4. Abbildungen. Was ist eine Abbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung. Rolf Linn. 4. Abbildungen GM 4-1

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1 4. bbildungen Was ist eine bbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung 4. bbildungen GM 4-1

2 Wozu bbildungen? In der Mathematik In fast allen Gebieten der Mathematik spielen bbildungen eine wichtige Rolle. In der Informatik Definition: Ein endlicher utomat ist ein System = (Σ, S, δ, s 0, F). Dabei ist Σ das Eingabealphabet und S die Zustandsmenge von, s 0 S ist der Startzustand, F S die Menge der Endzustände und die bbildung δ:s Σ S die Zustandsüberführungsfunktion von. Funktionale Programmierung 4. bbildungen GM 4-2

3 bbildung Eine bbildung ist eine Vorschrift, die jedem Element aus einem Definitionsbereich ein Element aus einem Wertebereich zuordnet. eispiele: Einkommen Wasserstand x, y Eingabe Steuer Ventilstellung x+y usgabe Ähnlich wie Relation, aber: 1. Jedem Element des Definitionsbereiches ist etwas aus dem Wertebereich zugeordnet. 2. Jedem Element des Definitionsbereiches ist aber nur ein Element des Wertebereiches zugeordnet. 4. bbildungen GM 4-3

4 Definition 4.1: Linkstotal und rechtstotal Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkstotal, falls gilt: x y : (x,y) R R heißt rechtstotal, falls gilt: y x : (x,y) R eispiele: nicht linkstotal y : (,y) R 4. bbildungen GM 4-4

5 Definition 4.1: Linkstotal und rechtstotal Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkstotal, falls gilt: x y : (x,y) R R heißt rechtstotal, falls gilt: y x : (x,y) R eispiele: linkstotal 4. bbildungen GM 4-5

6 Definition 4.1: Linkstotal und rechtstotal Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkstotal, falls gilt: x y : (x,y) R R heißt rechtstotal, falls gilt: y x : (x,y) R eispiele: linkstotal nicht rechtstotal x : (x, ) R 4. bbildungen GM 4-6

7 Definition 4.1: Linkstotal und rechtstotal Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkstotal, falls gilt: x y : (x,y) R R heißt rechtstotal, falls gilt: y x : (x,y) R eispiele: linkstotal rechtstotal 4. bbildungen GM 4-7

8 Definition 4.2: Linkseindeutig und rechtseindeutig Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkseindeutig, falls gilt: (x 1,y) R (x 2,y) R x 1 =x 2 R heißt rechtseindeutig, falls gilt: (x,y 1 ) R (x,y 2 ) R y 1 =y 2 eispiele: nicht linkseindeutig (, ) R (, ) R, aber 4. bbildungen GM 4-8

9 Definition 4.2: Linkseindeutig und rechtseindeutig Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkseindeutig, falls gilt: (x 1,y) R (x 2,y) R x 1 =x 2 R heißt rechtseindeutig, falls gilt: (x,y 1 ) R (x,y 2 ) R y 1 =y 2 eispiele: linkseindeutig 4. bbildungen GM 4-9

10 Definition 4.2: Linkseindeutig und rechtseindeutig Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkseindeutig, falls gilt: (x 1,y) R (x 2,y) R x 1 =x 2 R heißt rechtseindeutig, falls gilt: (x,y 1 ) R (x,y 2 ) R y 1 =y 2 eispiele: linkseindeutig nicht rechtseindeutig (, ) R (, ) R, aber 4. bbildungen GM 4-10

11 Definition 4.2: Linkseindeutig und rechtseindeutig Seien und Mengen sowie R eine Relation zwischen und. R heißt linkseindeutig, falls gilt: (x 1,y) R (x 2,y) R x 1 =x 2 R heißt rechtseindeutig, falls gilt: (x,y 1 ) R (x,y 2 ) R y 1 =y 2 eispiele: linkseindeutig rechtseindeutig 4. bbildungen GM 4-11

12 Definition 4.3: bbildung Seien und Mengen. Eine Relation f heißt bbildung (oder Funktion) von in, falls f linkstotal und rechtseindeutig ist. Wir schreiben dann f:. eispiele: bbildung 4. bbildungen Keine bbildung nicht linkstotal y : (,y) f Keine bbildung nicht rechtseindeutig (, ) f (, ) f aber GM 4-12

13 Definition 4.3: bbildung Seien und Mengen. Eine Relation f heißt bbildung (oder Funktion) von in, falls f linkstotal und rechtseindeutig ist. Wir schreiben dann f:. eispiele: Eine Relation f ist genau dann eine bbildung, wenn gilt Für alle x gibt es genau ein y mit (x,y) f bbildung Wir schreiben statt (x,y) f wie üblich y = f(x). 4. bbildungen

14 bbildung von { 12, 87, 90, 115 } in Typ Wagennummer Typ Typ VW Golf udi 4 VW Golf VW Golf udi Citroën C2 Citroën C Wagennummer f = { (12, VW Golf), (90, udi 4), (87, VW Golf), (115, Citroën C2) } 3.2 Zweistellige Relationen GM 4-14

15 Keine bbildung Lackfarbe Mondsilber Meteorgrau Dschungelgrün Tiefseeblau Vulkanrot Schneeweiß Oasengrün Kaskadenblau Floraviolett Glutrot Polsterfarbe Schiefergrau lauviolett Petrol Ziegelrot " " " " " " " " 3.2 Zweistellige Relationen GM 4-15

16 Definition 4.4: ezeichnungen bei bbildungen Sei f: eine bbildung. heißt Definitionsbereich (oder Urbildbereich) und Wertebereich (oder ildbereich). Ist y = f(x), so heißt x Urbild von y und y ild von x bezüglich f. { f(x) x } heißt ildmenge von f (oder ild von unter f). eispiel: Definitionsbereich: = {,,, } Wertebereich: = {,,, } ist Urbild von ist ild von {,, } ist die ildmenge von f (oder das ild von unter f) 4. bbildungen GM 4-16

17 Definition 4.5: Injektivität Eine bbildung f: heißt injektiv, falls sie linkseindeutig ist. eispiele: injektive bbildung nicht injektiv da nicht linkseindeutig: f( )=f( )= aber 4. bbildungen GM 4-17

18 bbildung von { 12, 87, 90, 115 } in Typ Wagennummer Typ Typ VW Golf udi 4 VW Golf VW Golf udi Citroën C2 Citroën C Wagennummer f = { (12, VW Golf), (90, udi 4), (87, VW Golf), (115, Citroën C2) } Injektiv? Nein, den f(12)=f(87) aber Zweistellige Relationen GM 4-18

19 Definition 4.6: Surjektivität Eine bbildung f: heißt eine surjektive bbildung von auf, falls sie rechtstotal ist. eispiele: surjektive bbildung nicht surjektiv da nicht rechtstotal x : f(x)= Übungsaufgaben 4.1 bis bbildungen GM 4-19

20 Definition 4.7: ijektivität Eine bbildung f: heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. eispiele: surjektiv und injektiv, daher auch bijektiv injektiv aber nicht surjektiv (nicht rechtstotal), daher nicht bijektiv surjektiv aber nicht injektiv (nicht linkseindeutig), daher nicht bijektiv 4. bbildungen GM 4-20

21 Definition 4.8: Umkehrabbildung g: heißt Umkehrabbildung zu f:, falls gilt: a) x : g(f(x)) = x b) y : f(g(y)) = y g(f(x)) = x f g f(x) 4. bbildungen GM 4-21

22 Definition 4.8: Umkehrabbildung g: heißt Umkehrabbildung zu f:, falls gilt: a) x : g(f(x)) = x b) y : f(g(y)) = y g(y) f g y = f(g(y) 4. bbildungen GM 4-22

23 Satz 4.1: Umkehrabbildung Es existiert genau dann eine Umkehrabbildung zu f:, wenn f bijektiv ist. Übungsaufgaben 4.7 bis bbildungen GM 4-23