Mathematik für Ökonomen 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik für Ökonomen 1"

Transkript

1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik

2 Teil 1 Mengen

3 Nach G. Cantor ( ) versteht man unter einer Menge M die Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einer Gesamtheit. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge dieser Objekte an, also gilt {1, 2} = {2, 1}. Ist m ein Element einer Menge M so schreiben wir m M, sonst m M. Definition von Mengen 1. Aufzählen der Elemente 2. Zusammenfassungsprinzip: Ist E eine Eigenschaft und m ein Element der Menge M (Universalmenge), dann bedeutet E(m), dass auf m die Eigenschaft E zutrifft. Die Menge der Elemente m M, die die Eigenschaft E(m) haben, wird dann mit {m M E(m)} bezeichnet.

4 Eine spezielle Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Diese Menge die leere Menge genannt und mit bezeichnet.

5 Kartesisches Produkt und Potenzmenge 1. Kartesisches Produkt Sind M 1 und M 2 Mengen, so ist das kartesische Produkt dieser beiden Mengen die Menge aller geordneter Paare, die sich aus Elementen dieser Mengen bilden lassen oder kurz: M 1 M 2 = { (m 1,m 2 ) m 1 M 1 und m 2 M 2 } Verallgemeinerung: M 1 M 2... M n = { (m 1,m 2,...,m n ) : m j M j,j = 1, 2,...,n } Im Falle M 1 = M 2 =... = M n = M schreibt man auch M n für M M... M.

6 Beispiele (a) R 2 (b) R 3 (c) R N

7 2. Potenzmenge Sei M eine beliebige Menge. Dann ist die Potenzmenge P(M) von M als die Menge aller Teilmengen von M definiert, also P(M) = { A A M }. Dabei ist zu beachten, dass die leere Menge ebenfalls als Teilmenge von M aufgefasst wird: M. Beispiele (a) M = { 1, 2 }, P(M) = (b) M = { 1, 2, 3 }, P(M) =

8 Mengenalgebra Ist M eine Menge, so heisst eine Menge A Teilmenge von M, wenn aus a A stets a M folgt. Wir bezeichnen das durch A M. 1. Komplement Ist A eine Teilmenge der Menge M, so bezeichnet A = { m M m A } das Komplement von A in M A M

9 2. Durchschnitt Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet A B = { m M m A und m B } den Durchschnitt von A und B. A B M

10 3. Vereinigung Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet A B = { m M m A oder m B } die Vereinigung von A und B A B M

11 4. Differenz Sind A und B Teilmengen einer Menge M, so bezeichnet B A = { m M m B und m A } die Differenz. A B M

12 Regeln für das Rechnen mit Mengen Für das Rechnen mit Mengen A,B,C M gelten die folgenden Regeln: A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A B = A B.

13 Relationen Sei M eine beliebige Menge. Eine Relation R auf M ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes M M, d.h. R M M. Schreibweise: arb oder a R b falls (a,b) R gilt. Aufgaben: 1. Sei M die Menge der Geldbeträge 1000., 500. und 100., also M = {1000, 500, 100}. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge entspricht. 2. Sei M die Menge der folgenden Notenpaare (6, 6), (3.6, 4.4) und (3.4, 6) wobei die erste Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 1 und die zweite Zahl die Klausurnote im Fach Mathematik 2 ist. Geben Sie eine Relation an, die Ihrer Präferenz bezüglich dieser Menge entspricht.

14 Relationen können eine Vielzahl von Eigenschaften haben. Wir wollen hier nur drei besonders wichtige genauer betrachten. Eine Relation R auf der Menge M heisst 1. reflexiv, falls für alle a M auch a R a gilt. 2. transitiv, falls für a,b,c M mit a R b und b R c auch a R c gilt. 3. zusammenhängend, falls für a, b M mit a b stets a R b oder b R a gilt. Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die beiden obigen Relationen die drei Eigenschaften haben.

15 Wichtige Teilmengen von R 1. Intervalle (a,b) = { x R a < x < b } (a,b] = { x R a < x b } [a,b) = { x R a x < b } [a,b] = { x R a x b }

16 2. ǫ-umgebungen von Punkten Sei a eine reelle Zahl und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-umgebung von a die Menge U ǫ (a) = { x R x a < ǫ } Beispiele (a) a = 0 und ǫ = 1 (b) a = 1 und ǫ = 3 (c) a = 2 und ǫ = 2

17 Wichtige Teilmengen von R 2 1. Produkte von Intervallen (a,b) (c,d) = { (x,y) R 2 a < x < b und c < y < d } Beispiele (a) (1, 2) (3, 4) (b) [ 1, 2) (0, 3]

18 2. ǫ-umgebungen von Punkten Sei P ein Punkt und ǫ > 0. Dann ist die ǫ-umgebung von P die Menge U ǫ (P) = { Q R 2 P Q }{{} Abstand von P zu Q < ǫ } Beispiele (a) P = (0, 0) und ǫ = 1 (b) P = (1, 2) und ǫ = 3

19 3. Verbindungsstrecken Seien P 1 = (x 1,y 1 ) und P 2 = (x 2,y 2 ) zwei Punkte in R 2. Dann ist die Verbindungsstrecke P 1 P 2 dieser beiden Punkte die Menge P 1 P 2 = { P = t P 1 + (1 t) P 2 t [0, 1] } Beispiele (a) P 1 = (1, 2) und P 2 = (3, 4) P 1 P 2 = (b) P 1 = ( 3, 2) und P 2 = (4, 0) P 1 P 2 =

20 4. Kurven im R 2 Kurven lassen sich im R 2 meist als Nullstellengebilde einer Funktion φ(x, y) in den zwei Veränderlichen x und y schreiben. Wir suchen also alle Punkte (x,y) die von der Funktion φ auf Null abgebildet werden. Die Kurve K schreibt sich dann als K = { (x,y) R 2 φ(x,y) = 0 } Beispiele (a) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x y = 0 } (b) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x 2 + y 2 1 = 0 } (c) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x 2 y 1 = 0 } (d) { (x,y) R 2 φ(x,y) = x 2 y + 1 = 0 }

21 5. Konvexe Mengen Eine Teilmenge M R 2 heisst konvex, falls für alle Punkte P 1 = (x 1,y 1 ) M und P 2 = (x 2,y 2 ) M auch die gesamte Verbindungsstrecke P 1 P 2 in M liegt. konvex nicht konvex Beispiele (a) { (x,y) R 2 x 2 + y 2 1 } (b) (( 1, 1) ( 1, 1)) ((3, 4) (3, 4)) (c) { (x,y) R 2 x 2 + y 2 > 1 }

22 Randpunkte und innere Punkte Wir betrachten eine beliebige Teilmenge M von R oder R 2. Ein Punkt x heisst Randpunkt von M, falls jede ǫ-umgebung von x sowohl Punkte aus M als auch aus dem Komplement M von M enthält. Ein Punkt von M der kein Randpunkt ist, heisst innerer Punkt von M. Aufgaben: 1. Sei M = [1, 3) R. Sind die Punkte x = 3 bzw. x = 2 Randpunkte von M? 2. Sei M = { (x,y) R 2 x 2 + y 2 1 } R. Sind die Punkte (0, 1) bzw. (0, 0) Randpunkte von M?

23 Teil 2 Funktionen

24 Definitionen und Beispiele Wird jedem Element x einer Menge X (Definitionsbereich) genau ein Element y einer Menge Y (meist ist Y = R die Menge der reellen Zahlen) zugeordnet, so heisst die Zuordnung Funktion. X Y x 1 f( ) = f( x 2 ) x 1 x 2 f( ) x 3 x 3 f( x 4 ) x 4 Die Menge W = {y Y f(x) = y für ein x X} heisst Wertebereich oder Bildbereich. Schreibweise: f : X Y x f(x) oder f : x f(x)

25 Wichtig! Wir wollen uns angewöhnen, zwischen der Funktion f und f(x) stets zu unterscheiden: f die Funktion, d.h. eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zuordnet. f(x) Wert der Funktion f an der Stelle x, d.h. f(x) ist ein Element der Menge Y.

26 Beispiele: 1. X = {1, 2, 3, 4} und Y = {1, 2, 3} f : X Y 1 1 = f(1) 2 1 = f(2) 3 2 = f(3) 4 2 = f(4) Bildmenge von f: f(x) = {1, 2} X Y

27 2. X = N und Y = R f : N R i 2 i Bildmenge von f: f(x) = 2 N (Menge aller geraden Zahlen) X Y

28 3. X = R R Y = R f : R R R (x 1,x 2 ) x 1 x Y 1 X 1 1

29 4. Sei X die Menge aller Teilnehmer der Vorlesung Mathematik 1 für Ökonomen, d.h. X = {T. Zehrt,...} und Y die Menge aller Haarfarben, also Y = { blond, braun, schwarz, rot, grau }. Die Funktion f bilde jeden Teilnehmer der Vorlesung auf seine Haarfarbe ab, d.h. f : X Y x Haarfarbe von x ( Ist die Funktion f injektiv, surjektiv und/oder bijektiv? )

30 Funktionen können auch stückweise definiert werden. Aufgabe: Skizzieren Sie die auf ganz R definierten Funktionen. f(x) = 5 für x < 0 x für x [0, 2] 0.5x + 8 für x > 2 g(x) = { x 2 für x 0 42 für x = 0

31 Eigenschaften von Funktionen 1. Injektive Funktionen Eine Funktion heisst eineindeutig oder injektiv, wenn verschiedene x 1,x 2 X stets auf verschiedene Werte im Bildbereich abgebildet werden. X Y X Y

32 32 Injektiv: auf jedes Element in Y zeigt höchstens ein Pfeil!!

33 Beispiele: f : R R x x 2 ist nicht injektiv, denn z.b. gilt 2 2 aber f( 2) = 4 = f(2). f : R R x 2x + 3 ist injektiv, denn für alle x 1,x 2 R gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x = 2x x 1 = x 2

34 2. Surjektive Funktionen Eine Funktion heisst surjektiv, falls für jedes Element y Y (mindestens) ein Element x X existiert, so dass f(x) = y gilt. X Y X Y Surjektiv: auf jedes Element in Y zeigt mindestens ein Pfeil!!

35 3. Bijektive Funktionen Eine Funktion heisst bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. X Y Bijektiv: auf jedes Element in Y zeigt genau ein Pfeil!!

36 Der Graph einer Funktion Für die Funktion f : X Y, wird die Menge { (x,f(x)) x X } X Y als der Graph von f bezeichnet y x

37 Aufgabe Skizzieren Sie die Graphen der folgenden beiden Funktionen. 1. X = {1,2,3,4} und Y = {1,2,3} f : X Y 1 1 = f(1) 2 1 = f(2) 3 2 = f(3) 4 2 = f(4) 2. X = N und Y = R f : N R i 2 i

38 Die Umkehrfunktion Wir betrachten eine injektive Funktion f, d.h. insbesondere, dass zu jedem y des Wertebereichs von f genau ein x des Definitionsbereiches von f mit der Eigenschaft y = f(x) existiert. Somit können wir die Umkehrfunktion f 1 von f definieren, die jedem Element y des Wertebereichs von f dieses eindeutig bestimmte Element x zuordnet. Bezeichnung: x = f 1 (y) bzw. nach Vertauschung der Variablen y = f 1 (x).

39 Beispiel: f : R { 2} R x 3x + 4 x + 2 oder kurz: y = f(x) = 3x + 4 x + 2 Konstruktion von f 1 (Auflösen nach x) y = 3x + 4 x + 2 xy + 2y = 3x + 4 xy 3x = 4 2y Also: x = 4 2y y 3 f 1 : R {3} R y 4 2y y 3

40 Wendet man auf ein x zunächst eine umkehrbare Funktion f an und danach die Umkehrfunktion f 1 (auf f(x)), so erhält man wieder x zurück. f 1 (f(x)) = x f(f 1 (y)) = y Beispiel: y = f(x) = 3x + 4 x + 2 x = f 1 (y) = 4 2y y 3 Es gilt: 3x + 4 f 1 (f(x)) = 4 2f(x) 4 2 f(x) 3 = x + 2 = x. 3x + 4 x + 2 3

41 Zusammengesetzte Funktionen Seien g : X U x g(x) f : U Y u f(u) zwei Funktionen, so dass der Wertebereich von g im Definitionsbereich von f enhalten ist. Dann kann man aus beiden Funktionen die zusammengesetzte Funktion oder Komposition von f und g bilden: F = f g : X Y x f(g(x)) Natürlich ist F auf dem Definitionsbereich von g definiert

42 Skizze: X U Y F x g u=g(x) y=f(g(x)) f

43 Es gilt ausserdem: Sind f und g umkehrbar, so ist auch die Komposition f g umkehrbar und es gilt (f g) 1 = g 1 f 1 g f X U Y g 1 f 1 An der Skizze lässt sich leicht erkennen, warum sich die Reihenfolge der Abbildungen beim Umkehren ändert.

44 Beispiel: Die Funktion f(x) = 3 x kann als Komposition der folgenden Funktionen betrachtet werden: u = f 1 (x) = x 2, das Element x wird quadriert. v = f 2 (u) = u + 4, zum Ergebnis wird 4 addiert. w = f 3 (v) = 1/v, der Kehrwert wird gebildet. y = f 4 (w) = 3 w, das Ergebnis wird mit 3 multipliziert. f(x) = f 4 ( f 3 ( f 2 ( f } 1 {{ (x) } ) ) ). }{{ u }}{{ v }}{{ w } y

45 Teil 3 Logik: Häufig gemachte Fehler

46 Auf die Entwicklung des mathematischen Apparates der formalen Logik werden wir hier verzichten und nur auf die häufigsten Fehler eingehen, denen ich (nicht nur in der Mathematik) regelmässig begegne.

47 Unzulässiges Verallgemeinern Nachdem man einige wenige (oder sogar sehr viele) Einzelfälle geprüft hat, behauptet man, dass die dort gefundene Eigenschaft stets gilt. Beispiel 1: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Zahlenfolge a n ist streng monoton fallend, falls für alle n > 0 die Relation a n > a n+1 gilt. Um zu beweisen, dass die Zahlenfolge a n = n 3 100n streng monoton fallend ist, werden einige Folgenglieder ausgerechnet: a 1 = = 99 a 2 = = 192 a 3 = = 273 Die Folge ist also streng monoton fallend!????? Ist die Folge streng monoton fallend?

48 Beispiel 2: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem Intervall [a,b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x 1,x 2 [a,b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt. Um zu beweisen, dass die Funktion f(x) = x 3 x 2 auf dem Intervall [ 2, 2] streng monoton wachsend ist, berechnen wir die beiden Werte f( 2) = 12 f(2) = 4 und da f( 2) = 12 < f(2) = 4 ist, muss die Funktion streng monoton wachsend sein!????? Ist die Funktion streng monoton wachsend?

49 Falsche Negation von All-Aussagen Beispiel: Monotonie von Zahlenfolgen Erinnerung: Eine Funktion f heisst auf dem Intervall [a,b] streng monoton wachsend, falls für alle Paare x 1,x 2 [a,b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt. Wann ist eine Funktion nicht streng monoton wachsend? Da das Gegenteil von,,für alle,, doch sicher,,für kein,, ist, sollte doch eine Funktion nicht streng monoton wachsend sein, wenn für kein Paar x 1,x 2 [a,b] mit x 1 < x 2 auch f(x 1 ) < f(x 2 ) gilt!?? Stimmt das?

50 Falsche Negation von Mindestens-Aussagen Was ist das Gegenteil der folgenden Aussage? Es gibt mindestens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. Einige mögliche Antworten: 1. Es gibt höchstens 3 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. 2. Es gibt höchstens 2 reelle Zahlen, die grösser als 5 sind. 3. Es gibt entweder genau keine, eine oder zwei reelle Zahlen, die grösser als 5 sind.

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 8. September 2011 Für die Mathematik zentral sind Abbildungen und Funktionen. Häufig wird zwischen beiden Begriffen nicht unterschieden.

Mehr

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre 28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung

Mehr

Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt!

Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt! Relationen, Funktionen und Partitionen 1. Geordnetes Paar Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen

Mehr

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2 Mengen, Relationen, Funktionen Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007

Vorlesung 2. Tilman Bauer. 6. September 2007 Vorlesung 2 Universität Münster 6. September 2007 Organisatorisches Meine Koordinaten: Sprechstunden: Di 13:30-14:30 Do 9:00-10:00 tbauer@uni-muenster.de Zimmer 504, Einsteinstr. 62 (Hochhaus) für alle

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Boolsche Algebra Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 14/15 48 / 155 Überblick

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4) FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet:

Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet: Abbildung Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet: f : A B. Für die Elementzuordnung verwendet

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Funktionen einer reellen Veränderlichen KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen.1 Eigenschaften von Funktionen........................... 39. Potenz- und Wurzelfunktionen............................ 1.3 Trigonometrische Funktionen.............................

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen. Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung im Wintersemester 2012/13 Ludwig-Maximilians-Universität

Mehr

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten:

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten: 35 4 Paarungen 4. Produktmengen Die Mengen {x, y} und {y, x} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusätzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1 .1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen 1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. 1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge

Mehr

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe 1. Schreiben Sie folgende

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

Abbildungseigenschaften

Abbildungseigenschaften Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

17 Lineare Abbildungen

17 Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis Übungsaufgaben 3. Übung: Woche vom 27. 10. bis 31. 10. 2010 Heft Ü1: 3.14 (c,d,h); 3.15; 3.16 (a-d,f,h,j); 3.17 (d); 3.18 (a,d,f,h,j) Übungsverlegung für Gruppe VIW 05: am Mo., 4.DS, SE2 / 022 (neuer Raum).

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen

Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 46 / 708 Überblick

Mehr

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch % 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!

Mehr

1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem

1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem .0.0. Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im, - Koordinatensstem Vereinbarungen Wir betrachten vorerst nur noch Funktionen f, deren Definitionsund Wertebereich jeweils R oder ein

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen

Mehr

Analyis I - Grundlagen

Analyis I - Grundlagen Elementare Aussagenlogik October 23, 2008 Elementare Aussagenlogik Definition Eine Aussage im Sinne der Aussagenlogik ist eine sprachliche Aussage, bei der klar entschieden werden kann, ob sie wahr oder

Mehr

13. Funktionen in einer Variablen

13. Funktionen in einer Variablen 13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

Vorkurs Mathematik Abbildungen

Vorkurs Mathematik Abbildungen Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.

Mehr

Abbildungen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Abbildungen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Abbildungen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Abbildungen Die wichtigsten Relationen sind die Abbildungen: Eine Abbildung (A,B,f ) von A nach

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 01/13 Hochschule Augsburg Mathematik : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren

Mehr

2 Funktionen einer Variablen

2 Funktionen einer Variablen 2 Funktionen einer Variablen 2.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind

Mehr

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18 1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 7. November 2007 2/18 Geordnete Paare Mengen sind ungeordnet: {a, b} = {b, a} für viele Anwendungen braucht

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 3 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P4) Wir betrachten die Menge M := P({1, 2, 3, 4}). Dann gilt 1 / M,

Mehr

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017

Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 4 Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 Prof. Dr. Peter Koepke, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 7 Aufgabe 29 (8 Punkte). Für eine Menge M ist die Potenzmenge von M definiert als P(M) := {X X M},

Mehr

Ein Beispiel aus dem MINT-Lernzentrum

Ein Beispiel aus dem MINT-Lernzentrum Armin P. Barth Umkehrfunktion in einer Hochschul-Anfängervorlesung: Sei f : A B eine Funktion. Im f : f x x A Im Allgemeinen ist die Bildmenge der Funktion eine echte Teilmenge des Wertevorrates, also:

Mehr

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)

Mehr

Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen

Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen Thomas Zehrt Universität Basel WWZ Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 1 / 33 Outline 1 Der n-dimensionale Raum 2 R 2 und die komplexen

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik

Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik Wolter/Dahn: Analysis Individuell 3 Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenlehre und der Logik In diesem Abschnitt werden einige Grundbegriffe der Mengenlehre und grundlegende 1/0/0 Prinzipien der mathematischen

Mehr

Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) Abbildungen und Kompositionen. apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch

Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) Abbildungen und Kompositionen. apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch 10.10.016 Abbildungen und Kompositionen Allgemeine Erklärungen: Siehe Seite 1 zu Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen!

Mehr

Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv

Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 4 vom 25.10.2012 Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen Denition 23 (Abbildung(Funktion))

Mehr

Kapitel 2 MENGENLEHRE

Kapitel 2 MENGENLEHRE Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.

Mehr

Grundlagen. Kapitel Mengen

Grundlagen. Kapitel Mengen Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

Folgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014

Mathematik I Herbstsemester 2014 Mathematik I Herbstsemester 2014 www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 22 1 Funktionen Definitionen

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag

Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 27 / 254 Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Definition 3.1 (Relationen)

Mehr

2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie

2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie Institut für Mathematik Prof. Dr. Helge Glöckner Dipl. Math. Rafael Dahmen SoSe 11 15.04.2011 2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie (Aufgaben und Lösungen) Gruppenübung Aufgabe G3 (Atlanten) (a) In

Mehr

Einführung in die Mengenlehre

Einführung in die Mengenlehre Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei

Mehr

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra 2005-2013 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Funktionen und andere Zuordnungen

Funktionen und andere Zuordnungen Funktionen und andere Zuordnungen Rainer Hauser November 2011 1 Allgemeine Zuordnungen 1.1 Pfeildarstellung von Zuordnungen Sätze wie Das ist der Schlüssel zu diesem Schloss und Hänsel ist der Bruder von

Mehr

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und

Mehr

Celle. Betragsfunktion 1-E1. Vorkurs, Mathematik

Celle. Betragsfunktion 1-E1. Vorkurs, Mathematik Celle Betragsfunktion 1-E1 1-E2 Betragsfunktion y = x : Aufgabe 1 Abb. 1: Graph der Betragsfunktion y = x Die Abb. 3-1 zeigt die Betragsfunktion y = x. Beschreiben Sie die Eigenschaften dieser Funktion:

Mehr

Spickzettel Mathe C1

Spickzettel Mathe C1 Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge

Mehr

Analysis I Marburg, Wintersemester 1999/2000

Analysis I Marburg, Wintersemester 1999/2000 Skript zur Vorlesung Analysis I Marburg, Wintersemester 1999/2000 Friedrich W. Knöller Literaturverzeichnis [1] Barner, Martin und Flohr, Friedrich: Analysis I. de Gruyter. 19XX [2] Forster, Otto: Analysis

Mehr

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein

Für unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Lösungen 2 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren

Lösungen 2 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren Lösungen 2 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren µfsr, TU Dresden Version vom 26. September 2016, Fehler und Verbesserungsvorschläge bitte an benedikt.bartsch@myfsr.de

Mehr

Vorkurs Mathematik. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010. Arbeitsblatt 4. auf Injektivität und Surjektivität.

Vorkurs Mathematik. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010. Arbeitsblatt 4. auf Injektivität und Surjektivität. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Vorkurs Mathematik Arbeitsblatt 4 Injektivität und Surjektivität Aufgabe 4.1. Eine Funktion f : R R, x f(x), heißt streng wachsend, wenn für alle x 1, x 2 R

Mehr

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen)

Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen) DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Christian Eisentraut, M.Sc. Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 0/3) Übungsblatt 8 (Relationen

Mehr

Funktionen. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit

Funktionen. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit Funktionen Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Funktionen Slide 1/23 Agenda Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit Diskrete

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 20 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen. Exponentialfunktionen und Logarithmen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen. Exponentialfunktionen und Logarithmen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Exponentialfunktionen und Logarithmen Inhalt:. Zinsrechnung. Exponential- und Logaritmusfunktionen

Mehr

Mengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M.

Mengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M. Mengenlehre Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Objekte. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Objekte heißen Elemente der Menge.

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

3. Die Definition einer Abbildung von A in B beinhaltet eigentlich zwei Bedingungen, nämlich

3. Die Definition einer Abbildung von A in B beinhaltet eigentlich zwei Bedingungen, nämlich Kapitel 3: Abbildungen Seite 32 Kap 3: Abbildungen Kap. 3.1: Abbildungen (Funktion), Bild und Urbild Der Begriff der Abbildung ist wie auch der Begriff der Menge von fundamentaler Bedeutung für die Mathematik.

Mehr