Beweistechnik: Beweise in Bezug auf Mengen. Formale Methoden 2 LVA , Beweistechnik: Widerspruchsbeweise. Satz R (S T ) = (R S) (R T )

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1 Formale Methoden 2 LVA , ( Georg Moser (VO) 1 Martin Korp (UE) 2 Friedrich Neurauter (UE) 3 Christian Vogt (UE) 4 1 georg.moser@uibk.ac.at Sprechstunden: Mittwoch, 13:00 15:00 (3M09) 2 csac9615@uibk.ac.at Sprechstunden: Freitag, 12:00 14:00 (3M03) 3 csad2836@uibk.ac.at Sprechstunden: Montag, 11:00 13:00 (3M03) 4 christian.vogt@uibk.ac.at Sprechstunden: Donnerstag, 10:00 12:00 (3M12) Sommersemester 2006 technik: e in Bezug auf Mengen wenn -: R (S T ) = (R S) (R T ) Umformulierung nach Definition zu Genau dann, x R (S T ) genau dann, wenn x (R S) (R T ) Wir zeigen die nur dann, wenn -Richtung: x R (S T ) impliziert x (R S) (R T ): x R (S T ) x R oder (x S T ) x R oder (x S und x T ) (x R oder x S) und (x R oder x T ) x (R S) (R T ) Hypothese Definition von Definition von Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 1 technik: Widerspruchsbeweise Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 2 Widerspruchsbeweise S sei eine endliche Teilmenge einer unendlichen Menge U. T sei die Komplementärmenge von S in Bezug auf U. Dann ist T unendlich. Hypothese(n) Negation der Konklusion Konklusion Laut Definition S T = U und S, T disjunkt, also S + T = U. Da S endlich, existiert n, sodass S = n. Andererseits, da U unendlich, existiert kein l, sodass U = l. Angenommen T ist endlich, dann existiert m, sodass T = m. Also U = S + T = n + m. Widerspruch! Somit muss T unendlich sein. Gegenbeispiele Sätze behandeln allgemeine Aussage. Ist die Aussage für bestimmte Werte falsch, dann haben wir ein Gegenbeispiel gefunden. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 3 Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 4

2 Induktionsbeweise mit ganzen Zahlen Aussage S(n) soll für alle n gezeigt werden. Basis: Zu zeigen, dass S für Startwert gilt, etwa n = 0 oder n = 1. Induktionsschritt: Zu zeigen, dass wenn S(n), dann gilt auch S(n + 1). Induktionsprinzip Wenn wir S(i) beweisen und beweisen können, dass für alle n i, S(n) S(n + 1) impliziert, dann können wir darauf schließen, dass S(n) für alle n i gilt. S(i) S(n) S(n + 1) Wenn x 4, dann 2 x x 2. mit Induktion Basis: x = 4 impliziert 2 x = x 2. Schritt: Induktionshypothese (IH): 2 x x 2 zu zeigen 2 x+1 (x + 1) 2 ; aus IH folgt: 2 x+1 = 2 2 x 2x 2 ; wir zeigen 2x 2 (x + 1) 2 : zunächst zeigen wir x x : x x. Nun gilt: x x x 2 2x + 1 2x 2 2x 2 + 2x + 1 2x 2 (x + 1) 2 mit x multiplizieren x 2 addieren Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 5 Allgemeinere Formen der Induktion Um S(n + 1) zu beweisen, können wir als Induktionshypothesen alle Aussagen S(i), S(i + 1),..., S(n), verwenden. Andere Erweiterung: Mehrere Basisfälle S(i), S(i + 1),..., S(j), Dann können wir im Induktionsschritt annehmen. n j, Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 6 Wenn n 8, dann existieren natürliche Zahlen k, l 0, sodass n = 3k + 5l. Wir schreiben S(n) für die Aussage des es. Basis (i) S(8): 8 = 3 + 5, (ii) S(9): 9 = , (iii) S(10): 10 = Schritt IH: S(8), S(9),..., S(n) sind wahr und n 10. wir müssen S(n + 1) zeigen wir betrachten (n + 1) 3, dann gilt (n + 1) 3 = n 2 8; IH ist auf n 2 anwendbar es existieren k, l 0, sodass n 2 = 3k + 5l also n + 1 = 3(k + 1) + 5l Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 7 Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 8

3 Strukturelle Induktion Induktive Definitionen Bäume Basis Ein einzelner Knoten ist ein Baum; dieser Knoten ist die Wurzel (des Baumes). Schritt Wenn T 1, T 2,..., T k Bäume sind, bilde neuen Baum: 1. Neuer Knoten N, die Wurzel. 2. Füge k Kanten von N zu den Wurzeln der T i hinzu. Ausdrücke Basis Jede Zahl, jeder Buchstabe ist ein Ausdruck. Schritt Wenn E, F Ausdrücke sind, dann sind auch E + F, E F und (E) Ausdrücke. Induktionsprinzip Aussage S(X ) soll für alle Strukturen X, die durch eine bestimmte induktive/rekursive Definition gegeben sind, gezeigt werden. Basis S(X ) wird für die Basisstruktur(en) X bewiesen. Schritt Wähle Struktur X, die rekursiv aus Y 1, Y 2,..., Y k gebildet wird. Zeige damit IH S(Y 1 ), S(Y 2 ),..., S(Y k ) sind wahr S(X ) Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 9 Jeder Baum hat einen Knoten mehr als Kanten. Die Aussage S(T ) lautet: Wenn T ein Baum ist und n Knoten und e Kanten hat, dann gilt n = e + 1. Basis Trivialerweise gilt n = e + 1, wenn T nur aus einem Knoten besteht. Schritt Angenommen T habe T 1,..., T k als direkte Teilbäume, mit IH folgt S(T 1 ),..., S(T k ). n 1,..., n k die Anzahlen der Knoten von T 1,..., T k. e 1,..., e k die Anzahlen der Kanten von T 1,..., T k. Für alle i [1, k] gilt: n i = e i + 1 n = 1 + n n k = = 1 + (e 1 + 1) + + (e k + 1) = k + e 1 + e k + 1 = e + 1. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 10 Alphabete und Wörter Ein Alphabet Σ ist eine endliche, nicht leere Menge von Symbolen. Alphabete Σ = {0, 1} das binäre Alphabet Σ = {a, b,..., z}, die Kleinbuchstaben die Menge der (druckbaren) ASCII-Zeichen Eine Zeichenreihe (ein Wort, ein String) ist eine endliche Folge von Symbolen über einem Alphabet Σ. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 11 Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 12

4 Wörter Wörter und Wortlänge Die Symbolkette ist eine Zeichenreihe über dem Alphabet {0, 1} Die leere Zeichenreihe ɛ ist ein String, der keine Symbole enthält. Die Länge eines Wortes w ist als die Anzahl der Positionen in w definiert. Die Länge von w wird mit w bezeichnet. Länge Die Länge von ist 5; konzise = 5 Die Länge von ɛ ist 0. Σ k, Σ +, Σ Definiere Σ k als die Menge der Wörter der Länge k, deren Symbole aus Σ stammen. Wir verwenden auch Σ 1 = {0, 1} Σ 2 = {00, 01, 10, 11} Σ + = Σ 1 Σ 2 Σ = Σ + {ɛ} Sei Σ = {0, 1}. Dann gilt Σ 3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}... Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 13 Konkatenation Seien x, y Wörter, wir schreiben xy für die Konkatenation von x und y. Sei x = a 1 a 2 a i, y = b 1 b 2 b j, dann gilt xy = a 1 a 2 a i b 1 b 2 b j Konkatenation Sei x = 01101, y = 110, z = dann ist xy = und yx = Die Konkatenation ist also nicht kommutativ, aber assoziativ: (xy)z = ( )10101 = 01101( ) = x(yz). Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 14 Sprachen Eine Teilmenge L von Σ heißt eine formale Sprache über dem Alphabet Σ Sprachen Die Menge der Wörter, die jeweils die selbe Anzahl 0en und 1er enthalten: {ɛ, 01, 10, 0011, 0101, }. Die Binärzahlen, die Primzahlen kodieren: {10, 11, 101, 111, 1011, }. Σ ist eine Sprache, die leere Sprache ist eine Sprache, {ɛ} ist eine Sprache. Beachte {ɛ}. Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 15 Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 16

5 Komplement, Produkt, Potenz Das Komplement L von L ist definiert als Zusammenfassung L := {x Σ x / L} Für L 1 und L 2 über Σ ist das Produkt L 1 L 2 definiert als L 1 L 2 := {xy x L 1, y L 2 } Die k-te Potenz {ɛ} falls k = 0 L k = L falls k = 1 L L L }{{} falls k > 1 k-mal e über Mengen, Widerspruchsbeweise, Gegenbeispiele Induktive e mit ganzen Zahlen Strukturelle Induktion Alphabete, Wörter, Sprachen Komplement, Produkt, Potenz L = k 0 L k L + := k 1 L k Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 17 Formale Methoden 2 LVA , G. Moser 18