9. Übung Formale Grundlagen der Informatik

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1 Institut für Informatik Sommersemester 2001 Universität Zürich 9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs Reinhard Riedl Nadine Korolnik Verantwortlich für diese Übung: Uta Schwertel Abgabe bis , Uhr Briefkasten 067-C, Stockwerk K, Institut für Informatik der Universität Zürich Thema: Weitere Logik I Nachname Vorname Matrikelnummer Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Summe

2 1 Semantik der Prädikatenlogik: Tautologie (2 Punkte) Geben Sie einen semantischen Beweis für folgende Tautologie. Gehen Sie dabei von einem nicht-leeren Wertebereich aus. X(P) X(P) Hinweis: Benutzen Sie die in der Vorlesung eingeführte Definition einer Tautologie. Wenden Sie dann die Definitionen für die Interpretation quantifizierter Ausdrücke an. 1

3 2 Semantik der Prädikatenlogik: Interpretationen (2.5 Punkte) In vielen Büchern werden die Abhängigkeiten zwischen den Kapiteln in Form einer Abbildung der folgenden Art angegeben. Man kann diese Abbildung formal mit Hilfe der Prädikatenlogik darstellen. Wir führen dazu die beiden zweistelligen Relationszeichen r/2 und =/2 ein, die die folgende anschauliche Bedeutung haben: r(x,y) Y ist abhängig von X X = Y X ist identisch mit Y Für die Interpretation der Relationszeichen wählen wir als Wertebereich die Menge der Kapitel: D = {1.2, 1.3, 1.4,, 5.5} Die Interpretation von r/2 enthält alle Paare von Kapiteln, so dass das 2. Argument (direkt oder indirekt) vom ersten Argument abhängt, also I(r) = {(1.3, 1.4), (1.4, 2.1), (1.3, 2.1), (1.4, 1.5),, (1.3, 5.5),, (5.1, 5.5)} Es gilt jedoch zum Beispiel, dass (1.4, 1.3) I(r), (2.2, 1.5) I(r), Die Interpretation von =/2 enthält alle Paare von identischen Kapiteln, also: I(=) = {(1.2, 1.2), (1.3, 1.3), (1.4, 1.4), } 2

4 Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Ausdrücke in der angegebenen Interpretation. Geben Sie eine kurze anschauliche Begründung (z.b. durch Angabe eines Gegenbeispiels oder durch eine Paraphrase in natürlicher Sprache). 2.1 Aufgabe (0.5 Punkte) X( r( X, X) ) 2.2 Aufgabe (0.5 Punkte) X( Y( r( Y, X) ) Y( r( X, Y) )) 2.3 Aufgabe (0.5 Punkte) X Y( ( X = Y) r( X, Y) ryx (, )) 3

5 2.4 Aufgabe (0.5 Punkte) X Y Z( ( Y = Z) W( r( X, W) (( W = Y) ( W = Z) ))) 2.5 Aufgabe (0.5 Punkte) X Y( ( ( X = Y) r( X, Y) ryx (, )) Z W( ( Z = W) rzw (, ) rwz (, ) r( X, Z) ryz (, ) r( X, W) ryw (, ))) Zusatzfrage zur Wiederholung (0 Punkte) Welche der folgenden Eigenschaften hat die Relation r/2? " transitiv " reflexiv " irreflexiv " symmetrisch " antisymmetrisch " asymmetrisch 4

6 3 Resolution in der Aussagenlogik (2.5 Punkte) Auf dem Übungsblatt 7 haben wir folgenden Schluss der natürlichen Sprache formalisiert: Voraussetzungen: P 1 P 2 P 3 P 4 Wenn Nessie ein Fabelwesen ist, dann ist sie unsterblich. Wenn sie kein Fabelwesen ist, dann ist sie sterblich und ein Tier. Wenn Nessie unsterblich oder ein Tier ist, dann ist sie ein Drache. Sie ist eine Touristenattraktion, wenn sie ein Drache ist. Konklusion: K Also ist Nessie eine Touristenattraktion. Beweisen Sie den Schluss durch einen Resolutionsbeweis mit Refutation. Verwenden Sie dabei die in Übung 7, Aufgabe 4 erarbeitete Formalisierung. Gehen Sie anschliessend Schritt für Schritt wie folgt vor: 3.1 Aufgabe (0.5 Punkte) Geben Sie die Menge der Aussagen für die Refutation explizit an. 3.2 Aufgabe (0.5 Punkte) Wandeln Sie die Menge der Aussagen in Klauselform um. 5

7 3.3 Aufgabe (1.5 Punkte) Leiten Sie durch Resolution mit Refutation aus der Klauselmenge die leere Menge ab. Verwenden Sie dabei folgende Beweisstrategie: Benutzen Sie das negierte Theorem als eine der beiden Klauseln beim ersten Resolutionsschritt (set-of-support). Verwenden Sie ab dem zweiten Resolutionsschritt immer die Resolvente des vorherigen Schrittes als eine der beiden Klauseln; die andere Klausel wählen Sie aus der ursprünglichen Klauselmenge. 6

8 4 Resolution in der Aussagenlogik (3 Punkte) In einem Restaurant lässt sich der Gast noch die Dessertkarte bringen. Darauf steht: Es gibt heute Schokoladen-Nuss-Auflauf. Dazu können Sie zwischen Dessertwein und Espresso wählen. Wenn Sie einen Espresso wählen, dann gibt es dazu noch hausgemachte Pralinen. Der Gast verhält sich wie folgt: Der Gast entscheidet sich für den Schokoladen-Nuss-Auflauf, ihm ist es aber egal, ob er einen Espresso bekommt oder nicht. Unabhängig davon, so schliesst der Gast, kann er noch zwischen Dessertwein und hausgemachten Pralinen wählen. Hat der Gast recht? 4.1 Aufgabe (1 Punkt) Formalisieren Sie das Szenario in der Aussagenlogik. Geben Sie den Abkürzungsschlüssel an. Hinweis: Formalisieren Sie das Szenario mit zwei Formeln. Die erste Formel D beschreibt den Inhalt der Dessertkarte, die zweite Formel G beschreibt das Verhalten des Gastes. 7

9 4.2 Aufgabe (2 Punkte) Wenden Sie einen Resolutionsbeweis mit Refutation an, um zu prüfen, ob der Gast recht hat oder nicht. Hinweis: Prüfen Sie, ob das Verhalten des Gastes (G) eine logische Konsequenz ist aus dem Inhalt der Dessertkarte (D). Gehen Sie wie folgt vor: Klauselmenge (1 Punkt) Bestimmen Sie die Klauselmenge für die Refutation Resolutionsbeweis (1 Punkt) Prüfen Sie durch einen Resolutionsbeweis mit Refutation, ob Sie aus der Klauselmenge die leere Menge ableiten können. 8

10 Feedback zum Übungsblatt " (zu) schwer " (zu) einfach " Schwierigkeit angemessen " (zu) viel " (zu) wenig " Umfang angemessen " gut auf Inhalt der Vorlesung abgestimmt " unterstützt Verstehen des Stoffes " Sonstiges 9

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