Mengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M.

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1 Mengenlehre Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Objekte. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Objekte heißen Elemente der Menge. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M. 1) M 1 : Die Menge der Vokale im deutschen Alphabet. a M 1 : Sprachweisen: a ist Element aus M 1, a gehört zu M 1 oder a ist aus M 1 2) M 2 : Die Menge der natürlichen Zahlen, die kleiner als 100 sind. 100 M 2 : Sprachweisen: 100 ist kein Element von M 2, 100 gehört nicht zu M 2 oder 100 ist nicht aus M 2 Beschreibung einer Menge Man kann Mengen beschreiben i) durch Aufzählen Werden die Elemente einer Menge aufgezählt, so setzt man alle vorkommenden Elemente in geschweifte Klammern M = { m 1, m 2, m 3,, m n } M = { m 1, m 2, m 3, } Endliche Menge Unendliche Menge m 1, m 2, m 3,, m n bzw. m 1, m 2, m 3, sind die Elemente der Menge. Bei der aufzählenden Mengenschreibweise spielt die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, keine Rolle. Die Elemente sind immer paarweise voneinander verschieden, ein Element kann daher einmal auftreten. 1) A = { 1, 2, 7, 8 } 2) B = { 1, 2, } 3) C = { 1, 2, 3,, 10} 4) D = { a, b, c, {a }, d } M. Komasi 1

2 ii) durch Angabe der sie charakterisierenden Eigenschaft Enthält eine Menge viele Elemente, dann beschreibt man die Menge am besten durch eine definierende Eigenschaft. 1) M 1 : Die Menge aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl kleiner als 100 Als Kurzform wird M 1 = { x x ist eine natürliche Zahl kleiner 100 } = { 1, 2, 3,, 98, 99 } verwendet. Dabei spricht man die geschweifte Klammer als Menge aller und den senkrechten Strich als für die gilt: aus. 2) M 2 = { x x ist eine ganze Zahl mit der Eigenschaft x < 5 } M 2 = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, } 3) M 3 = { x x ist eine Primzahl zwischen 4 und25 } M 3 = { 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 } iii) durch graphische Darstellung Zur graphischen Veranschaulichung von Mengen benutzt man häufig sogenannte Venn-Diagramm, d.h. berandete Punktmengen in der Zeichenebene: Beispiel: 1) M = { 1, 2, 7, 8 } Eine spezielle Menge ist die leere Menge, = { } die kein Element besitzt. 1) M 1 = { x x ist eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft 2 < x < 3 } = 2) M 2 = { x x ist eine reelle Zahl mit x = 0 } = { } M. Komasi 2

3 Spezielle Zahlenmengen Wir beschäftigen uns mit folgenden Zahlbereichen: Z := {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, } N = { 1, 2, 3, } N 0 = { 0, 1, 2, 3, } Q = { z n n, z Z und n 0 } R Menge der ganzen Zahlen Menge der natürlichen Zahlen Menge der natürlichen Zahlen mit Null Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Bemerkung: Mit Z, Q und R wollen wir die jeweils positiven und mit Z 0, Q 0 und R 0 die jeweils nicht negativen ganzen, rationalen bzw. reellen Zahlen bezeichnen. Intervalle Die folgenden Teilmenge von R werden Intervalle genannt und wie folgt geschrieben (anbei a, b R mit a b ). Dann heißen i. Beschränkte Intervalle: [ a, b ] = { x x R a x b } abgeschlossenes Intervall ( a, b ) = { x x R a < x < b } offenes Intervall [ a, b ) = { x x R a x < b } halboffenes Intervall ( a, b ] = { x x R a < x b } halboffenes Intervall ii. Unbeschränkte Intervalle: [ a, ) = { x x R x a } ( a, ) = { x x R x > a } (, a ] = { x x R x a } (, a ) = { x x R x < a } (, ) = R Die Zahlen a und b werden Randpunkte eines beschränkte Intervalls genannt, alle anderen Elemente des Intervalls heißen innere Punkte. M. Komasi 3

4 Relationen zwischen Mengen a) Teilmengen Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, geschrieben A B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. A B x : x A x B A ist in B enthalten B kann aber auch mehr Elemente als A enthalten. Wenn B zudem weitere Elemente enthält, die nicht in A enthalten sind, so ist A eine echte Teilmenge von B, geschrieben A B A B x : ( x A x B) ( A B) Eigenschaften der Teilmengen-Beziehung: Für alle Mengen A, B und C gilt: A A Reflexivität von A A B und B C A C Transitivität von 1) A = { 1, 3, 4, 5 }, B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } A B 2) A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 } A B 3) A = { 2, 4 }, B = { 2, 4, 6 }, C = { 2, 4, 6, 8 } A B und B C A C 4) A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 } A B M. Komasi 4

5 b) Gleichheit zweier Mengen Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. A = B x : x A x B 1) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 } A = B 2) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 5, 2 2, 3, 2, 5 0, 0 } A = B Potenzmenge Als Potenzmenge bezeichnet man die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Die Potenzmenge ist eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. 1) A = {1, 2, 3} P ( A ) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2 }, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3 } } 2) B = { 2, 4} P ( B ) = {, {2}, {4 }, {2, 4} } 3) C =, P ( C ) = { } 4) D = { }, P ( D ) = {, { } } 5) E = { 1, {1}} P ( E ) = {, {1}, {{1}}, {1, {1}} } Bemerkungen: Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge Die Anzahl der Elemente der Potenzmenge lässt sich einfach errechnen, indem man die 2 mit der Anzahl der Elemente der Ursprungsmenge potenziert. Bezogen auf unser 1. Beispiel bedeutet das, dass wir insgesamt müssen. 2 3 = 8 Teilmengen finden M. Komasi 5

6 Mengenoperationen I. Vereinigung A B Die Vereinigung A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B (oder zu beiden) gehören. A B = { x x A x B } A vereinigt B Eigenschaften: Für alle Mengen A, B und C gilt: A A = A Idempotenz von A = A A B = B A Kommutativität von A B = B falls A B A B = A falls B A ( A B) C = A ( B C ) Assoziativität von 1) A = { 0, 1, 2 }, B = { 2, 3, 4, 5 } A B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } 2) A = { x x N 0 < x 3 }, B = { x x N 3 < x 5 } A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 4, 5 } M. Komasi 6

7 II. Schnittmenge A B Die Schnittmenge A B zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören A B = { x x A x B } A geschnitten mit B Eigenschaften: Für alle Mengen A, B und C gilt: A A = A Idempotenz von A = A B = B A Kommutativität von A B = A falls A B A B = B falls B A ( A B) C = A ( B C ) Assoziativität von Bemerkung: Zwei Mengen A B = A und B sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt: 1) A = { 0, 1, 2 }, B = { 2, 3, 4, 5 } A B = { 2 } 2) A = { x x N 0 < x 3 }, B = { x x N 3 < x 5 } A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5 } A B = { } = M. Komasi 7

8 III.Differenzmenge A B Die Differenzmenge (Restmenge) A B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B gehören. A B = { x x A x B } A ohne B Eigenschaften: Für alle Mengen A A = A = A A B B A A B = A B A und B gilt: 1) A = { 4, 5, 6, 7 }, B = { 1, 3, 5, 7, 9 } A B = { 4, 6 } 2) A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 1, 3, 5, 7, 9 } A B = { 1, 2, 3, 4 } = A B A = { 1, 3, 5, 7, 9 } = B 3) N 0 N = { 0 } 4) N 0 Z = { } M. Komasi 8

9 IV. Komplementmenge A Die Komplementmenge A ist eine Menge aller Elemente der Grundmenge E, welche nicht zu A gehören. A = { x x E x A } Komplement von A Eigenschaften: Für alle Mengen A und B gilt: A = A A A = A A = E = E E = ( A B ) = A B de Morgansche Gesetze ( A B ) = A B de Morgansche Gesetze 1) E = { 1, 2, 3, 4, 10}, A = { 1, 3, 5, 7, 9 } A = { 2, 4, 6, 8, 10 } A = { 1, 3, 5, 7, 9 } 2) R + = R 0 3) Q = Q 0 + M. Komasi 9

10 V. Symmetrische Differenzmenge A B Eine Symmetrische Differenzmenge zu A oder zu B gehören. A B ist eine Menge aller Elemente, die entweder A Δ B = { x entweder x A oder x B } Symmetrische Differenz von A und B A Δ B = { x ( x A x B ) ( x B x A )} = ( A B) ( B A) oder A Δ B = { x x ( A B ) x ( A B )} = ( A B) ( A B) Eigenschaften: Für alle Mengen A und B gilt: A Δ B = B Δ A Kommutativität von (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C ) Assoziativität von A Δ A = A Δ = A A Δ B = A Δ B A Δ B = A B falls A B = Beispiel: 1) E = { 1, 2, 3, 4, 10}, A = { 2, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 5, 6, 8 } A = { 1, 3, 8, 9, 10} B = { 1, 2, 4, 7, 9, 10} A B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A B = { 5, 6 } A B = { 2, 4, 7 } B A = { 3, 8 } A Δ B = (A B) ( A B) = { 2, 3, 4, 7, 8 } M. Komasi 10

11 VI. Produktmenge A B (Kartesisches Produkt) Unter der Produktmenge A B ( A Kreuz B ) versteht man die Menge aller geordneten Paare x, y mit der Eigenschaft x A und y B Eigenschaften: A B = { (x, y) x A y B} Für alle Mengen A, B und C gilt: A B B A A B C A B C A B = genau dann, wenn A = B = Bemerkung: Ist A = B, schreiben wir: A A = A 2, und lesen wir: A zwei 1) A = { 1, 3, 5 }, B = { a, b } A B = { (1, a), (1, b), (3, a ), (3, b), (5, a), (5, b ) } A 2 = A A = { (1, 1), (1, 3), (1, 5 ), (3, 1), (3, 3), (3, 5 ) 5, 1, 5, 3, 5, 5 } B 2 = B B = { (a, a), (a, b), (b, a ), (b, b) } 2) A = { 2, 3, 5 }, B = { 1, 2, 3 } A B = { (2, 1), (2, 2), (2, 3 ), (3, 1), (3, 2), (3, 3 ), 5, 1, 5, 2, 5, 3 } M. Komasi 11

12 Weitere Gesetze der Mengenalgebra A ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( A B) = A A ( A B) = A ( A B) C = ( A C ) ( B C ) A ( B C ) = ( A B) ( A C ) ( A B) C = ( A C ) ( B C ) A ( B C ) = ( A B) ( A C ) ( A B) B = ( A B) B = A B A ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( A B) = A B ( A Δ B) C = ( A C ) Δ ( B C ) (A B) C = ( A C ) (B C ) A ( B C) = (A B) (A C ) (A B) C = ( A C ) (B C ) A ( B C) = (A B) (A C ) (A B) (C D) = ( A C ) (B D) A ( B C) = (A B) ( A C ) (A B) C = ( A C ) (B C ) M. Komasi 12