Einleitung...?? I Grundlagen aus Mengenlehre und Logik...?? II Von den ganzen Zahlen bis zu den reellen Zahlen...??

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Einleitung...?? I Grundlagen aus Mengenlehre und Logik...?? II Von den ganzen Zahlen bis zu den reellen Zahlen...??"

Liese Brahms
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Inhalt der Vorlesung Einleitung ?? I Grundlagen aus Mengenlehre und Logik ?? II Von den ganzen Zahlen bis zu den reellen Zahlen ?? III Mittelungleichung, Babylonisches Verfahren und geometrische Reihe?? IV Folgen und Grenzwerte ?? V Reellwertige Funktionen VI Stetige Funktionen ?? VII Differenzierbare Funktionen ??

2 Reellwertige Funktionen 29 V Reellwertige Funktionen 1 Einleitung Bisher haben wir Folgen der Form (a n ) kennengelernt. Diese können wir auch als eine Art Zurodnung betrachten, die jeder natürlichen Zahl n genau eine rationale (bzw. reelle) Zahl a n zuordnet. Natürlich kann es passieren, dass zwei Folgenglieder gleich sind, also zwei verschiedenen natürlichen Zahlen n und m derselbe Wert a n = a m zugeordnet wird. Beispiel 1.1 Wir betrachten noch ein weiteres Beispiel: Eine Bakterienpopullation. Beispiel 1.2 Eine Bakterienpopulation verdoppelt sich pro Stunde. Sie habe zum Zeitpunkt t = 0 eine Größe von 10 6 Bakterien. Des Weiteren wachse die Population bei gleichem Zeitraum jeweils um den Faktor b. Wir erhalten also

3 30 Reellwertige Funktionen Für volle Stunden Abstände: Für 1/2-stündliche Abstände Für 20-Minuten Abstände Allgemein ergibt sich also:

4 Reellwertige Funktionen 31 Analog erhält man für einen Vorgang, bei dem sich der Wert y bei Betrachtung gleicher Zeiträume jeweils um den gleichen Faktor verändert, dass die Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden kann als y = (y(t)) = Ka t für gewisse Konstanten K und a > 0. Wie berechnet man in diesem Fall den Zuwachsfaktor? y(t + t) = by(t) = bka t y(t + t) = Ka t+ t = a Deltat Ka t und folglich gilt b = a t. Beispiele sind etwa die Zinsrechnung oder aber Zerfallsgesetze. Allgemein sehen wir also, dass das Abhängigkeitsgesetz meist nicht direkt gegeben ist, sondern oft erst aus empirische Daten hergeleitet werden muss. 2 Definition einer Funktion Wir kommen nun zur Definition einer Funktion. Definition 2.1 Sei D eine Menge und f eine Zuordnung, die jedem Element x D genau eine reelle Zahl f(x) R zuordnet. Dann nenne wir f eine reellwertige Funktion mit Definitionsbereich D und Zielbereich R und schreiben f : D R mit x f(x)

5 32 Reellwertige Funktionen Die Variable x heißt Argument und f(x) der Funktionswert von f an der Stelle x. Wie bei den Folgen interessieren uns nun die Verhaltensweisen von Funktionen. Insbesondere wollen wir auf eine graphische Darstellung Berechnung der Funktionswerte f(x) Berechnung der Nullstellen von f (das sind Argumente x, so dass f(x) = 0) Steigungsverhalten (Wachstum) Konvergenzverhalten (Grenzwerte) eingehen. Zunächst aber ein einführendes Beispiel - die Polynome. 3 Polynome Polynome gehören zu den einfachsten Funktionen, die Sie kennenlernen werden. Definition 3.1 Ein Polynom ist eine Funktion p : R R der Form p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n wobei n eine natürliche Zahl n N 0 ist. Die reellen Zahlen a 0,, a n R heißen Koeffizienten von p. Ist a n 0, so heißt n := deg(p) der Grad von p und a n der Leitkoeffizient von p. Zunächst ein paar Beispiele, die Sie bereits kennen. Polynome vom Grad kleiner gleich 1 kennen Sie als Geraden.

6 Reellwertige Funktionen 33 Beispiel 3.2 Definition 3.3 Polynome p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 vom Grad 2 heißen quadratische Polynome Polynome p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 vom Grad 3 heißen kubische Polynome Polynome p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 vom Grad 4 heißen quartische Polynome Gerade bei quadratischen Polynomen fällt Ihnen sicher sofort die bekannt pq-formel zur Nullstellenberechnung ein. Nullstellen von Polynomen sind zum Beispiel bei Ihren Bankgeschäften wichtig! Beispiel 3.4

7 34 Reellwertige Funktionen Definition 3.5 Ist f : D R eine Funktion, so heißt ein x D mit f(x) = 0 Nullstelle von f. Wie berechnet man nun die Nullstellen von Polynomen? Konstante Polynome p(x) = a 0 vom Grad 0 haben keine Nullstellen, es ei denn a 0 = 0 und das Polynom ist das }bf Nullpolynom p : R R mit x 0. Ist p(x) = a 0 + a 1 x ein Polynom vom Grad 1, so gilt offensichtlich p(x) = 0 genau dann, wenn x = a 0 a 1. Allgemein gibt es jedoch keine Formel für die Nullstellen eines Polynoms vom Grad 5. Für kleinere Grade existieren Formeln wie etwa die Formel von Cardano oder die pq-formel, die man durch quadratische Ergänzung erhält.: Ist a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = 0 eine quadratische Gleichung mit a 2 0, so gilt x 1,2 = p 2 + / ( p 2 )2 q, wobei p = a 1 a 2 und q = a 0 a 2, falls p2 4 q 0 ist. Beweis: Betrachten wir jedoch Polynome über den komplexen Zahlen, so gilt der folgende Fundamentalsatz der Algebra Theorem 3.6 Jedes nicht konstante Polynome p hat eine Nullstele in den komplexen Zahlen. Wir werden später noch das Newtonverfahren zur Berechnung von reellen Nullstellen kennenlernen.

8 Reellwertige Funktionen 35 4 Graphische Darstellung von Funktionen und Umkehrfunktion Funktionen f : D R lassen sich graphisch in einem Schuabild darstellen durch einzeichnen der Punkte (x, f(x)) für x D. Definition 4.1 Ist f : D R eine Funktion, so heißt G = G(f) = {(x, f(x)) : x D} der Graph von f. Hier sind einige Beispiele: Wie Sie sehen kann es passieren, dass zwei x-werten eventuell derselbe y W ert zugeordnet wird (zum Beispiel ist p(2) = p( 2) für p(x) = x 2 ). Ist dies nicht der Fall, so können wir den Graphen an der Winkelhalbierenden spiegeln und erhalten wieder eine Funktion, die sogenannte Umkehrfunktion von f. Funktionen, die obige

9 36 Reellwertige Funktionen Eigenschaft haben nennt man injektiv. Eine injektive Funktion erfüllt also, dass f(x 1 ) f(x 2 ), falls x 1 x 2 gilt. Definition 4.2 (Umkehrfunktion) Ist f : D R eine injektive Funktion, so existiert ihre Umkehrfunktion f 1 und ist definiert als f 1 : W (f) D mit y f 1 (y) := x falls f(x) = y Hierbei heißt W (f) := {y R : es gibt ein x R mitf(x) = y} der Wertebereich von f. Beachten Sie, dass der Wertebereich natürlich auch für Funktionen definiert ist, die nicht injektiv sind. In diesem Fall existiert jedoch keine Umkehrfunktion. Beispiel 4.3

10 Reellwertige Funktionen 37 5 Das Hornerschema 6 Die Exponentialfunktion 7 Die Logarithmusfunktion 8 Trigonometrische Funktionen

Ähnliche Dokumente

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.