Mengenlehre. Mengenlehre. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12

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1 Mengenlehre Mengenlehre Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober 2011

2 Mengen

3 Mengen Den Begriff Menge hat Cantor wie folgt beschrieben: Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohluntersschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Ist m ein Element der Menge M so schreiben wir m M, sonst schreiben wir m 6 M.

4 Beispiele Beispiel 1: Die Menge aller Primzahlen. Die Menge aller Studenten des FBs 12. Die Menge M1 := {Lucy, Paul, Sasha} Die Menge M2 := {Haus, Auto, Kind} N := {0, 1, 2, 3, 4,...} (die Menge der natu rlichen Zahlen.) Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} (die Menge der ganzen Zahlen.) Q := { ba a, b Z, b 6= 0} (die Menge der rationalen Zahlen.) R := Menge der reellen Zahlen. R 0 := Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Menge N := {z Z es gibt ein k Z so dass z = 3k}.

5 Beispiele Die leere Menge: := {} { } (Man beachte: { } = 6.) Definition Seien M und N Mengen. M und N sind gleich, in Zeichen M = N, falls M und N dieselben Elemente enthalten. N heißt Teilmenge ( Untermenge) von M, in Zeichen N M, wenn jedes Element von N auch ein Element von M ist. (Dann ist M die Obermenge von N) N heißt echte Teilmenge von M, in Zeichen N ( M (oder kurz N M), wenn N M ist, aber M = N nicht gilt.

6 Satz 1 Satz 1: Seien X, Y und Z Mengen, fu r die X Y und Y Z gilt. Dann gilt auch X Z. Beweis: Angenommen, dass X, Y und Z Mengen sind mit X Y und Y Z. Sei also x X ein beliebiges Element. Nach Voraussetzung ist X Y, also gilt x Y. Nach Voraussetzung ist auch Y Z, also gilt x Z. Da x X beliebig gewa hlt war, gilt also fu r alle Elemente von X, dass sie auch Elemente von Z sind, also gilt X Z, und das war zu zeigen.

7 Satz 2 Satz 2: Seien X und Y Mengen. X = Y gilt genau dann, wenn X Y und Y X gelten. Beweis: Angenommen, dass X und Y Mengen sind. : Zu zeigen Wenn X = Y gilt, dann gelten auch X Y und Y X. Angenommen, es gilt X = Y. Dann enthalten X und Y dieselben Elemente. Also ist jedes Element von X auch Element von Y, also X Y, und jedes Element von Y ist auch Element von X, also Y X.

8 Beweis Teil 2 : Zu zeigen Wenn X Y und Y X gelten, dann gilten auch X = Y. Angenommen, es gelten X Y und Y X. Dann ist jedes Element von X auch ein Element von Y und jedes Element von Y ist auch ein Element von X. Also enthalten X und Y dieselben Elemente, und somit X = Y.

9 Definition Definition Seien M und N Mengen. Der Schnitt von M und N ist die Menge M N := {z z M und z N}. Die Vereinigung von M und N ist die Menge M N := {z z M oder z N}. Die Differenz von M und N ist die Menge M \ N := {z z M und z 6 N}. M und N heißen disjunkt, falls M N :=.

10 Definition Definition Eine Menge M heißt endlich, wenn M nur endlich viele Elemente entha lt, d.h. wenn es eine Zahl n N gibt, so dass M genau n Elemente entha lt. Die Ma chtigkeit einer Menge M ist definiert als Anzahl der Elemente in M, falls M endlich ist M :=, sonst. Satz 3: (Summenregel) Seien M und N Mengen. Es gilt M N = M + N genau dann, wenn M und N disjunkt sind.

11 Beweis von Satz 3 Teil 1 Beweis: Seien M und N Mengen. : Es gelte M N = M + N. Zu zeigen ist, dass dann M und N disjunkt sind. Dazu fu hren wir einen Beweis durch Widerspruch: Angenommen, M und N sind nicht disjunkt. Dann ist M N 6=. Sei also a M N. Dann za hlt a einmal in M und einmal in N. Also tra gt a genau 2 zu M + N bei, wa hrend a nur 1 zu M N beitra gt. Jedes Element in M \ N tra gt 1 zu M + N bei und ebenso 1 zu M N. Dasselbe gilt fu r jedes Element in N \ M. Somit gilt also M + N > M N und insbesondere M + N = 6 M N, ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind M und N disjunkt.

12 Beweis von Satz 3 Teil 2 : SeiM N =. Wir zeigen 1 M N M + N und 2 M + N M N. Zu 1): Sei a M N. Dann za hlt a einmal in M N. Nach Definition der Vereinigung ist a M oder a N. Also wird a in M oder in N geza hlt. Somit gilt M N M + N. Zu 2): Sei a M. Da M und N disjunkt sind, ist a 6 N. Also tra gt a genau 1 zu M + N bei. Nach Definition der Vereinigung ist a M N. Also wird a in M N auch einmal geza hlt. Das gleiche gilt auch fu r b N und somit gilt M + N M N.

13 Binomialkoeffizient und Potenzmenge Definition (Binomialkoeffizienten) Mit kn bezeichnen wir die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Es gilt: n n! = k k! (n k)! Definition (Potenzmenge) Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge P(M) := {N N M}, also die Menge aller Teilmengen von M.

14 noch Fragen??? Quelle Bild: fragezeichen.png