y2 keine eindeutige Zuordnung Reelle Funktionen gebrochen rationale Funktionen f(x)=(x²-1) / x³+1

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1 4 Reelle Funktionen in einer Veränderlichen 4.1 Definition Es seien M 1 und M 2 zwei Mengen reeller Zahlen. Ordnet man jedem Element 1 M 1 durch eine Zuordnungsvorschrift f genau ein Element M 2 zu, so nennt man die Zuordnungsvorschrift eine Funktion f. M1 M2 Definitionsmenge Wertemenge Wochentage Anzahl der Geschwindigkeits-Sünder Wesentlich ist die Eindeutigkeit der Zuordnung, d. h keine eindeutige Zuordnung Einteilung von Funktionen Reelle Funktionen rationale Funktionen nicht-rationale Funktionen ganzrationale Funktionen Geraden Parabeln Funktionen vom Grad n 3 gebrochen rationale Funktionen f()=(²-1) / ³+1 trigonometrische Funktionen (sin/cos/tan) Wurzelfunktionen Eponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 24 von 55

2 4.2.1 Geraden Form = m + b Funktionsvorschrift g() = m + b m = Steigungsfaktor / b = -Achsenabschnitt m > 0 g steigt m < 0 g fällt (negative Steigung) m = 0 g ist konstant m < 0 m > 0 b 1 m m = 0 Ermittlung einer Geradengleichung Benötigt werden folgende Angaben 2 Punkte oder 1 Punkt und die Steigung I) P 1 (1 1); P 2 (2 4) P n ( ) g() = m + b = m + b 1 = m 1 + b b = 1 - m 4 = m 2 + b 4 = 2m + (1 - m) m = 3 g() = 3-2 II) P 1 (1 4); m = -2 g() = m + b = m + b 4 = b b = 6 g() = Ekurs Steigungen graphisch -2 = 2 nach unten; 1 nach rechts 5 = 5 nach oben; 1 nach rechts -½= -1 nach unten; 2 nach rechts Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 25 von 55

3 4.2.2 Quadratische Funktionen (Graph: Parabel) Funktionsvorschrift f() = a² + b + c a > 0 (f() nach oben geöffnet a < 0 f() nach unten geöffnet a = 1 Normalparabel a < 1 Parabel wird breiter a >1 Parabel wird enger f() kann maimal 2 Nullstellen haben! Wurzelfunktionen bzw. Funktionen mit Eponent Q Funktionsvorschrift n f ( ) = a = a n Funktion mit zunehmender Steigung Funktion mit abnehmender Steigung Kreisfunktion Häufige Darstellungsform ist die Implizite Darstellung (= die Funktion ist nicht nach aufgelöst). ² + ² = 1 ² = 1 - ² = ± 1 ² (= Kreis mit Radius 1) Eponent < 1 abnehmende Steigung Eponent > 1 zunehmende Steigung Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 26 von 55

4 = 1 ² = 1 ² Schnittpunkte zwischen Parabeln P() = ,2 K() = 0,2² Frage: Ab bzw. bis zu welcher Produktionsmenge liegt der Produzent in der Gewinnzone? ( = Menge) Gewinn (G) = Erlös - Kosten G = p - K G = (1200-0,2) - 0,2² ,2² ,2² ,4² = -0,4² :(-0,4) ² / 2 1/ = ± = ± = = G = { R E() > K() } Lösung durch p/q-formel K E G K 500' 500 G E Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 27 von 55

5 4.2.4 Funktionen vom Grad n 3 Funktionsvorschrift f() = n Eigenschaften (1) hat höchstens n-nullstellen (2) n = ungerade f() hat mindestens 1 Nullstelle n = gerade f() ist einseitig beschränkt (nach oben oder nach unten) Beschränkung Eponentialfunktion Form häufigste Form: f() = e f() = a Basis Eponent f() = 2e Eulersche Zahl e = 2,71 Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 28 von 55

6 e D = R W = R Logarithmusfunktion (= Umkehrfunktion zur Eponentialfunktion) Form f() = log a Werte für die Funktion sind nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus größer ist als 0. f() = log a ( + 2) Argument (+2) > 0 e log a Nullstelle bei Logarithmus-Funktionen: Idee: f() = 0 oder Argument (f()) = 1 wegen: log a 1 = 0 denn es gilt immer a 0 = 1 log a ( + 2) = 0 ( + 2) = a 0 a log a + 2 = 1 = -1 a 0 =1 Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 29 von 55

7 4.3 Grenzwerte für ± f() = 2² - lim f ( ) = lim( 2² ) = 2 ² = = lim ( 2 1) = ( 2 1) = Problemstellung: Wie verhält sich die Funktion beim Einsetzen kleiner -Werte? f() = 2² - lim f ( ) = lim ( 2² ) = 2 ² = ( )( ) = lim ( 2 1) = ( 2[ ] + 1) = = f() = 2² lim f ( ) = lim = lim f ( ) = lim = 0 f() = 3/ n Bei Potenzfunktionen f() = a i i genügt eine Grenzwertbetrachtung für ± für den Teil der i= 0 Funktion mit dem größten Eponenten. Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 30 von 55

8 f() = ² einsetzen bei lim f() 4 = ( ) lim f() 4 - = - 7 Weitere Grenzwertermittlungsverfahren vgl. Regel von L Hospital Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 31 von 55