Relationen und Funktionen

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1 Relationen und Funktionen Relationen und Funktionen Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober 2011

2 Relationen und Funktionen > Relationen Relationen

3 Relationen und Funktionen > Relationen Was ist eine Relation? Eine Relation steht fu r eine Beziehung zwischen Objekten - im formalen Kontext Elementen einer Menge. Zwei Elemente aus den betroffenen Mengen ko nnen entweder die Beziehung zueinander besitzen (die Relation erfu llen) oder nicht. Beispiele: entha lt den Buchstaben Eine Relation zwischen Worten und Buchstaben. ist verwandt mit Eine Relation zwischen Personen und Personen. hat die Farbe Eine Relation zwischen Gegensta nden und Farben.

4 Relationen und Funktionen > Relationen Wozu braucht man Relationen? Es wird die Beziehung von Objekten formalisiert; darauf basiert zum Beispiel das ga ngigste Modell fu r Datenbanken. Besonders ha ufig ist auch die Kantenrelation, die die Verbindungen zwischen Knotenpunkten in einem Graphen entha lt. A B C Knotenmenge: {A, B, C }, Kantenrelation: {(A, B), (B, C ), (B, B)}

5 Relationen und Funktionen > Relationen Tupel Definition (Das Tupel) Sei n N eine natu rliche Zahl. Fu r n Objekte a1,..., an bezeichnet (a1,..., an ) ein geordnetes Tupel mit den Komponenten a1, a2,..., an. Ein Tupel ist nicht dasselbe wie eine Menge - {a1, a2,..., an }: Reihenfolge Die Reihenfolge ist wichtig: {a1, a2 } = {a2, a1 }, aber (a1, a2 ) 6= (a2, a1 ). Wiederholungen Ein Objekt kann beliebig oft vorkommen, und das Tupel a ndert sich dadurch: (a1, a2 ) 6= (a1, a2, a1 ).

6 Relationen und Funktionen > Relationen Das Tupel (2) Fu r ein Tupel (a1,..., an ) heißt n die La nge (nicht Kardinalita t oder Ma chtigkeit) des Tupels. Ein Tupel der La nge n heißt auch n-tupel. 2-Tupel und 3-Tupel nennt man auch Paare und Tripel. Zwei Tupel (a1,..., an ) und (b1,..., bn ) sind gleich, genau dann wenn sie die gleiche La nge haben, und an jeder Position u bereinstimmen (fu r 1 i n gilt: ai = bi ).

7 Relationen und Funktionen > Relationen Das kartesische Produkt Definition (Das kartesische Produkt) Seien A und B Mengen. Das kartesische Produkt von A, B ist die Menge A B := {(a, b) a A, b B}. Beispiel: Sei M = {1, 2, 3} und N = {a, b}, dann ist M N = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Es wird jedes Element mit jedem Element kombiniert.

8 Relationen und Funktionen > Relationen Relation Definition (Paar-Relation) Seien A, B Mengen. Eine Relation u ber A, B ist eine Teilmenge R A B; die Elemente der Relation sind daher Tupel. Eine Relation kann auch zwischen mehr als zwei Mengen definiert sein. Beispiel: a2 + b 2 = c 2 Ganzzahlige Seitenla ngen von rechtwinkligen Dreiecken: R N N N. Die Relation ist R = {(3, 4, 5), (4, 3, 5), (5, 12, 13),...}. Fu r eine Relation u ber n Mengen heißt n die Stelligkeit von R.

9 Funktionen

10 Was ist eine Funktion? Funktionen kennt man in der Mathematik und in Programmen als Regeln, die fu r jede Eingabe eine bestimmte Ausgabe festlegen. Formal sagt man, dass sie die Eingabe auf die Ausgabe abbilden. Beispiele: f (x) = x 2 ist eine Funktion, die Zahlen auf andere Zahlen abbildet. g (wort) = Anfangsbuchstabe von wort00 bildet Worte auf Buchstaben ab. h (M) = Kardinalita t der Menge M bildet Mengen auf Zahlen ab.

11 Funktionen als Relation Man kann die Funktion als Relation mit speziellen Eigenschaften betrachten: Definition (Funktion) Seien X und Y Mengen. Eine Funktion von X nach Y ist eine Relation f X Y mit der Eigenschaft, dass fu r jedes Element a X genau ein Element b Y existiert mit (a, b) f. Beispiel: Folgenden Relationen sind Funktionen: {(m, n) N N n = m3 1}. {(x, y ) R 0 R 0 x 2 + y 2 = 1}. Bzw.: y = 1 x 2.

12 Sind alle Relationen auch Funktionen? Nein: Eine n-stellige Relation mit n 6= 2 ist keine Funktion. Die Relation {(a, b) N N b = ±a} ist keine Funktion, da zum Beispiel (1, 1) und (1, 1) darin enthalten sind. (Keine eindeutige Ausgabe.) Die Relation (x, y ) R R y = x1 ist keine Funktion, da sie kein Tupel (0, y ) entha lt. (Nicht vollsta ndig definiert.)

13 Notation von Funktionen Definition Seien X und Y Mengen. Wir schreiben f : X Y um auszudru cken, dass f eine Funktion von X nach Y ist. Fu r eine Funktion f : X Y und ein Element a X schreiben wir auch f (a) = b, wenn (a, b) f das fu r a eindeutige Tupel in f ist. Ist f : X Y eine Funktion, so heißt die zugeho rige Relation {(a, f (a)) a X } X Y auch der Graph der Funktion f. Ist f : X Y eine Funktion, so ist X der Definitionsbereich von f und Y der Bildbereich von f.

14 Vergleich von Funktionen Definition Seien X und Y Mengen, und seien f, g : X Y Funktionen. Die Funktionen f und g sind gleich, wenn fu r alle x X gilt: f (x) = g (x). Seien X, Y R. Die Funktion f ist kleiner oder gleich g, in Zeichen f g, wenn fu r alle x X gilt: f (x) g (x). Die Funktion f ist kleiner als g, in Zeichen f < g, wenn fu r alle x X gilt: f (x) < g (x). f g und f > g sind analog definiert. Beispiel: Fu r die Funktionen f (x) = e x, g (x) = x 2 und h(x) = 1 gilt f > g, g < f, h f und f h.

15 Eigenschaften von Funktionen Definition (Eigenschaften von Funktionen) Sei f : X Y eine Funktion. f heißt injektiv, falls es fu r jedes y Y ho chstens ein x X gibt mit f (x) = y. f heißt surjektiv, falls es fu r jedes y Y mindestens ein x X gibt mit f (x) = y. f heißt bijektiv, falls es fu r jedes y Y genau ein x X gibt mit f (x) = y.

16 Beispiele Beispiel: Die Funktion f : R R, f (x) = e x, ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Funktion g : R R, g (x) = x 3 2x, ist surjektiv, aber nicht injektiv. Die Funktion h : R R, h (x) = x 2, ist injektiv und surjektiv, und daher auch bijektiv. Die Funktion i : R R, i(x) = x 2, ist nicht injektiv und nicht surjektiv.

17 Eigenschaften von Funktionen im Bild injektiv nicht surjektiv surjektiv nicht injektiv bijektiv