1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem

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1 .0.0. Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im, - Koordinatensstem Vereinbarungen Wir betrachten vorerst nur noch Funktionen f, deren Definitionsund Wertebereich jeweils R oder ein Teil davon ist: D f R und W f R Dabei werden die Funktionen nur durch ihre Rechenformel angeben. Der Definitionsbereich ist stets die Menge all der reellen Zahlen, für die die Rechenvorschrift definiert ist, der Bildbereich ist stets ganz R. Reelle Zahlen, die nicht zum Definitionsbereich einer Funktion f gehören, heißen Definitionslücken von f. Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte ( / f ( )) : Graph von f = ( / f ( )) ε D f Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Beispiel f ( ) = + D f = R W f = R Beispiel f ( ) = D f = R W f = R Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie

2 .0.0 Beispiel Beispiel 4 f ( ) = = für - für > < 0 0 f ( ) a D f = R D f = R W f = R > 0 W f = a a Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Beispiel f ( ) = sign( ) = für > 0 0 für = 0 - für < 0 D f = R W f = - ; 0 ; - Um zu verdeutlichen, dass die beiden Punkte ( 0 / - ) und ( 0 / ) nicht zum Graph gehören, benutzt man eckige Klammern wie bei der Intervallschreibweise. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 4

3 .0.0 Für die signum- Funktion ( Vorzeichen- Funktion) und die Betragsfunktion gilt folgende Rechenformel: =. sign( ) Beweis :. Fall: > 0 Dann ist = und sign( ) =, also =.. Fall: = 0 Dann ist = 0 und sign( ) = 0, also 0 =. 0. Fall: < 0 Dann ist = - und sign( ) = -, also - =. (-) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Geometrische Charakterisierung von Graphen.) = 0 kein Funktionsgraph, da dem Argument 0 die beiden Werte und zugeordnet werden. Die Zuordnung ist also nicht eindeutig. Ein Graph ist genau dann der Graph einer Funktion = f ( ), wenn er von senkrechten Geraden jeweils höchstens einmal geschnitten wird..) nicht injektiv, da den verschiedenen Argumenten und derselbe Wert 0 zugeordnet wird. = 0 Ein Funktionsgraph ist genau dann der Graph einer injektiven Funktion = f ( ), wenn er von waagerechten Geraden jeweils höchstens einmal geschnitten wird. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 6

4 .0.0 Graphische Bestimmung von Umkehrfunktionen Geometrischer Zusammenhang zwischen dem Graph einer umkehrbaren Funktion f und dem Graph der zugehörigen Umkehrfunktion f - Für einen beliebigen Punkt ( 0 / 0 ) der, - Ebene gilt: ( 0 / 0 ) ε Graph von f f ( 0 ) = 0 ( 0 / 0 ) ( / ) = ( / ) f - ( 0 ) = 0 ( 0 / 0 ) ε Graph von f - ( 0 / 0 ) Es gilt also : Die Graphen einer Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f - sind Spiegelbilder zueinander bezüglich der. Winkelhalbierenden =. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 7 Rechnerische Bestimmung von Umkehrfunktionen Beispiel : f ( ) = + Diese Funktion ordnet jeder reellen Zahl als Argument die reelle Zahl mit = f ( ) = + als Funktionswert zu. Die zugehörige Umkehrfunktion f - ordnet also jeder gegebenen reellen Zahl als Argument die reelle Zahl mit + = als Funktionswert zu : + = = - = - = f - ( ) Probe: Für alle ε D f = R gilt : f - o f ( ) = f - ( + ) Für alle ε D f - = R gilt : f o f - - ( ) = f( =. ) = =, also f - o f = id D f =, also f o f - = id D f- Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 8 4

5 .0.0 Da es üblich ist, die unabhängige Variable mit zu bezeichnen, formt man noch folgendermaßen um : f - ( ) = - f - (...) =... - f - ( ) = - Diese Umformung entspricht dem Vertauschen von und. f ( ) f ( ) = + D f = R W f = R f - ( ) f - ( ) = D f - - = R = W f W f - = R = D f Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 9 Rezept zur Bestimmung der Umkehrfunktion.) Vertausche und in der Zuordnungsvorschrift = f ( ).) Löse die so erhaltene Gleichung nach auf. Beispiel : f ( ) = 7-4 D f = R = W f - W f = R = D f -.) = = ) Auflösen dieser Gleichung nach : 7-4 = - = 7 = 7 + = f - () Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 0

6 .0.0 Probe: f ( ) = 7-4 f - ( ) = + 7 Für alle ε R = D f - gilt: f o f - ( ) = f = ( 7 + ) = Für alle ε R = D f gilt: ( + ) 7 f - ( ) f ( ) f - o f ( ) ) = f - ( 7-4 = 7. ( ) = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Beispiel : f ( ) = - D f = R < = W f - W f = R > 0 = D f - r.) = - = -??.) Auflösen dieser Gleichung nach : = - = - = f - ( ), also D f - = R f Achtung (. Fettnäpfchen bei der Bestimmung von Umkehrfunktionen) : Tritt bei der Berechnung einer Umkehrfunktion f - eine Folgerung auf, so ist der Definitionsbereich von f - nur ein Teil des Definitionsbereichs der Rechenvorschrift von f -. Um in diesem Fall den Definitionsbereich von f - bestimmen zu können, muss daher der Wertebereich von f bestimmt werden. In Beispiel gilt also D f - = R > 0. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 6

7 .0.0 Probe: f ( ) = - f - ( ) = - Für alle ε f o f - ( ) R > 0 = D f - gilt: = f ( - ) = - ( - ) f ( ) = = =? Für alle ε f - o f ( ) R < = f - ( = D f gilt: - ) f - ( ) = - - = - ( - ) = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Beispiel 4: f ( ) = D f = R W f = Diese Funktion ist nicht injektiv, also gibt es keine Umkehrfunktion. Bei solchen Funktionen benutzt man als Notlösung sogenannte Not-Umkehrfunktionen, die man mit dem gleichen Rechenverfahren bestimmen kann :.) = =.) Auflösen dieser Gleichung nach : R > 0 = = f - () = f - = + = - () Achtung (. Fettnäpfchen bei der Bestimmung von Umkehrfunktionen ) : Ist bei der Berechnung einer Umkehrfunktion f - die Auflösung nach nicht eindeutig, so ist die gegebene Funktion f nicht injektiv, und daher gibt es keine Umkehrfunktion. Die gefundenen Umkehrfunktionen sind in diesem Fall nur Not-Umkehrfunktionen mit notdürftigen Eigenschaften. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 4 7

8 .0.0 Not - Umkehrfunktionen Ist eine Funktion f : D f W f nicht injektiv, so verkleinert man den Definitionsbereich derart, dass f injektiv wird, ohne dabei den Wertebereich zu verkleinern, d.h. man bestimmt eine Menge D mit D D f mit f D ist injektiv und W f D = W f. Eine solche Menge D kann man u.a. als Wertebereich der gefundenen Not - Umkehrfunktionen bestimmen: Beispiel 4: f - ( ) = + D f - = R > 0 W f - = R > 0 f - ( ) = - D f - = R > 0 W f - = R < 0 Mögliche Teilmengen D mit obigen Eigenschaften: Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Beispiel 4: f ( ) = D f = R W f = R > 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 6 8

9 .0.0 Beispiel 4: f ( ) = D f = R W f = R > 0 f ( ) = D = R < 0 W f = W f = W f = R > 0 f ( ) = D = R > 0 f - ( ) = + D = R < 0 D = R > 0 f - ( ) = - Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 7 Achtung (. Fettnäpfchen bei Umkehrfunktionen) : Bei richtigen Umkehrfunktionen gilt f - o f ( ) = für alle ε D f, also f - o f = id D, und f f o f - ( ) = für alle ε D f -, also f o f - = id D f -. Funktion und Umkehrfunktion heben sich bei Verkettung gegenseitig auf. Bei Not - Umkehrfunktionen gilt die zweite Gleichung ebenfalls. Die erste gilt aber nicht für alle ε D f, sondern nur für ε D : f - o f ( ) = gilt nur für ε D, also f - o f = id D, und f o f - ( ) = für alle ε D f -, also f o f - = id D f -. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 8 9

10 .0.0 Beispiel 4: f ( ) =, Not - Umkehrfunktion f - ( ) = + f - o f ( ) = f - ( ) = + = gilt nur für > 0 ( also D = R > 0 ), also für ε D = R > 0 Beispiel = - : = (-) = 4 = - = Bemerkungen.) Es gibt auch eine für alle reellen Zahlen gültige Formel mit Quadrieren und Wurzelziehen, nämlich =.) Auch beim Umformen von Gleichungen muss man bei der Verwendung von Not - Umkehrfunktionen aufpassen, zum Beispiel:... = 4 = 4 = = + Beim Umformen von Gleichungen benutzt man daher die Formel = a = + a Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 9 Übersicht über Fettnäpfchen bei Umkehrfunktionen.) Bei der Bestimmung einer Umkehrfunktion.) Folgerung beim Umformen D f - als W f bestimmen.) Nicht eindeutige Auflösung nach Not - Umkehrfunktion.) Beim Benutzen von Not - Umkehrfunktionen.) f - o f ( ) = gilt nur für ε D, z.b. = nur für > 0. Bei einigen Not-Umkehrfunktionen gibt es allgemeingültige Ersatz- formeln, z.b. =..) Beim Umformen von Gleichungen muss man spezielle Formeln benutzen, z.b. = a = + a Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 0 0

11 .0.0 Definition ( Monotonie). Eine Funktion f heißt monoton wachsend ( steigend ), wenn für alle Argumente < ε D f gilt: f ( ) < f ( ).. Eine Funktion f heißt monoton fallend, wenn für alle Argumente < ε D f gilt: f ( ) > f ( ).. Eine Funktion f heißt streng monoton wachsend ( steigend), wenn für alle Argumente < ε D f gilt: f ( ) < f ( ). 4. Eine Funktion f heißt streng monoton fallend, wenn für alle Argumente < ε D f gilt: f ( ) > f ( ). Beispiel : f ( ) = nicht monoton auf ganz R, aber streng monoton fallend auf R - streng monoton wachsend auf R + Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Beispiel : f ( ) = sign () monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend - Beispiel : f ( ) a a monoton wachsend und monoton fallend, aber nicht streng monoton Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie

12 .0.0 Beispiel 4: f ( ) = Beispiel : f ( ) = + streng monoton fallend auf R + und auf R -, streng monoton steigend, denn: aber nicht monoton auf ganz R < < + < + f ( ) < f ( ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Definition ( Smmetrie ). Eine Funktion f heißt gerade, wenn für alle 0 ε D f gilt: f ( - 0 ) = f ( 0 ). Der Graph von f ist dann achsensmmetrisch zur - Achse.. Eine Funktion f heißt ungerade, wenn für alle 0 ε D f gilt: f ( - 0 ) = - f ( 0 ). Der Graph von f ist dann punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung. Beispiel : f ( ) = Beispiel : f ( ) = sign ( ) f ( - 0 ) = - 0 = 0 = f ( 0 ), also ist f ( ) = gerade. f ( - 0 ) = sign( - 0 ) = - sign ( 0 ) = - f ( 0 ), also ist f ( ) = sign ( ) ungerade. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 4

13 .0.0 Bemerkungen. Polnome mit ausschließlich geraden Eponenten sind gerade Funktionen, Polnome mit ausschließlich ungeraden Eponenten sind ungerade Funktionen. Beispiel : f ( ) = f ( - ) = ( - ) 7 - ( - ) + ( - ) = = - ( ) = - f ( ) Beispiel : f ( ) = f ( - ) = ( - ) 6 - ( - ) 4 + = = f ( ). Eine Funktion kann nur smmetrisch sein, wenn auch ihr Definitionsbereich smmetrisch zum Nullpunkt ist. Beispiel : f ( ) = -,6 - D f enthält also die -, aber nicht die. Also ist f nicht smmetrisch. D f = R - Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie Bemerkungen. Sind f und f gerade sowie g und g ungerade, so sind auch f + f, f - f, f. f, f f, g. g und g g gerade sowie g + g, g - g, f. g, f g und g f ungerade. Beweis : beispielhaft für g. g : ( g. g ) ( - ) = g ( - ). g ( - ) = (- g ( )). (- g ( )) = g ( ). g ( ), da g und g ungerade sind = ( g. g ) ( ), also g. g ist gerade.. h 4. Die Umkehrfunktion zu einer ungeraden Funktion ist ebenfalls ungerade. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 6

14 .0.0 Bemerkungen. Jede Funktion, deren Definitionsbereich smmetrisch zum Nullpunkt ist, kann folgendermaßen als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion dargestellt werden: f ( ) + f ( - ) f ( ) = + g( ) f ( ) - f ( - ) h( ) f ( - ) + f(- ( - )) f ( - ) + f ( ) g( - ) = = Die Funktion g ( ) ist also gerade. = g ( ) f ( - ) - f(- ( - )) f ( - ) - f ( ) h( - ) = = Die Funktion h ( ) ist also ungerade. = - h ( ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 7 Definition ( Periode) Eine Funktion f heißt periodisch mit der Periode p oder kurz p - periodisch, wenn für alle 0 ε D f gilt: f ( 0 + p ) = f ( 0 ). Beispiel: Kippspannung u p 0 p 0 + p Definition ( Nullstelle ) Eine Stelle 0 ε D f heißt Nullstelle von f, wenn gilt: f ( 0 ) = 0. Beispiel: f ( ) = - 4 hat die beiden Nullstellen und -. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis. Folie 8 4