Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt!

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1 Relationen, Funktionen und Partitionen 1. Geordnetes Paar <a,b> <b,a> <a,b> <a,a,b> Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt! <a,b> {a,b} <a,b> = {a,{a,b}} Geordnete Paare können als Mengen geschrieben werden (und haben dann dieselben Eigenschaften), für unsere Zwecke ist das aber meist nicht nötig. 2. Kartesisches Produkt M = {a,b,c} N = {1,2} M N = {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>} Das Kartesische Produkt (Kreuzprodukt) zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus der ersten Menge und deren zweites Element aus der zweiten Menge stammt. Es enthält, vereinfacht gesagt, alle Kombinationen von Elementen aus M und N. 3. Relation R₁ M N R₁ = {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>} Eine Relation auf M N ist eine Teilmenge dieses Kartesischen Produktes und damit ebenfalls eine Menge von geordneten Paaren. <a,1> R₁; a R₁ 1. Weil das Paar <a,1> ein Element der Relation R₁ ist, können wir sagen: a steht in der Relation ("Beziehung") R₁ zu 1. Etwas übersichtlicher ist die Darstellung als Pfeildiagramm, auch Graph genannt: Beide Mengen werden (mit allen Elementen!) aufgezeichnet und die in der Relation vorhanden Paare dann mit Pfeilen von links nach rechts markiert.

2 4. Eigenschaften von Relationen M = {a,b,c} M M = {<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<c,c>} R₂ M M R₂ = {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<c,c>} R₂ ist eine Teilmenge des Kartesischen Produktes von M mit sich selbst, man sagt deshalb: R₂ ist eine Relation auf M. Solche Relationen können besondere Eigenschaften haben; für Relationen auf dem Kreuzprodukt zweier verschiedener Mengen gilt das in der Regel nicht. Auch für Funktionen kann man diese Eigenschaften meistens nicht sinnvoll untersuchen! Für die Darstellung als Pfeildiagramm gibt es hier zwei Möglichkeiten. Bei größeren Relationen ist die Erste deutlich übersichtlicher! R₂ ist reflexiv, weil jedes Element von M mit sich selbst in der Relation R₂ steht: {<a,a>,<b,b>,<c,c>} R₂. R₂ ist symmetrisch, weil für jedes Paar in R₂ auch das umgekehrte Paar in R₂ enthalten ist: {<a,b>,<b,a>} R₂, {<b,a>,<a,b>} R₂, {<a,a>,<a,a>} R₂, {<b,b>,<b,b>} R₂. Weil beispielsweise <a,c> nicht in R₂ ist, muss auch <c,a> nicht in R₂ sein. R₂ ist transitiv, weil für jede Kombination von zwei Paaren der Form <x,y>, <y,z> in R₂ auch das Paar <x,z> in R₂ enthalten ist: {<a,b>,<b,a>,<a,a>} R₂, {<b,a>,<a,b>,<b,b>} R₂, {<a,a>,<a,a>,<a,a>} R₂, {<b,b>,<b,b>,<b,b>} R₂. Weil <a,b> in R₂ ist, <b,c> aber nicht, muss auch <a,c> nicht in R₂ sein.

3 Weil R₂ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist R₂ eine Äquivalenzrelation. Für alle drei Eigenschaften gilt: Findet man ein Gegenbeispiel (bzw. ein fehlendes Paar), ist die Definition nicht erfüllt und die Eigenschaft damit nicht vorhanden. Ist eine der Eigenschaften nicht gegeben, handelt es sich nicht um eine Äquivalenzrelation. Außerdem kann eine Relation noch linear sein. Dafür muss sie zwei Bedingungen erfüllen: 1. Die Relation muss transitiv sein. 2. Für alle Kombinationen von zwei Elementen aus M, nennen wir sie x und y, muss genau einer der folgenden frei Fälle eintreten: a) x = y, es handelt sich also um dasselbe Element. b) <x,y> ist Element von R. c) <y,x> ist Element von R. Reflexive und symmetrische Relationen verletzen diese Bedingungen immer, deshalb ist R₂ nicht linear. 5. Funktionen Eine Relation, die jedem Element aus der ersten Menge genau ein Element aus der zweiten Menge zuordnet, nennt man eine Funktion. Alle Funktionen sind also Relationen (und damit Mengen), aber nicht alle Relationen sind auch Funktionen! Alles, was in diesem und den folgenden Punkten besprochen wird (außer in Punkt 9), gilt nur für Funktionen. M = {a,b,c} N = {1,2} M N = {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>} f₁ M N f₁ = {<a,1>,<b,2>,<c,1>} Obwohl Mengen (und damit auch Relationen) normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet werden, benutzt man für Funktionen (wie in der Mathematik) oft auch Kleinbuchstaben. Die erste Menge (hier M) wird dann als Definitionsbereich, die zweite Menge (hier N) als Wertebereich bezeichnet. Hier lässt sich die Bedingung für Funktionen gut nachvollziehen. Wenn jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet werden muss, dann heißt das: Von jedem Element auf der linken Seite muss genau ein Pfeil zur rechten Seite gehen - wohin genau, ist nicht wichtig!

4 6. Surjektivität, Injektivität, Bijektivität Genau wie "normale" Relationen können auch Funktionen besondere Eigenschaften haben. Wir wissen, dass eine Funktion jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Wertebereichs zuordnet. Umgekehrt geht es jetzt darum,wie vielen Elementen des Definitionsbereichs ein Element des Wertebereichs zugeordnet wird. f₁ = {<a,1>,<b,2>,<c,1>} (siehe Pfeildiagramm unter Punkt 5) Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet wird. Bei jedem Element auf der rechten Seite muss mindestens ein Pfeil ankommen! f₁ ist also surjektiv, weil sowohl 1 als auch 2 zugeordnet werden. Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet wird. Bei jedem Element auf der rechten Seite darf höchstens ein Pfeil ankommen! f₁ ist also nicht injektiv, weil 1 zweimal zugeordnet wird. Eine Funktion istbijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist, also jedes Element des Wertebereichs genaueinem Element des Definitionsbereichs zugeordnet wird. Bei jedem Element auf der rechten Seite muss genau ein Pfeil ankommen! Das funktioniert natürlich nur, wenn die beiden Bereiche gleich viele Elemente haben. f₁ ist also nicht bijektiv, weil f₁ nicht injektiv ist. 7. Bild f₁[m] = {1,2} N Das Bild von f₁ ist eine Teilmenge des Wertebereichs (hier N) und enthält alle Elemente, die durch f₁ tatsächlich zugeordnet werden. Grob gesagt sind das alle Elemente, auf die mindestens ein Pfeil zeigt! Hätte N noch ein weiteres Element, z.b. 3, das in keinem der Paare von f₁ vorkommt, wäre 3 kein Element von f₁[m]. K = {a,c} M f₁[k] = {1} Das (direkte) Bild von K unter f₁ ist ebenfalls eine Teilmenge des Wertebereichs und enthält alle Elemente, die durch f₁ einem der Elemente von K zugeordnet werden. Weil K die Elemente a und c enthält, enthält f₁[k] alle Elemente, die a und c in f₁[k] zugeordnet werden (also 1, weil <a,1>,<c,1> f₁). 8. Induzierte Partition P₁(M) = {{a,c},{b}} f₁ induziert eine Partition auf dem Definitionsbereich (hier M). Diese Partition gruppiert alle Elemente des Definitionsbereichs danach, welches Element des Wertebereichs ihnen durch f₁ zugeordnet wird. Also: a und c werden zusammengefasst, weil beiden die 1 zugeordnet wird, und b steht alleine, weil ihm als einzigem Element die 2 zugeordnet wird. (Hier heißt die Partition P₁, aber der Name ist im Prinzip egal.)

5 9. Konverse Relation R₁ = {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>} R₁ = {<1,a>,<2,a>,<1,b>,<2,b>} Um die zu R₁ konverse Relation R₁ zu bilden, dreht man alle Paare aus R₁ um. R₁ ist dann natürlich auch eine Relation, aber nicht unbedingt dieselbe. Für eine Relation R gilt R = R₁ nur dann, wenn R symmetrisch ist. f₁ = {<a,1>,<b,2>,<c,1>} f₁ = {<1,a>,<2,b>,<1,c>} Zu f₁ kann man auf die gleiche Art die konverse Relation f₁ bilden. f₁ ist aber keine Funktion, weil dem Element 1 (das hier zum Definitionsbereich gehört) zwei verschiedene Elemente zugeordnet werden, nämlich a und c. Nur bei bijektiven Funktionen ist auch die konverse Relation eine Funktion! 10. Mathematische Funktionen f(x) = x² = {<0,0>,<1,1>,<2,4>,<3,9>,<4,16>,<5,25>,<6,36>,...} Auch mathematische Funktionen könnte man theoretisch als Menge schreiben. Definitions- und Wertebereich wären dann die natürlichen (oder ganzen, rationalen, reellen,...) Zahlen. f(x) = y <x,y> f(2) = 4 <2,4> f(3) = 9 <3,9> Man setzt einfach nacheinander Zahlen ein und bildet Paare aus den Zahlen selbst und ihrem Funktionswert. Weil die Zahlen aber unendlich sind, wird man natürlich mit dem Aufschreiben niemals fertig. f(x) = x² g(x) = 5x f g = f(g(x)) = (g(x))² = (5x)² = 25x² f g ist die Komposition (oder auch Verkettung) von f und g. Dazu schreibt man die äußere Funktion (hier f, also x²) hin und ersetzt dann x (und wirklich nur x) durch die zweite Funktion (hier g, also 5x). g(x) = 5x : 5 0,2g(x) = x 0,2x = g (x) Analog zur konversen Relation kann man zu g die Umkehrfunktion g bilden. Dazu löst man die Funktion nach x auf und "tauscht" dann die beiden Variablen. g(x) = 5x g (x) = 0,2x g g = g(g (x)) = 5(0,2x) = x Verkettet man die beiden Funktionen, kommt man wieder auf x - sie heben sich also quasi auf.