Mengenlehre. Mengenlehre. Vorkurs Informatik WS 2013/ September Vorkurs Informatik - WS2013/14

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1 Mengenlehre Mengenlehre Vorkurs Informatik WS 2013/ September 2013

2 Mengen

3 Mengen Definition (Menge) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Ist m ein Element der Menge M so schreiben wir m M, sonst schreiben wir m M.

4 Beispiele Beispiel 1: Die Menge aller Primzahlen. Die Menge aller Buchstaben des dt. Alphabets. Die Menge M 1 := {Lucy, Paul, Sasha} Die Menge M 2 := {Haus, Auto, Kind} N := {0, 1, 2, 3, 4,...} (die Menge der natürlichen Zahlen.) Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} (die Menge der ganzen Zahlen.) Q := { a b a, b Z, b 0} (die Menge der rationalen Zahlen.) R := Menge der reellen Zahlen. R 0 := Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Menge N := {z Z es gibt ein k Z so dass z = 5 k}.

5 Beispiele Die leere Menge: := {} { } (Man beachte: { }.) Definition Seien X und Y Mengen. X und Y sind gleich, in Zeichen X = Y, falls X und Y dieselben Elemente enthalten. X heißt Teilmenge ( Untermenge) von Y, in Zeichen X Y, wenn jedes Element von X auch ein Element von Y ist. (Dann ist X die Obermenge von Y (in Zeichen X Y ) X heißt echte Teilmenge von Y, in Zeichen X Y (oder kurz X Y ), wenn X Y ist, aber X = Y nicht gilt.

6 Satz 1 Satz 1: Seien X, Y und Z Mengen, für die X Y und Y Z gilt. Dann gilt auch X Z. Beispiel: Sei X = {Haus}, Y = {Auto, Haus}, Z = {π, Haus, Auto} X Y und Y Z Also gilt auch: X Z Somit ist

7 Satz 2 Satz 2: Seien X und Y Mengen. X = Y gilt genau dann, wenn X Y und Y X gelten. Beispiel: Sei X = {2, 3}, Y = {1, 2, 3} X Y aber nicht Y X! Sei X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3} Y X aber nicht X Y! Aber wenn zb. gilt: X = {1, 2, 3} und Y = {1, 2, 3} X Y und Y X X = Y Beweis: Angenommen, dass X und Y Mengen sind. : Zu zeigen Wenn X = Y gilt, dann gelten auch X Y und Y X. Angenommen, es gilt X = Y. Dann enthalten X und Y dieselben Elemente. Also ist jedes Element von X auch Element von Y, also X Y, und jedes Element von Y ist auch Element von X, also Y X.

8 Beweis Teil 2 : Zu zeigen Wenn X Y und Y X gelten, dann gilt auch X = Y. Angenommen, es gelten X Y und Y X. Dann ist jedes Element von X auch ein Element von Y und jedes Element von Y ist auch ein Element von X. Also enthalten X und Y dieselben Elemente, und somit X = Y.

9 Definition Definition Seien M und N Mengen. Der Schnitt von M und N ist die Menge M N := {z z M und z N}. Die Vereinigung von M und N ist die Menge M N := {z z M oder z N}. Die Differenz von M und N ist die Menge M \ N := {z z M und z N}. M und N heißen disjunkt, falls M N =.

10 Definition Definition Eine Menge M heißt endlich, wenn M nur endlich viele Elemente enthält. Die Mächtigkeit { einer Menge M ist definiert als Anzahl der Elemente in M, falls M endlich ist M :=, sonst. Satz 3: (Summenregel) Seien M und N Mengen. Es gilt M N = M + N genau dann, wenn M und N disjunkt sind.

11 Beispiele zu Satz 3 Teil 1 Beispiel 1: Seien M und N Mengen. Sei zb. N = {1, 2, 3, 5}( N = 4), M = {5, 9, 12}( M = 3) Also sind die Mengen N und M nicht disjunkt, also M N. M + N = 7 M N = {1, 2, 3, 5, 9, 12}, M N = 6 Eine 5 ist bei der Vereinigung verloren gegangen Beispiel 2: Sei zb. N = {1, 2, 3}( N = 3), M = {5, 8, 9, 12}( M = 4) Die Mengen N und M sind disjunkt, es ist also M N =. M + N = 7 M N = {1, 2, 3, 5, 8, 9, 12}, M N = 7 Somit M N = M + N

12 Potenzmenge Definition (Potenzmenge) Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge P(M) := {N N M}, also die Menge aller Teilmengen von M.

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