Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge"

Transkript

1 Lehrstuhl für Softwaretechnik und Programmiersprachen Professor Dr. Michael Leuschel Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012 Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Disclaimer: Bei Folgendem handelt es sich explizit um Lösungsvorschläge, nicht um eine Musterlösung. Alle Aufgaben lassen sich oft genau so gut auf andere Weise und manchmal noch besser lösen. Der hier skizzierte Weg ist nur eine denkbare Alternative. Insbesondere wird keine Gewähr für Vollständigkeit, Korrektheit und dafür übernommen, dass vergleichbare Lösungen in Prüfungen akzeptiert werden. Aufgabe 1.1 ( = 10 P) (a) [ = 3 P] Modell einer Formel ist eine Interpretation, die die Formel wahr macht. In den folgenden Tabellen stehen T und F für TRUE und FALSE: (i) α(a) α(b) α( A) α( A B) α(( A B) A) F F T T F F T T T F T F F F F T T F T T (ii) (iii) Die Belegung α(a) = T, α(b) = T ist das einzige Modell für die Formel ( A B) A. α(a) α(b) α(c) α( B) α(a B) α((c A)) α((a B) (C A)) F F F T T F F F F T T T F F F T F F F F T F T T F F F T T F F T T F F T F T T T T T T T F F T F F T T T F T T T Es gibt vier Belegungen der atomaren Formeln A, B und C, die Modelle der Formel (A B) (C A) sind: siehe die in Grau markierten Zeilen in der Tabelle. 1

2 α(a) α(b) α( B) α(a B) α(b A) α((a B) (B A)) F F T F T T F T F T F T T F T T T T T T F F T T Alle möglichen Belegungen der atomaren Formeln A und B sind Modelle der Formel (A B) (B A). Also ist die Formel eine Tautologie. (b) [1 + 2 = 3 P] Der Algorithmus aus der Vorlesung zur Erzeugung einer KNF (1) Implikation und Äquivalenz mittels ihrer Definitionen eliminieren: (α β) (α β) (β α) (α β) ( α β) (2) Negation zu atomaren Aussagen verschieben: (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α (3) Disjunktion zu den Literalen verschieben: α (β γ) (α β) γ α β γ (4) Das Distributivgesetz für den logischen Operator anwenden: α (β γ) (α β) (α γ) (α β) γ (α γ) (β γ) (5) Klammern eliminieren durch Anwenden des Assoziativgesetzes des -Operators: α (β γ) (α β) γ α β γ Die Musterlösungen der Teilaufgaben (i) und (ii): (i) (A B) (X A) (1) ( A B) (X A) (5) ( A B) X ( A) (ii) (A (B C)) ( B A) (1) ((A (B C)) ((B C) A)) ( B A) (1) ( A (B C)) ( (B C) A) ( B A) (2) ( A (B C)) (( B C) A) (B A) (3)+(4) (( A B) ( A C)) (A B C) (A B) (5) ( A B) ( A C) (A B C) (A B) (c) [4 P] Fakten: einbruchstelle, beil, leiche, verdächtiger Implikation: 2

3 mord einbruchstelle beil leiche verdächtiger Beweis des Mordes Gegeben: Die Fakten einbruchstelle, beil, leiche, verdächtiger und das Prädikat mord mit der Implikation mord einbruchstelle beil leiche verdächtiger. Behauptung: Es fand einen Mord statt. Wir wissen, dass die Implikation mord einbruchstelle beil leiche verdächtiger logisch äquivalent zumord einbruchstelle beil leiche verdächtiger ist. Demzufolge besteht unsere Theorie S aus den folgenden Elementen: S = {einbruchstelle, beil, leiche, verdaechtiger, mord einbruchstelle beil leiche verdaechtiger, Aus S möchten wir folgern, dass es einen Mord gab. In dem Fall ist das Prädikat mord die Formel L, die wir zeigen möchten (S L). An der Stelle kommt das Theorem aus der Vorlesung zum Einsatz: Theorem: S L iff S L is inconsistent Was wir also machen müssen, ist anzunehmen, dass es keinen Mord ( L) gab und hiermit zeigen, dass die Theorie S L nach etlichen Transformationen der wff s (logischen Formeln) ein Element besitzt, das das Atom false ist. Somit widerspricht sich die Theorie S L und aufgrund der Inkonsistenz zu der logischen Konsequenz S L folgern wir, dass die Formel L gilt, was auch heißt, dass ein Mord stattgefunden hat. Der Widerspruchsbeweis: Annahme: mord beil, leiche, mord einbruchstelle beil leiche verdaechtiger, (5) mord (2) (3) (6) 3

4 (5) (6) (1) (5) (2) (5) (3) (5) einbruchstelle beil leiche verdaechtiger, (5) beil leiche verdaechtiger, (5) leiche verdaechtiger, (5) verdaechtiger, (5) 4

5 (4) (5) verdaechtiger verdaechtiger, (5) (5) false, (5) Aus (5) in den letzten Mengenklammern folgern wir, dass S L nicht stimmt und hiermit folgt nach Theorem die logische Konsequenz S L (in unserem Fall S mord) und somit zeigten wir, dass ein Mord stattgefunden hat. Aufgabe 1.2 ( = 10 P) (a) R R A < > B und S A S < R = {x y x y R x S. S < R ist die Menge aller Tupeln von R, deren Definitionsbereich dom(r) auf die Teilmenge S beschränkt ist (Domain restriction). (b) R R A < > B und S A S << R = {x y x y R x / S. S << R ist die Menge aller Tupeln von R, deren Definitionsbereich dom(r) auf die Teilmenge dom(r)\s beschränkt ist (Domain substraction). (c) R R A < > B und T B R > T = {x y x y R y T. R > T ist die Menge aller Tupeln von R, deren Wertebereich ran(r) auf die Teilmenge T beschränkt ist (Range restriction). (d) R R A < > B und T B R >> T = {x y x y R y / T. R >> T ist die Menge aller Tupeln von R, deren Wertebereich ran(r) auf die Teilmenge ran(r)\t beschränkt ist (Range substraction). (e) R R A < > B und S A R[S] = {y x y R x S = ran(s < R). R[S] ist die Menge aller Elemente im Wertebereich B, die den Elementen von der Teilmenge S A in R zugeordnet sind. (Relational image). 5

6 (f) R R A < > B R = {y x x y R R ist die Menge der umgekehrten Tupeln von R (Inverse). (g) R 1,R 2 R 1,R 2 A < > B R 1 <+ R 2 = R 2 (dom(r 2 ) << R 1 ) R 1 <+ R 2 ist die Vereinigung der Menge R 2 und der Menge aller Tupeln von R 1, deren Definitionsbereich A auf die Teilmenge dom(r 1 )\dom(r 2 ) beschränkt ist (Left overriding). (h) R 1,R 2 R 1,R 2 A < > B R 1 +> R 2 = R 1 (dom(r 1 ) << R 2 ) R 1 +> R 2 ist die Vereinigung der Menge R 1 und der Menge aller Tupeln von R 2, deren Definitionsbereich A auf die Teilmenge dom(r 2 ) \ dom(r 1 ) beschränkt ist (Right overriding). Aufgabe 1.3 ( = 10 P) Wichtig bei der Korrektur dieser Aufgabe ist auf die Eindeutigkeit der Elemente in den Mengen zu achten. Hier wird nur mit Mengen gearbeitet und in einer Menge jedes Element kommt ein Mal vor. Bei doppelten Angaben von Elementen in einer entsprechenden Menge müssen Punkte abgezogen werden. (a) [ = 2 P] (i) {ian < eats = {ian eggs,ian cheese,ian pizza (ii){jim<< eats = {ian eggs,ian cheese,ian pizza,ken pizza,lisa cheese, lisa pizza, lisa salad (iii) eats > {cheese,pizza = {ian cheese,ian pizza,ken pizza,lisa cheese, lisa pizza (iv) dom(eats > {eggs) = {ian, jim (b) [ = 4 P] (i) eats[{ian, lisa] = {eggs, cheese, pizza, salad (ii) eats = {eggs ian,eggs jim,cheese ian,cheese lisa,pizza ian,pizza ken,pizza lisa,salad jim,salad lisa,pizza ken,cheese lisa,pizza lisa,salad lisa (iii) eats [{cheese, eggs] = ian, jim, lisa (iv)eats ;cost = {ian cheap,ian expensive,jim cheap,ken expensive,lisa cheap, lisa expensive (v) eats ; (cost >> {expensive) = {ian cheap,jim cheap,list cheap (vi) eats [cost [{expensive]] = {ian, ken, lisa (vii) eats <+ {lisa steak = {ian eggs,ian cheese,ian pizza,jim eggs,jim salad,ken pizza,lisa steak (c) [2 + 2 = 4 P] Die Menge der Personen, die entweder eggs oder pizza essen: eats [{pizza, eggs] oder dom(eats > {eggs, pizza) 6

7 Die Menge der Personen, die cheese und pizza essen: (eats [{pizza]) (eats [{cheese]) oder dom(eats > {cheese) dom(eats > {pizza) Aufgabe 1.4 ( = 10 P) (a) [1 + 1 = 2 P] (i) [ : : 0.5 = 1 P] Sei X eine Menge und A, B X Teilmengen von X. z.z.: (X \A) (X \B) = X \(A B) Um die Gleichheit der Mengen zu zeigen, müssen wir die gegenseitigen Inklusionen und der Mengen (X\A) (X\B) und X\(A B) beweisen. Also der Beweis besteht aus den folgenden zwei Schritten: : Sei x (X \A) (X \B) x / A und x / B (mit anderen Worten x ist in keiner der Mengen A und B ethalten) x / A B x X \(A B). : Es gilt X \(A B) X \A und X \(A B) X \B, dann folgt: X \(A B) = X \(A B) X \(A B) (X \A) (X \B). Somit folgt, dass X \(A B) (X \A) (X \B). Da sich die Mengen (X \A) (X \B) und X \(A B) gegenseitig enthalten, folgt die Gleichheit. (ii) [ : : 0.5 = 1 P] Sei X eine Menge und A, B X Teilmengen von X. z.z.: (X \A) (X \B) = X \(A B) Wir zeigen, dass(x\a) (X\B) X\(A B) und(x\a) (X\B) X\(A B) gilt: : (X \A) (X \B) X \(A B) X \(A B) = X \(A B). {{ {{ X\(A B) X\(A B) : Sei x X \(A B) x / A B x X \A oder x X \B, aber nicht in beiden Mengen A und B gleichzeitig enthalten x (X \A) (X \B). Es folgt also die Behauptung X \(A B) (X \A) (X \B). (b) [ = 4 P] (i) [Wer die disjunktive Eigenschaft in seinem Beweis nicht erwähnt: P] Seien X und Y endliche Mengen. z.z.: X Y = X Y Die Menge X Y lässt sich wie folgt schreiben a X {(a,b) b Y. Außerdem gilt für alle a 1, a 2 X mit a 1 a 2, dass die Mengen {(a 1,b) b Y und {(a 2,b) b Y disjunkt zueinander sind. Daraus und aus dem gegebenen 7

8 Hinweis folgern wir: X Y = a X {(a,b) b Y Hinweis = {(a,b) b Y a X (c) [4 P] = a X Y = Y + Y + + Y = X Y {{ X mal (ii) [Induktionsanf.: 0.5 P, Induktionsschritt: 2 P] Sei X eine endliche Menge mit n Elementen. z.z.: P(X) = 2 n Die Eigenschaft zeigen wir mithilfe vollständiger Induktion. Induktionsanfang: Wenn X die leere Menge ist, dann ist die einzige Teilmenge von X die leere Menge selbst, was sich auch daraus schließen kann, dass die Anzahl der Elemente in P({) gleich Eins (bzw. 2 0 ) ist. Indunktionsannahme: Wir nehmen an, dass P(X) = 2 n gilt, wenn X eine endliche Menge mit n > 0 Elementen ist. Infuktionsschritt (n n+1): Sei X eine Menge mit n + 1 Elementen. Was wir jetzt zeigen müssen ist, dass P(X) = 2 n+1 gilt. Sei x ein beliebiges Element aus X, dann schreiben wir X als eine Vereinigung der Mengen X und {x (X = X {x), wobei X die Teilmenge von X ist ( X = n), die nur das Element x nicht beinhaltet. Da wir wissen, dass P(X) die Potenzmenge von X ist (die Menge aller Teilmengen von X), können wir diese als Vereinigung der folgenden zwei Mengen schreiben: P(X) = P(X {x) = P(X) {{x Y Y P(X ), (1) wobei P(X ) die Menge aller Teilmengen von X, die x nicht beinhalten, ist (P(X )) und {{x Y Y P(X ) die Menge aller Teilmengen von X, die das Element x enthalten. Es ist offensichtlich, dass Gelichung 1 stimmt. Des Weiteren können wir mithilfe der Induktionsannahme und der Gleichung 1 die Behauptung P(X) = 2 n+1 wie folgt beweisen: P(X) = P(X) {{x Y Y P(X ) = P(X) + {{x Y Y P(X ) Induktionsann. und X =n = 2 n +2 n = 2 2 n = 2 n+1. Hiermit zeigten wir, dass für jede endliche Menge X mit n Elementen die Gleichung P(X) = 2 n gilt. Primzahl p Elemente aus A(p) A(p) 2 {1 1 3 { 0 8

9 5 {2, { 0 11 { 0 13 {5, {4, { 0 23 { 0 29 {12, { 0 37 {6, {9, { 0 47 { 0 53 {23, { 0 61 {11,

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2. Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.

Mehr

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische

Mehr

Mai 2006. Hauptseminar: Nichtrelationale Datenbanken Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln

Mai 2006. Hauptseminar: Nichtrelationale Datenbanken Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln Hauptseminar: Nichtrelationale Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln Mai 2006 Was ist eine Datenbank? Erweiterung relationaler um eine Deduktionskomponente Diese

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Einheit 1 Mathematische Methodik 1. Problemlösen 2. Beweistechniken 3. Wichtige Grundbegriffe Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Welche Begriffe sind zum Verständnis

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Mehr

Aussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber

Aussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Zahlentheorie Funktionen Vollständige Induktion Zahlenfolgen Reihen 193 Definition einer Menge: Beziehungsjunktoren: ist Element, d.h. Wert und Format stimmen überein

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Sommersemester 2018 Ronja Düffel 14. März 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen

Mehr

Logik für Informatiker Logic for computer scientists

Logik für Informatiker Logic for computer scientists Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 24 Die Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 24 Die Negation Wahrheitstafel

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A

Mehr

Informatik A ( Frank Hoffmann)

Informatik A ( Frank Hoffmann) Teillösungen zum 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Informatik A ( Frank Hoffmann) 1. Improvisieren Stellen Sie die Zahl 6 dar durch einen Ausdruck, der genau dreimal die Ziffer i enthält und ansonsten neben

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik Syntax & Semantik. Motivation. Motivation

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik Syntax & Semantik. Motivation. Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Mit der Aussagenlogik lassen sich einfache Verknüpfungen zwischen (atomaren) Gebilden ausdrücken

Mehr

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen

Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification

Mehr

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes

Mehr

Aufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??

Aufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/?? Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

5. Übungsblatt (Musterlösung)

5. Übungsblatt (Musterlösung) Universität Konstanz Mathematische Grundlagen der Informatik Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft WS 2015/2016 Prof. Dr. Sven Kosub / Dominik Bui, Franz Hahn, Fabian Sperrle 5. Übungsblatt

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2011 5. Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax

Mehr

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik.

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik. Kursleiter : W. Zimmer 1/24 Digitale Darstellung von Größen Eine Meßgröße ist digital, wenn sie in ihrem Wertebereich nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen kann, also "abzählbar" ist. Digital kommt

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution

Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise

Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen, Beweise Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 15. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch! Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Aufgabe 13 (Markierungsalgorithmus). Gegeben ist die Formel F = (A D C) (E A) ( ( B D) E) A B (B D)

Aufgabe 13 (Markierungsalgorithmus). Gegeben ist die Formel F = (A D C) (E A) ( ( B D) E) A B (B D) INTA - Lösungshinweise zum Übungsblatt 4, Version 1.0α. Wenn sie Fehler finden oder Ihnen etwas auch nach dem Gespräch mit ihren Kommilitonen noch unklar ist, dann schicken sie mir bitte eine Email! Aufgabe

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14

Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14 Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

Primzahlzertifikat von Pratt

Primzahlzertifikat von Pratt Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs

Mehr

Prolog basiert auf Prädikatenlogik

Prolog basiert auf Prädikatenlogik Software-Technologie Software-Systeme sind sehr komplex. Im Idealfall erfolgt die Programmierung problemorientiert, während die notwendige Übertragung in ausführbare Programme automatisch erfolgt. Prolog-Philosophie:

Mehr

Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren:

Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren: Resolutionskalkül Ein Kalkül ist eine Kollektion von syntaktischen Umformungsregeln, die unter gegebenen Voraussetzungen aus bereits vorhandenen Formeln neue Formeln erzeugen. Der Resolutionskalkül besteht

Mehr

Lösung zu Serie 3. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. Sei K ein beliebiger Körper.

Lösung zu Serie 3. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. Sei K ein beliebiger Körper. Lineare Algebra D-MATH, HS 204 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 3 Sei K ein beliebiger Körper.. [Aufgabe] Sei n Z 0 eine gegebene nicht-negative ganze Zahl. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in eine

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Übung 4: Aussagenlogik II

Übung 4: Aussagenlogik II Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Beschreibungslogiken Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Was sind Beschreibungslogiken? Definition: Formalisms that represent knowledge of some problem domain (the world ) by first defining

Mehr

3.Inferenzsysteme 3.4 Logische Programme und Antwortmengensemantik

3.Inferenzsysteme 3.4 Logische Programme und Antwortmengensemantik Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen 3.Inferenzsysteme 3.4 Logische Programme und Antwortmengensemantik DVEW WS 2004/05 c Gabriele Kern-Isberner 1 Stratifizierte Programme (Whlg.) Sei P ein

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 015/016 30.10.015 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Grundlagen der Programmierung

Grundlagen der Programmierung GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre 28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung

Mehr

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

Fixpunktsemantik logischer Programme Pascal Hitzler Juli 1997 Kurzuberblick im Rahmen der Vorlesung Einfuhrung in Prolog von T. Cornell im Sommersemester 1997 an der Universitat Tubingen. Beweise sind

Mehr

4. Beweise 4.1: Beweisarten

4. Beweise 4.1: Beweisarten 4. Beweise 4.1: Beweisarten Hagen Knaf Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 1 Liste wichtiger Beweisarten 1. Direkter Beweis 2. Fallunterscheidung 3. Konstruktiver Beweis 4. Widerspruchsbeweis 5.

Mehr

Klausur für Studiengänge INF und IST

Klausur für Studiengänge INF und IST Familienname: Matrikelnummer: Studiengang: (bitte ankreuzen) INF IST MED Vorname: Email-Adresse: Immatrikulationsjahr: Klausur für Studiengänge INF und IST sowie Leistungsschein für Studiengang Medieninformatik

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 07.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Gestern Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

10. Übung Künstliche Intelligenz

10. Übung Künstliche Intelligenz Prof. Dr. Gerd Stumme, Dominik Benz Fachgebiet Wissensverarbeitung 28.01.2009 10. Übung Künstliche Intelligenz Wintersemester 2008/2009 Beschreibungslogiken 1. Belegen oder iderlegen Sie folgende Behauptungen

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

2.2.4 Logische Äquivalenz

2.2.4 Logische Äquivalenz 2.2.4 Logische Äquivalenz (I) Penélope raucht nicht und sie trinkt nicht. (II) Es ist nicht der Fall, dass Penélope raucht oder trinkt. Offenbar behaupten beide Aussagen denselben Sachverhalt, sie unterscheiden

Mehr

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /

Mehr