorerst gehen wir hier nicht weiter auf die Parameter ein, das geschieht im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Erstellt von R. Brinkmann p_diff_int_0.doc.0.00 :0 0 von 0