Mathematik für Ökonomen 1

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik für Ökonomen 1"

Transkript

1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik

2 Teil 1 Mengen

3 Nach G. Cantor ( ) versteht man unter einer Menge M die Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einer Gesamtheit. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge dieser Objekte an, also gilt {1, 2} = {2, 1}. Ist m ein Element einer Menge M so schreiben wir m M, sonst m M. Definition von Mengen 1. Aufzählen der Elemente 2. Zusammenfassungsprinzip: Ist E eine Eigenschaft und m ein Element der Menge M (Universalmenge), dann bedeutet E(m), dass auf m die Eigenschaft E zutrifft. Die Menge der Elemente m M, die die Eigenschaft E(m) haben, wird dann mit {m M E(m)} bezeichnet.

4 Eine spezielle Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Diese Menge die leere Menge genannt und mit bezeichnet.

5 Kartesisches Produkt und Potenzmenge 1. Kartesisches Produkt Sind M 1 und M 2 Mengen, so ist das kartesische Produkt dieser beiden Mengen die Menge aller geordneter Paare, die sich aus Elementen dieser Mengen bilden lassen oder kurz: M 1 M 2 = { (m 1,m 2 ) m 1 M 1 und m 2 M 2 } Verallgemeinerung: M 1 M 2... M n = { (m 1,m 2,...,m n ) : m j M j,j = 1, 2,...,n } Im Falle M 1 = M 2 =... = M n = M schreibt man auch M n für M M... M.

6 Beispiele (a) R 2 (b) R 3 (c) R N

7 2. Potenzmenge Sei M eine beliebige Menge. Dann ist die Potenzmenge P(M) von M als die Menge aller Teilmengen von M definiert, also P(M) = { A A M }. Dabei ist zu beachten, dass die leere Menge ebenfalls als Teilmenge von M aufgefasst wird: M. Beispiele (a) M = { 1, 2 }, P(M) = (b) M = { 1, 2, 3 }, P(M) =

8 Mengenalgebra Ist M eine Menge, so heisst eine Menge A Teilmenge von M, wenn aus a A stets a M folgt. Wir bezeichnen das durch A M. 1. Komplement Ist A eine Teilmenge der Menge M, so bezeichnet A = { m M m A } das Komplement von A in M A M

9 2. Durchschnitt Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet A B = { m M m A und m B } den Durchschnitt von A und B. A B M

10 3. Vereinigung Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet A B = { m M m A oder m B } die Vereinigung von A und B A B M

11 4. Differenz Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet B A = { m M m B und m A } die Differenz. A B M

12 Regeln für das Rechnen mit Mengen Für das Rechnen mit Mengen A,B,C M gelten die folgenden Regeln: A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A B = A B.

13 Relationen Sei M eine beliebige Menge. Eine Relation R auf M ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes M M, d.h. R M M. Schreibweise: arb oder a R b falls (a,b) R gilt. Aufgaben: 1. Sei M die Menge der Geldbeträge 1000., 500. und 100., also M = {1000, 500, 100}. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge entspricht. 2. Sei M die Menge der folgenden Notenpaare (6, 6), (3.6, 4.4) und (3.4, 6) wobei die erste Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 1 und die zweite Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 2 ist. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge entspricht.

14 Relationen können eine Vielzahl von Eigenschaften haben. Wir wollen hier nur drei besonders wichtige genauer betrachten. Eine Relation R auf der Menge M heisst 1. reflexiv, falls für alle a M auch a R a gilt. 2. transitiv, falls für a,b,c M mit a R b und b R c auch a R c gilt. 3. zusammenhängend, falls für a, b M mit a b stets a R b oder b R a gilt. Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die beiden obigen Relationen die drei Eigenschaften haben.

15 Wichtige Teilmengen von R 1. Intervalle (a,b) = { x R a < x < b } (a,b] = { x R a < x b } [a,b) = { x R a x < b } [a,b] = { x R a x b }

16 2. ǫ-umgebungen von Punkten Sei a eine reelle Zahl und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-umgebung von a die Menge U ǫ (a) = { x R x a < ǫ } Beispiele (a) a = 0 und ǫ = 1 (b) a = 1 und ǫ = 3 (c) a = 2 und ǫ = 2

17 Wichtige Teilmengen von R 2 1. Produkte von Intervallen (a,b) (c,d) = { (x,y) R 2 a < x < b und c < y < d } Beispiele (a) (1, 2) (3, 4) (b) [ 1, 2) (0, 3]

18 2. ǫ-umgebungen von Punkten Sei P ein Punkt und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-umgebung von P die Menge U ǫ (P) = { Q R 2 P Q }{{} Abstand von P zu Q < ǫ } Beispiele (a) P = (0, 0) und ǫ = 1 (b) P = (1, 2) und ǫ = 3

19 3. Verbindungsstrecken Seien P 1 = (x 1,y 1 ) und P 2 = (x 2,y 2 ) zwei Punkte in R 2. Dann ist die Verbindungsstrecke P 1 P 2 dieser beiden Punkte die Menge P 1 P 2 = { P = t P 1 + (1 t) P 2 t [0, 1] } Beispiele (a) P 1 = (1, 2) und P 2 = (3, 4) P 1 P 2 = (b) P 1 = ( 3, 2) und P 2 = (4, 0) P 1 P 2 =

20 4. Kurven im R 2 Kurven lassen sich im R 2 meist als Nullstellengebilde einer Funktion φ(x, y) in den zwei Veränderlichen x und y schreiben. Wir suchen also alle Punkte (x,y) die von der Funktion φ auf Null abgebildet werden. Die Kurve K schreibt sich dann als K = { (x,y) R 2 φ(x,y) = 0 } Beispiele (a) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x y = 0 } (b) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x 2 + y 2 1 = 0 } (c) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x 2 y 1 = 0 } (d) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x 2 y + 1 = 0 }

21 5. Konvexe Mengen Eine Teilmenge M R 2 heisst konvex, falls für alle Punkte P 1 = (x 1,y 1 ) M und P 2 = (x 2,y 2 ) M auch die gesamte Verbindungsstrecke P 1 P 2 in M liegt. konvex nicht konvex Beispiele (a) { (x,y) R 2 x 2 + y 2 1 } (b) (( 1, 1) ( 1, 1)) ((3, 4) (3, 4)) (c) { (x,y) R 2 x 2 + y 2 > 1 }

22 Randpunkte und innere Punkte Wir betrachten eine beliebige Teilmenge M von R oder R 2. Ein Punkt x heisst Randpunkt von M, falls jede ǫ-umgebung von x sowohl Punkte aus M als auch aus dem Komplement M von M enthält. Ein Punkt von M der kein Randpunkt ist, heisst innerer Punkt von M. Aufgaben: 1. Sei M = [1, 3) R. Sind die Punkte x = 3 bzw. x = 2 Randpunkte von M? 2. Sei M = { (x,y) R 2 x 2 + y 2 1 } R. Sind die Punkte (0, 1) bzw. (0, 0) Randpunkte von M?

23 Teil 2 Funktionen

24 Definitionen und Beispiele Wird jedem Element x einer Menge X (Definitionsbereich) genau ein Element y einer Menge Y (meist ist Y = R die Menge der reellen Zahlen) zugeordnet, so heisst die Zuordnung Funktion. X Y x 1 f( ) = f( x 2 ) x 1 x 2 f( ) x 3 x 3 f( x 4 ) x 4 Die Menge W = {y Y f(x) = y für ein x X} heisst Wertebereich oder Bildbereich. Schreibweise: f : X Y x f(x) oder f : x f(x)

25 Wichtig! Wir wollen uns angewöhnen, zwischen der Funktion f und f(x) stets zu unterscheiden: f die Funktion, d.h. eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zuordnet. f(x) Wert der Funktion f an der Stelle x, d.h. f(x) ist ein Element der Menge Y.

26 Beispiele: 1. X = {1, 2, 3, 4} und Y = {1, 2, 3} f : X Y 1 1 = f(1) 2 1 = f(2) 3 2 = f(3) 4 2 = f(4) Bildmenge von f: f(x) = {1, 2} X Y

27 2. X = N und Y = R f : N R i 2 i Bildmenge von f: f(x) = 2 N (Menge aller geraden Zahlen) X Y

28 3. X = R R Y = R f : R R R (x 1,x 2 ) x 1 x Y 1 X 1 1

29 4. Sei X die Menge aller Teilnehmer der Vorlesung Mathematik 1 für Ökonomen, d.h. X = {T. Zehrt,...} und Y die Menge aller Haarfarben, also Y = { blond, braun, schwarz, rot, grau }. Die Funktion f bilde jeden Teilnehmer der Vorlesung auf seine Haarfarbe ab, d.h. f : X Y x Haarfarbe von x ( Ist die Funktion f injektiv, surjektiv und/oder bijektiv? )

30 Funktionen können auch stückweise definiert werden. Aufgabe: Skizzieren Sie die auf ganz R definierten Funktionen. f(x) = 5 für x < 0 x für x [0, 2] 0.5x + 8 für x > 2 g(x) = { x 2 für x 0 42 für x = 0

31 Eigenschaften von Funktionen 1. Injektive Funktionen Eine Funktion heisst eineindeutig oder injektiv, wenn verschiedene x 1,x 2 X stets auf verschiedene Werte im Bildbereich abgebildet werden. X Y X Y

32 32 Injektiv: auf jedes Element in Y zeigt höchstens ein Pfeil!!

33 Beispiele: f : R R x x 2 ist nicht injektiv, denn z.b. gilt 2 2 aber f( 2) = 4 = f(2). f : R R x 2x + 3 ist injektiv, denn für alle x 1,x 2 R gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x = 2x x 1 = x 2

34 2. Surjektive Funktionen Eine Funktion heisst surjektiv, falls für jedes Element y Y (mindestens) ein Element x X existiert, so dass f(x) = y gilt. X Y X Y Surjektiv: auf jedes Element in Y zeigt mindestens ein Pfeil!!

35 3. Bijektive Funktionen Eine Funktion heisst bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. X Y Bijektiv: auf jedes Element in Y zeigt genau ein Pfeil!!

36 Der Graph einer Funktion Für die Funktion f : X Y, wird die Menge { (x,f(x)) x X } X Y als der Graph von f bezeichnet y x

37 Aufgabe Skizzieren Sie die Graphen der folgenden beiden Funktionen. 1. X = {1,2,3,4} und Y = {1,2,3} f : X Y 1 1 = f(1) 2 1 = f(2) 3 2 = f(3) 4 2 = f(4) 2. X = N und Y = R f : N R i 2 i

38 Die Umkehrfunktion Wir betrachten eine injektive Funktion f, d.h. insbesondere, dass zu jedem y des Wertebereichs von f genau ein x des Definitionsbereiches von f mit der Eigenschaft y = f(x) existiert. Somit können wir die Umkehrfunktion f 1 von f definieren, die jedem Element y des Wertebereichs von f dieses eindeutig bestimmte Element x zuordnet. Bezeichnung: x = f 1 (y) bzw. nach Vertauschung der Variablen y = f 1 (x).

39 Beispiel: f : R { 2} R x 3x + 4 x + 2 oder kurz: y = f(x) = 3x + 4 x + 2 Konstruktion von f 1 (Auflösen nach x) y = 3x + 4 x + 2 xy + 2y = 3x + 4 xy 3x = 4 2y Also: x = 4 2y y 3 f 1 : R {3} R y 4 2y y 3

40 Wendet man auf ein x zunächst eine umkehrbare Funktion f an und danach die Umkehrfunktion f 1 (auf f(x)), so erhält man wieder x zurück. f 1 (f(x)) = x f(f 1 (y)) = y Beispiel: y = f(x) = 3x + 4 x + 2 x = f 1 (y) = 4 2y y 3 Es gilt: 3x + 4 f 1 (f(x)) = 4 2f(x) 4 2 f(x) 3 = x + 2 = x. 3x + 4 x + 2 3

41 Zusammengesetzte Funktionen Seien g : X U x g(x) f : U Y u f(u) zwei Funktionen, so dass der Wertebereich von g im Definitionsbereich von f enhalten ist. Dann kann man aus beiden Funktionen die zusammengesetzte Funktion oder Komposition von f und g bilden: F = f g : X Y x f(g(x)) Natürlich ist F auf dem Definitionsbereich von g definiert

42 Skizze: X U Y F x g u=g(x) y=f(g(x)) f

43 Es gilt ausserdem: Sind f und g umkehrbar, so ist auch die Komposition f g umkehrbar und es gilt (f g) 1 = g 1 f 1 g f X U Y g 1 f 1 An der Skizze lässt sich leicht erkennen, warum sich die Reihenfolge der Abbildungen beim Umkehren ändert.

44 Beispiel: Die Funktion f(x) = 3 x kann als Komposition der folgenden Funktionen betrachtet werden: u = f 1 (x) = x 2, das Element x wird quadriert. v = f 2 (u) = u + 4, zum Ergebnis wird 4 addiert. w = f 3 (v) = 1/v, der Kehrwert wird gebildet. y = f 4 (w) = 3 w, das Ergebnis wird mit 3 multipliziert. f(x) = f 4 ( f 3 ( f 2 ( f } 1 {{ (x) } ) ) ). }{{ u }}{{ v }}{{ w } y

45 Teil 3 Logik: Häufig gemachte Fehler

46 Auf die Entwicklung des mathematischen Apparates der formalen Logik werden wir hier verzichten und nur auf die häufigsten Fehler eingehen, denen ich (nicht nur in der Mathematik) regelmässig begegne.

47 Unzulässiges Verallgemeinern Nachdem man einige wenige (oder sogar sehr viele) Einzelfälle geprüft hat, behauptet man, dass die dort gefundene Eigenschaft stets gilt. Beispiel 1: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Zahlenfolge a n ist streng monoton fallend, falls für alle n > 0 die Relation a n > a n+1 gilt. Um zu beweisen, dass die Zahlenfolge a n = n 3 100n streng monoton fallend ist, werden einige Folgenglieder ausgerechnet: a 1 = = 99 a 2 = = 192 a 3 = = 273 Die Folge ist also streng monoton fallend!????? Ist die Folge streng monoton fallend?

48 Beispiel 2: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem Intervall [a,b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x 1,x 2 [a,b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt. Um zu beweisen, dass die Funktion f(x) = x 3 x 2 auf dem Intervall [ 2, 2] streng monoton wachsend ist, berechnen wir die beiden Werte f( 2) = 12 f(2) = 4 und da f( 2) = 12 < f(2) = 4 ist, muss die Funktion streng monoton wachsend sein!????? Ist die Funktion streng monoton wachsend?

49 Falsche Negation von All-Aussagen Beispiel: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem Intervall [a,b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x 1,x 2 [a,b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt. Wann ist eine Funktion nicht streng monoton wachsend? Da das Gegenteil von,,für alle,, doch sicher,,für kein,, ist, sollte doch eine Funktion nicht streng monoton wachsend sein, wenn für kein Paar x 1,x 2 [a,b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt!?? Stimmt das?

50 Falsche Negation von Mindestens-Aussagen Was ist das Gegenteil der folgenden Aussage? Es gibt mindestens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. Einige mögliche Antworten: 1. Es gibt höchstens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. 2. Es gibt höchstens 2 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. 3. Es gibt entweder genau keine, eine oder zwei reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

Abbildungseigenschaften

Abbildungseigenschaften Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem

1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem .0.0. Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im, - Koordinatensstem Vereinbarungen Wir betrachten vorerst nur noch Funktionen f, deren Definitionsund Wertebereich jeweils R oder ein

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

13. Funktionen in einer Variablen

13. Funktionen in einer Variablen 13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 01/13 Hochschule Augsburg Mathematik : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren

Mehr

Vorkurs Mathematik Abbildungen

Vorkurs Mathematik Abbildungen Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.

Mehr

Einführung in die Mengenlehre

Einführung in die Mengenlehre Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei

Mehr

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,

Mehr

Kapitel 2 MENGENLEHRE

Kapitel 2 MENGENLEHRE Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen)

Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen) DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Christian Eisentraut, M.Sc. Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 0/3) Übungsblatt 8 (Relationen

Mehr

Spickzettel Mathe C1

Spickzettel Mathe C1 Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten.

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. 2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. Die Theorie der schwarzen Steinchen haben wir jetzt halbwegs vertanden. Statt mit schwarzen Steinen wie die Griechen, wollen wir jetzt mit schwarzen

Mehr

In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. N = {1,2,3,...}, p in Z,q in N}.

In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. N = {1,2,3,...}, p in Z,q in N}. 1 1 Grundlagen 1.1 Zahlen, Mengen und Symbole In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. Zahlenmengen Die Menge N der natürlichen Zahlen ist gegeben durch

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

3. Die Definition einer Abbildung von A in B beinhaltet eigentlich zwei Bedingungen, nämlich

3. Die Definition einer Abbildung von A in B beinhaltet eigentlich zwei Bedingungen, nämlich Kapitel 3: Abbildungen Seite 32 Kap 3: Abbildungen Kap. 3.1: Abbildungen (Funktion), Bild und Urbild Der Begriff der Abbildung ist wie auch der Begriff der Menge von fundamentaler Bedeutung für die Mathematik.

Mehr

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,

Mehr

Mathematik I. Zusammenhängende Räume

Mathematik I. Zusammenhängende Räume Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 21 Die beiden nächsten Vorlesungen kann man unter dem Aspekt sehen, welche topologischen Eigenenschaften die reellen Zahlen gegenüber

Mehr

Mengenlehre. Yanhai Song. Proseminar Mathematische Modellierung. Fakultät für Informatik Technische Universität München. 12.Juni.

Mengenlehre. Yanhai Song. Proseminar Mathematische Modellierung. Fakultät für Informatik Technische Universität München. 12.Juni. Mengenlehre Yanhai Song songy@in.tum.de Proseminar Mathematische Modellierung Fakultät für Informatik Technische Universität München 12.Juni.2001 Zusammenfassung Die Mengenlehre gehört zu den vier Teilgebieten

Mehr

Mengenlehre. Jörg Witte

Mengenlehre. Jörg Witte Mengenlehre Jörg Witte 25.10.2007 1 Grbegriffe Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grlegend. Sie spielt aber auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie der

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Ungleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Ungleichungen 3. Ungleichungen mit

Mehr

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2 4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige

Mehr

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen

1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen 1 1 Funktionen 1.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung einer Menge X in eine andere Y. Ist x X, dann ist f(x) y Y das Bild des Elementes x. x heißt das Urbild des

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

Mathematik für Anwender II

Mathematik für Anwender II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 32 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines

Mehr

Einleitung 1. 3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19

Einleitung 1. 3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis iv Einleitung 1 1 Aussagen, Mengen und Quantoren 3 1.1 Aussagen und logische Verknüpfungen........................ 3 1.2 Mengen.........................................

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume

Mathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 19 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors

Mehr

Thema 3 Folgen, Grenzwerte

Thema 3 Folgen, Grenzwerte Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2007/2008. Erforderliche Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2007/2008. Erforderliche Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dr. Christoph Barbian e Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 007/008 Erforderliche Vorkenntnisse In der

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Mathematischen Grundlagen und Notationen

Mathematischen Grundlagen und Notationen Mathematischen Grundlagen und Notationen Susanne Schimpf Juni 008 Es geht in dieser Lerneinheit darum, mathematische Notationen besser zu verstehen und auch selbst korrekt zu benutzen. Außerdem sollen

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 1 1.2 Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Grundbegriffe der Mengenlehre 2 Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Georg Cantor begründet. Der Begriffsapparat der Mengenlehre hat sich als so nützlich für

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Kurze Wiederholung: [Relationen und Abbildungen]

Kurze Wiederholung: [Relationen und Abbildungen] SS 2012, Lineare Algebra 1 Lösungen zum 1. Aufgabenblatt Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II. Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Lernziel TC 2012 / Woche 2

Lernziel TC 2012 / Woche 2 Lernziel TC 2012 / Woche 2 Mengen 1. Vervollständige die Definition der Teilmenge auf zwei verschiedene Arten: Für zwei Mengen, gilt, wenn gilt.. bzw.. 2. Seien, beliebige Teilmengen einer Grundmenge.

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige

Mehr

Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung

Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Kapitel 1 Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande J. W. Goethe In diesem Kapitel bringen wir die Begriffe Umgebung, Konvergenz,

Mehr

15 Hauptsätze über stetige Funktionen

15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15.1 Extremalsatz von Weierstraß 15.2 Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 15.3 Nullstellensatz von Bolzano 15.5 Stetige Funktionen sind intervalltreu 15.6 Umkehrfunktionen

Mehr

In diesem Kapitel wiederholen wir Begriffe und Notationen für grundlegende mathematische

In diesem Kapitel wiederholen wir Begriffe und Notationen für grundlegende mathematische Kapitel 1 Mathematische Objekte In diesem Kapitel wiederholen wir Begriffe und Notationen für grundlegende mathematische Objekte wie Tupel, Mengen, Relationen und Funktionen. Außerdem erklären wir die

Mehr

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

2 Funktionen mehrerer Veränderlicher

2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 4 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher Wir betrachten nun Funktionen, die auf einer Teilmenge des R n definiert sind. Wir betrachten eine Funktion f, deren Definitionsbereich

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,

Mehr

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin Die Menge der ganzen Zahlen von Peter Franzke in Berlin Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf: Es gibt Zahlen mn, derart, dass die lineare Gleichung der Form mx n keine

Mehr

1 Mengen. 1.1 Definition

1 Mengen. 1.1 Definition 1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

Technische Universität München

Technische Universität München Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv,

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

1.4 Äquivalenzrelationen

1.4 Äquivalenzrelationen 8 1.4 Äquivalenzrelationen achdem nun die axiomatische Grundlage gelegt ist, können wir uns bis zur Einführung der Kategorien das Leben dadurch erleichtern, daß wir bis dorthin, also bis auf weiteres,

Mehr

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.

Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.

Mehr

2. Symmetrische Gruppen

2. Symmetrische Gruppen 14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr