Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung"

Transkript

1 Mathematisches Institut II Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 3: Elementare Beweismethoden: Direkter Beweis, Widerspruchbeweis, die vollständige Induktion Benutzte Literatur:. I. S. Sominskij, L. I. Golovina, I. M. Jaglom, Die vollständige Induktion.. Arthur Engel, Problem-Solving Strategies 3. Verschiedene Mathematik-Wettbewerbe Eine Behauptung X gilt in Mathematik als bewiesen, wenn eine endliche Kette von logisch korrekten Implikationen {A,..., A n } = B =... = B m = X, () vorhanden ist, an derem Anfang eine Menge {A,..., A n } von Axiomen steht, und am Ende die Behauptung X. Bei jedem Schritt darf man natürlich auch weitere Axiome anwenden. Als eine Variante von () wird oft eine Kette X C... C m {A,..., A n } () von logisch äquivalenten Behauptungen konstruiert, an derem Anfang die Behauptung X und am Ende eine Menge {A,..., A n } von Axiomen steht. Für den Beweis von X ist die Kette () zwar hinreichend, aber nicht notwendig, da man eigentlich nur Implikationen in Richtung Axiome = Behauptung braucht. Achtung! Ist eine der Implikationen im Schema () keine Äquivalenz, so ist die Behauptung nicht bewisen (und womöglich auch falsch). Beispiel 3.. X = =. Beweiskette = }{{} X = = ( ) }{{} C 4 }{{ = 4 }. A Die letzte Behauptung 4 = 4 ist ein Axiom, daher richtig. Die Kette liefert aber keinen Beweis dafür, dass = ist, da die erste Implikation keine Äquivalenz ist (aus a = b folgt zwar a = b, aber aus a = b folgt nicht a = b).

2 Direkter Beweis Man spricht von einem direkten Beweis, falls die Implikationenkette relativ kurz und transparent ist und wenn keine speziellen Techniken verwendet werden. Aufgabe 3.. Zeigen Sie, dass (a + b) = a + ab + b ist. Lösung: Es gilt A : (a + b) x = ax + bx bzw. y (a + b) = ya + yb (Distributivgesetz), sowie A : xy = yx (Kommutativgesetz). Man hat also (a + b) = (a + b) (a + b) }{{} x = a }{{} (a + b) + }{{} b y y (a + b) = a + ab + ba }{{} Axiom A + b = a + ab + b. Aufgabe 3.3. Beweisen Sie für positive x, y die AM-GM-HM-Ungleichung x + y xy +. x y Lösung: Für jede reelle Zahl z ist z 0 (folgt aus der Axiom ( u) = u ). Insbesondere gilt für z = x y : ( x y ) = x xy + y 0. Daraus folgt und x+y xy (AM-GM). Ferner folgt aus (3) x + y xy (3) xy xy x + y = +, x y was mit GM-HM-Ungleichung übereinstimmt. Widerspruchbeweis (indirekter Beweis) Ein indirekter Beweis (auch Widerspruchbeweis genannt) einer Behauptung X ist eine endliche Kette von logisch korrekten Implikationen X = B =... = B m = W = A, an derem Anfang die Negation der Behauptung X steht, und am Ende ein Widerspruch (d. h. die Negation A eines Axioms). Bei der Formulierung der Negation X zu X muss man stets die Formel X = X ist falsch benutzen, und nicht irgendeine Teilnegation. So ist zu X = Alle Schafe sind schwarz die richtige Negation X = Nicht alle Schafe sind schwarz, und nicht etwa Alle Schafe

3 3 sind weiß oder Alle Schafe sind nicht schwarz. Weitere Beispiele: Behauptung X richtige Negation X falsche Negation Jede Zahl ist gerade Nicht jede Zahl ist gerade Jede Zahl ist ungerade ist irrational ist rational 3 ist irrational A > B A B A < B C.Schiffer ist blond C.Schiffer ist nicht blond C.Schiffer ist rothaarig (x + y) = x + y (x + y) x + y (x + y) = x + xy + y Herr A. hat einen Sohn Herr A. hat keinen Sohn Herr A. hat eine Tochter Aufgabe 3.4. Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Lösung: a)wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen; sei J die Anzahl dieser Primzahlen. Wir listen alle Primzahlen aufsteigend auf: p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7,..., bis p J, und bilden das Produkt N = J p k = p p... p J p J. k= Offensichtlich ist dieses Produkt N durch jede Primzahl teilbar. Dann ist die Zahl N + durch keine Primzahl teilbar, und daher selber eine Primzahl. Diese Primzahl ist in der obigen Liste nicht aufgelistet, da N + > p J ist. Das ergibt einen Widerspruch, da wir angenommen haben, dass unsere Liste alle Primzahlen enthält. Aufgabe 3.5. Gegeben seien drei irrationale Zahlen. Zeigen Sie, daß es unter diesen drei Zahlen zwei gibt, deren Summe auch irrational ist. Beispiel: Unter den drei irrationalen Zahlen + π, und 3 haben beispielsweise die Zahlen + π und eine irrationale Summe. Unter den drei irrationalen Zahlen π, und 7 3 haben je zwei eine irrationale Summe. Lösung: a) Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, daß es unter unseren drei irrationalen Zahlen keine zwei gibt, deren Summe irrational ist; das heißt, je zwei von unseren drei Zahlen haben eine rationale Summe. Bezeichnen wir unsere drei irrationalen Zahlen mit x, y und z, dann sind also die Summen a = y + z, b = z + x und c = x + y alle rational. Nun ist (z + x) + (x + y) (y + z) x = = b + c a. Da die Zahlen a, b und c rational sind, muß also auch die Zahl x rational sein; das steht im Widerspruch zu unserer Voraussetzung, daß die Zahlen x, y und z alle irrational sind. Aufgabe 3.6. Wir betrachten auf der Ebene ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem. Ein Punkt heißt Gitterpunkt, wenn seine beiden Koordinaten in diesem Koordinatensystem ganzzahlig sind. Man zeige: Es gibt kein gleichseitiges Dreieck, dessen alle drei Ecken Gitterpunkte sind. Lösung: Wir betrachten die Konfiguration auf dem Bild.

4 4 F C E B A D Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, dass A, B und C Gitterpunkte sind und das Dreieck ABC gleichseitig ist. O. B. d. A. seien die Punkte so angeordnet wie im obigen Bild. Bei anderen Fällen verlaufen die Überlegungen analog. Weil A, B und C Gitterpunkte sind, sind alle Längen AD = F E, AF = DE, F C, CE, DB und EB ganzzahlig, also auch rational. Wir bezeichnen die Länge der Seite AB mit a. Es gilt: a = AD + DB Q. Die Fläche F des Dreiecks ABC wird durch F (ABC) = 3a 3a a = 4 gegeben und ist damit irrational. Jetzt aber haben wir: F (ABC) = F (ADEF ) F (ADB) F (BEC) F (ACF ) = AD EF AD DB BE EC AF F C. Das ist eine rationale Zahl. Das ergibt einen Widerspruch. 3 Die vollständige Induktion Sei X n eine Behauptung, die einen abzählbaren Parameter n n 0 enthält (z.b. X = n 3 ist durch n teilbar). Das Induktionsprinzip oder Induktionsaxiom besagt: Sei X für n 0 richtig (der Induktionsanfang). Ferner sei für jedes k n 0 die Implikation X k = X k+ richtig (der Induktionsschritt). Dann ist X n für jedes n richtig. Als eine Variante des Induktionsschrittes kann man die Implikation {X n0,..., X k } = X k+ nehmen.

5 5 3. Vorlesungsbeispiele Beispiel 3.7. Das Eulersche Polynom x + x + 4 liefert bei x =,,..., 39 nur Primzahlen; damit hat man mehr Möglichkeiten als nötig für den Induktionsanfang. Bei x = 40 erhält man aber x + x + 4 = 4, also keine Primzahl. Hier würde der Induktionsschritt nicht klappen. Beispiel 3.8. Man betrachte die Summe S n = (n ) n. Die Behauptung S n < ist falsch. Zwar funktioniert der Induktionsschritt von n n = k auf n = k + sehr wohl: aus S k < folgt k S k+ = S k + k (k + ) < k + k (k + ) = (k + ) + k (k + ) Aber der Induktionsanfang S = < ist offensichtlich falsch. = k +. Beispiel 3.9. Die Ungleichung x + x für alle x 0 ist zwar richtig, kann aber mittels vollständiger Induktion nicht bewisen werden. Hier fehlt nämlich abzählbarer Parameter, nach dem man Induktion führen könnte. Aufgabe 3.0. Sei G ein konvexes n-eck. Beweisen Sie folgende Behauptungen: a). Jede Triangulierung von G hat genau n Dreiecke. b). Die Summe der inneren Winkel von G beträgt (n ) π. Bemerkung: Unter einer Triangulierung eines Vielecks verstehen wir eine Zerlegung des Vielecks in Dreiecke, die sich nicht überlappen, zusammen lückenlos das Vieleck abdecken, und deren Ecken gleichzeitig Ecken des Vielecks sind. Lösung: Der Induktionsanfang n = 3 ist für beide Behauptungen offensichtlich. a). Induktionsschritt: Angenommen, die Behauptung gilt für alle n k, d. h. für jedes n k hat jede Triangulierung eines konvexen n-ecks genau n Dreiecke. Wir zeigen nun, daß dies auch für n = k + gilt. Wir betrachten eine Diagonale, die zur Triangulierung gehört. Diese Diagonale teilt G in ein n -Eck und ein n -Eck. Dabei gilt: k + = n = n + n und n k und n k. Laut Induktionsannahme hat das triangulierte n -Eck n Dreiecke, und das triangulierte n -Eck n Dreiecke. Somit hat die Triangulierung des gesamten n-ecks (n ) + (n ) = n + n 4 = (n + n ) = n Dreiecke. b). Induktionsschritt: Im Wesentlichen verläuft der Induktionsschritt wie im Teil (a): Mit einer Diagonale teilen wir unser n-eck G in ein n -Eck und ein n -Eck. Dabei gilt: n = n + n. Laut Induktionsvoraussetzung ist die Summe der Winkel des n -Ecks gleich (n ) π, und die des n -Ecks gleich (n ) π. Die Summe der Winkel

6 6 des n-ecks G erhält man nun, indem man diese beide Summen zusammenaddiert; sie ist somit (n ) π + (n ) π = (n + n 4) π = (n ) π. Bemerkung: Ein anderer Beweis von (b) ergibt sich leicht aus einer Triangulierung mithilfe von (a). Aufgabe 3.. Man berechne die Summe S n der ersten n ungeraden Zahlen. Lösung: Es ist S =, S = + 3 = 4, S 3 = = 9. Wir beweisen, dass S n = n für jedes natürliche n ist. Der Induktionsanfang n = ist bewiesen. Induktionsschritt: Es sei S k = k. Dann ist S k+ = S k + (k + ) = k + k + = (k + ). Die Formel ist nun für n = k + bewiesen. Aufgabe 3.. Bernoullische Ungleichung. Man beweise, dass ( + α) n > + nα gilt, wenn α >, α 0 und n eine natürliche Zahl größer ist. Lösung: a). Induktionsanfang: Für n = gilt ( + α) = + α + α > + α. Induktionsschritt: Angenommen, die Bernoullische Ungleichung gelte für ein n = k. Es sei also ( + α) k > + kα. Dann ist ( + α) k+ = ( + α) k ( + α) > ( + kα) ( + α) = + (k + ) α + kα > + (k + ) α. Somit ist die Ungleichung für n = k + bewiesen. Bemerkung: Die Bernoullische Ungleichung gilt auch für reellwertige n, aber in diesem Fall kann man die Behauptung nicht mehr durch vollständige Induktionbeweisen. 3. Übungsaufgaben Aufgabe 3.3. Man beweise, dass ) die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen gleich K n = ist. ( n(n+) Lösung: Induktionsanfang: K = = ( ). ) Induktionsschritt: Es sei K k =. Dann ist ( k(k+) ( ) ( ) k (k + ) k K k+ = K k + (k + ) 3 = + (k + ) 3 = (k + ) 4 + k + = (k + ) k + 4k + 4 = (k + ) (k + ) ( ) (k + ) (k + ) =. 4 4

7 7 Die Formel ist nun für n = k + bewiesen. Aufgabe 3.4. Sei M eine endliche Menge mit m = M Elementen. Wir bezeichnen mit P (M) die Potenzmenge von M, d. h. die Menge, die aus allen Teilmengen von M besteht (inklusive M selbst sowie die leere Menge). Berechnen Sie die Mächtigkeit P (M) von der Menge P (M). Lösung: Betrachten wir die leere Menge M =, für die ja M = 0 ist. Die Potenzmenge P (M) besteht dann aus einem einzigen Element: P (M) = { }. Also ist P (M) = = M. Für M = {a} ist P (M) = {, {a}}, also P (M) = = M. Wir behaupten, dass für jedes n N gilt: P (M) = M. (4) Betrachten wir eine Menge M = {a, a,..., a m }. Jeder Teilmenge M M entspricht eine Folge { 0, wenn f (M aj / M ) = (ε,..., ε m ) mit ε j =,, falls a j M. Umgekehrt entspricht jeder Folge ε = (ε,..., ε m ) mit ε j {0, } eine Teilmenge M mit f (M ) = ε. Wir bezeichnen die Menge aller solchen ε-folgen mit E m. Die Abbildung f : P (M) E m ist bijektiv. Daher gilt Wir können jetzt (4) in der Form P (M) = E m. E m = m (5) umschreiben. Zum Beweis führen wir vollständige Induktion nach m. Induktionsanfang: E = {(0), ()} und E = =. Induktionsschritt: Sei (5) für m = k erfüllt. Betrachten wir nun E k+. Wir teilen E k+ ein in zwei disjunkte Teilmengen Dann gilt und X = {(ε,..., ε k+ ) : ε j = 0 oder ε j = für j =,..., k, ε k+ = 0} und Y = {(ε,..., ε k+ ) : ε j = 0 oder ε j = für j =,..., k, ε k+ = }. X = Y = E k I.V. = k E k+ = X + Y = k = k+. Somit haben wir (5) für m = k + bewiesen. Aufgabe 3.5. Auf der Ebene sind n Geraden gezeichnet, die die Ebene in Gebiete zerteilen. Beweisen Sie, dass man jedes Gebiet (ohne Rand) in einer der beiden Farben rot und blau färben kann, so dass benachbarte Gebiete (d. h. Gebiete, die eine gemeinsame Kante haben) stets unterschiedliche Farben haben.

8 8 Lösung: Wir führen den Beweis nach der vollständigen Induktion. Induktionsanfang: Für n = gibt es genau Gebiete. Das erste färbt man rot, das andere blau. Induktionsschritt: Wir nehmen nun an, die Behauptung gelte für ein bestimmtes n = k, mit k ; nun werden wir zeigen, daß diese Behauptung auch für n = k + gültig ist. Wir nennen eine Färbung richtig, falls Nachbargebiete stets unterschiedliche Farben haben. Jetzt entfernen wir vorübergehend eine von den k + Geraden, und färben die Gebiete, die die restlichen k Geraden gebildet haben, richtig (dies ist nach der Induktionsannahme möglich). Jetzt fügen wir die letzte Gerade l wieder hinzu. Sie teilt die Ebene in zwei Halbebenen H und H ein. In der neuen Konfiguration gibt es Gebiete A,..., A p, die sich nicht mit l schneiden und komplett in H liegen. Es gibt auch Gebiete C,..., C q, die sich nicht mit l schneiden und komplett in H liegen. Es gibt nun auch einige Gebiete, die von l in zwei Teile zerschnitten werden. Diese letzteren Gebiete bezeichnen wir mit B,..., B r. Für jedes solche Gebiet B l nennen wir B l, denjenigen Teil von B l, der in H liegt, und B l, den Teil, der in H liegt. Jetzt definieren wir die neue Färbung wie folgt: Die Gebiete A,..., A p ändern ihre Farbe nicht; Die Gebiete C,..., C q wechseln ihre Farbe; Die Gebiete B l, bekommen die Farbe von B l. Die Gebiete B l, bekommen die Gegenfarbe von B l. Alte Konfiguration: richtige Färbung Neue Konfiguration: alte Färbung Neue Konfiguration: richtige Färbung Es ist leicht zu sehen, dass diese neue Färbung an den alten Grenzen richtig bleibt. Die neuen Grenzstrecken sind nur die zwischen B l, und B l,. Diese Gebiete haben jeweils verschiedene Farben; daher ist die Färbung richtig. 3.3 Schwieriegere Aufgaben *Aufgabe 3.6. Der Satz von Moivre. Man zeige, dass für jede natürliche Zahl n die Beziehung (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx gilt. Lösung: Induktionsanfang: Für n = bekommt man eine Tautologie.

9 9 Induktionsschritt: Angenommen, der Satz von Moivre gelte für ein n = k. Es sei also (cos x + i sin x) k = cos kx + i sin kx. Dann ist (cos x + i sin x) k+ = (cos x + i sin x) k (cos x + i sin x) = (cos kx + i sin kx) (cos x + i sin x) = cos kx cos x sin kx sin x + i sin kx cos x + i cos kx sin x = cos (kx + x) + i sin (kx + x) = cos (k + ) x + i sin (k + ) x. Die Formel ist nun für n = k + bewiesen. *Aufgabe3.7. Man beweise für jedes natürliche n > > n. n Lösung: Induktionsanfang: Für n = gilt + = + > + =. Induktionsschritt: Es sei die Ungleichung für n = k erfüllt. Dann ist + ( = ) + k + k k + I.V. > k + > k +, k + weil k + k = ( k + k ) ( k + + k ) k + + k = k + + k < k + ist. Somit ist die Ungleichung für n = k + bewiesen. *Aufgabe 3.8. Man betrachte n + Punkte A, A,..., A n+ auf dem Einheitskreis, die alle zu der oberen Halbebene gehören. Beweisen Sie, dass die Länge der Vektorsumme OS = OA OA n+ größer oder gleich ist. Dabei sei O das Zentrum des Einheitskreises. Lösung: Induktionsanfang: Für einen einzigen Einheitsvektor (n = 0) ist die Aussage offensichtlich. Induktionsschritt: Angenommen, diese Behauptung stimmt für n = k. Betrachten wir nun k + Punkte. O. B. d. A. seien A und A k+ der erste bzw. der letzte Punkt, durch den wir hindurchgehen, wenn wir den oberen Halbkreis des Einheitskreises gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Die Vektorsumme OS = OA + OA k+ halbiert den Winkel A OA k+. Die restlichen (k ) + Punkte A,..., A k haben die Summe OS = OA OA k, die in dem Winkelfeld zwischen OA und OA k+ liegt, und

10 deren Länge größer gleich ist. Daher ist der Winkel zwischen OS und OS spitz. Dementsprechend gilt OS + OS OS I.V.. Die Behauptung ist somit für n = k bewiesen. *Aufgabe 3.9. Man vereinfache das Polynom p n (x) = x! + x (x )! Lösung: Wir berechnen die ersten drei Polynome:... + ( ) n x (x )... (x n + ) n! p (x) = x; x (x ) ( p (x) = x + = (x ) + x ) (x ) (x ) =, ( (x ) (x ) x (x ) (x ) 3 p 3 (x) = = (x ) (x ) 6 6 x ) 6 (x ) (x ) (x 3) =. 6 Man entwickelt die Vermutung, dass p n (x) = ( ) n (x ) (x )... (x n) n! ist. Wir beweisen diese Formel induktiv. Den Induktionsanfang haben wir schon durchgeführt (n =,, 3). Angenommen, die Formel gilt für n = k. Dann ist p k+ (x) = p k (x) + ( ) k+ x (x )... (x k) (k + )! I.V. = ( ) k (x ) (x )... (x k) + ( ) k+ x (x )... (x k) k! = ( ) k (x ) (x )... (x k) k! = ( ) k (x ) (x )... (x k) k! ( x k + k + x k + = ( ) k+ (x ) (x )... (x k) (x k ), (k + )! womit die Formel für n = k + gezeigt ist. ) (k + )! 0

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Lösungsstrategien. Mathematik für Nachdenker. Natalia Grinberg. von. 2. Auflage

Lösungsstrategien. Mathematik für Nachdenker. Natalia Grinberg. von. 2. Auflage Lösungsstrategien Mathematik für Nachdenker von Natalia Grinberg. Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 3 4781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 55903 Autor: Dr. Natalia

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt,

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $ $Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen

40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen 40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen TU Graz, 29. Mai 2009 1. Für welche Primzahlen p ist 2p + 1 die dritte Potenz einer natürlichen Zahl? Lösung. Es soll also gelten 2p + 1

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:

1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #2 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 10.11.2016 Organisatorisches Fragen? Checkliste: Anmeldung kleine Übungen Anmeldung Mailingliste Dies ersetzt nicht die Prüfungsanmeldung!

Mehr

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion Lo sungen zu U bungsblatt Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbauer und Sicherheitstechniker), 1. Semester, bei Prof. Dr. G. Herbort im WiSe1/14 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 05.11.1 Themen: Kubische Gleichungen,

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H 5+7+8 = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle

Mehr

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion Robert Klinzmann 3. Mai 00 Reihen / Partialsummen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Das Prinzip der vollständigen Induktion 3 3 Herleitung der Gauß schen

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Zirkel und Zahlen, Julius-Maximilians-Universität Würzburg, Juli 07. Zirkel und Zahlen

Zirkel und Zahlen, Julius-Maximilians-Universität Würzburg, Juli 07. Zirkel und Zahlen Protokoll der Projektgruppe Zirkel und Zahlen, Julius-Maximilians-Universität Würzburg, Juli 07 Zirkel und Zahlen Team: Nancy Seckel, Hans Christian Döring, Eugenio Buzzoni, Anna Thurmayer, Maximilian

Mehr

1 Das Prinzip der vollständigen Induktion

1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1 1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1.1 Etwas Logik Wir nennen eine Formel oder einen Satz der Alltagssprache eine Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Die Formeln 2 = 3, 2 4, 5 5 sind

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Mehr

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung

Mehr

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Aufgaben Fibonacci-Folgen 7. April 2006 B. Werner SoSe 06

Aufgaben Fibonacci-Folgen 7. April 2006 B. Werner SoSe 06 19. April 2006 Aufgaben Fibonacci-Folgen 7. April 2006 B. Werner SoSe 06 Präsenzaufgaben: Aufgabe P1: Eine spezielle Lucasfolge (L n ) ist durch L n = L n 1 + L n 2, L 0 = 2, L 1 = 1 definiert. Berechnen

Mehr

Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker

Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker MATHEMATISCHES INSTITUT WS 006/07 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Schottenloher Dr. S. Tappe Version 5.. Lösungen zur. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker vom 6..06 Aufgabe. ( + Punkte) a)

Mehr

Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Leipzig, WS 16/17

Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Leipzig, WS 16/17 Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Universität Leipzig, WS 16/17 Prof. Dr. Bernd Kirchheim Mathematisches Institut kirchheim@math.uni-leipzig.de 1 / 1 Kapitel 1: Grundlagen 4 / 1 Kap.1

Mehr

Folgen. Kapitel 2. Folgen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Folgen. Kapitel 2. Folgen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 2 Folgen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 89 / 543 Inhalt Inhalt 1 Folgen Definition kriterien in C, R d und C d Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 90 / 543 Definition

Mehr

30. Satz des Apollonius I

30. Satz des Apollonius I 30. Satz des Apollonius I Das Teilverhältnis T V (ABC) von drei Punkten ABC einer Geraden ist folgendermaßen definiert: Für den Betrag des Teilverhältnisses gilt (ABC) = AC : BC. Für das Vorzeichen des

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen

Mehr

Weitere Eigenschaften

Weitere Eigenschaften Weitere Eigenschaften Erklärung der Subtraktion: x y := x + ( y) (5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = b a. Beweis: (a) Zunächst ist x = b a eine Lösung, denn a + x = a + (b

Mehr

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben

Mehr

Ebene und. Gerade, 2. Punkte A, B, C,..., die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.

Ebene und. Gerade, 2. Punkte A, B, C,..., die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear. 16 3 Das Axiomensystem Motiviert von den Elementen des Euklid, wollen wir jetzt ein modernes Axiomensystem für die Ebene Geometrie aufstellen. Zum ersten Mal wurde das um 1900 von David Hilbert geleistet,

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff 47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0) 09.0.0. Kommissar K hat 3 Tatverdächtige P, Q und R. Er weiß: (a) Wenn sich Q oder R als Täter herausstellen, dann ist P unschuldig.

Mehr

Schulstoff. Übungen zur Einführung in die Analysis. (Einführung in das mathematische Arbeiten) Sommersemester 2010

Schulstoff. Übungen zur Einführung in die Analysis. (Einführung in das mathematische Arbeiten) Sommersemester 2010 Übungen zur Einführung in die Analysis (Einführung in das mathematische Arbeiten) Sommersemester 010 Schulstoff 1. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen 1. Wiederholen Sie die Definiton des Logarithmus

Mehr

Logik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016

Logik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016 Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe16 Ronja Düffel 21. März 2016 Logik und Beweise Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe.

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2 6 Logik, Teil 2 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 6: Logik, Teil 2 1 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter

Mehr

2. Symmetrische Gruppen

2. Symmetrische Gruppen 14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Beweise und Beweisstrategien andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind

Mehr

Vertiefungskurs Mathematik

Vertiefungskurs Mathematik Vertiefungskurs Mathematik Anforderungen für das Universitäts-Zertifikat im Schuljahr 01/13 Grundvoraussetzung: Teilnahme am Vertiefungskurs Mathematik in Klasse 11. Inhaltliche Voraussetzungen: Aussagenlogik

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vorlesung 8. Angeordnete Körper

Vorkurs Mathematik. Vorlesung 8. Angeordnete Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Vorkurs Mathematik Vorlesung 8 Angeordnete Körper Definition 8.1. Ein Körper K heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf K gibt, die die beiden Eigenschaften

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

Anhang B: Quadratische Irrationalzahlen 1 Reel-quadratische Zahlkörper

Anhang B: Quadratische Irrationalzahlen 1 Reel-quadratische Zahlkörper Anhang B: Quadratische Irrationalzahlen 1 Reel-quadratische Zahlkörper Eine reelle Zahl x Q heißt quadratische Irrationalzahl, wenn sie Lösung einer quadratischen Gleichung (1) ax bx c 0, a 0 mit rationalen

Mehr

Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems

Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems 1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Wir wollen erklären, wie man natürliche Zahlen addiert und multipliziert und dabei nur den Begriff das Zählens verwenden.

Mehr

Vorkurs Mathematik 1

Vorkurs Mathematik 1 Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Beweistechniken 1.1 Prädikatenlogik..................................... 1. Direkter Beweis.................................... 3 1.3 Indirekter Beweis....................................

Mehr

Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Natürliche, ganze und rationale Zahlen Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!)

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel I. Natürliche Zahlen

MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel I. Natürliche Zahlen Version 12.12. Oktober 2006 MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07 Kurzfassung Martin Schottenloher Kapitel I. Natürliche Zahlen 1 Vollständige Induktion (1.1) Beweisprinzip der vollständigen

Mehr

Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 =

Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 = Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Lösung Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 = 12 2 + 5 2 Also gilt für die gesuchte Höhe auf der Hypotenuse

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)

Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag

Mehr

1.1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen und Abbildungen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik

Mehr

Folgen und endliche Summen

Folgen und endliche Summen Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht . Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel und 2 Aufgabe : Drei klassische Ungleichungen Aufgabe 2: ) Beweis einer Summenformel Induktion) Aufgabe : ) Teleskopsummen Aufgabe 4: Noch etwas Formelmanipulation

Mehr

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion c 2004 by Rainer Müller - http://www.emath.de 1 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Einleitung In der Mathematik gibt es im Prinzip drei grundlegende Beweismethoden, mit denen man versucht,

Mehr

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent.

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent. Definition der Basis Def. Es sei (V,+, ) ein nichttrivialer Vektorraum. Die Menge A V heißt eine Basis-Menge, falls sie (a) linear unabhängig ist und (b) span(a) = V. Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen

Mehr

Übung zu Grundbegriffe der Informatik. Simon Wacker. 15. November 2013

Übung zu Grundbegriffe der Informatik. Simon Wacker. 15. November 2013 Übung zu Grundbegriffe der Informatik Simon Wacker 15. November 2013 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die

Mehr

Drehung um einen Punkt um Winkel α.

Drehung um einen Punkt um Winkel α. Drehung um einen Punkt um Winkel α. Sei A R 2 und α R. Drehung um A um Winkel α ist eine Abbildung D A (α) : R 2 R 2 welche wie folgt definiert ist: D A (α) = T A D 0 (α) T ( A), wobei die Abbildung D

Mehr

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen

Mehr

Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln

Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln Michael Kniely November 2009 1 Vorbemerkungen Definition. Sei n N +, ϕ(n) := {d [0, n 1] ggt (d, n) = 1}. Die Abbildung ϕ : N + N + heißt

Mehr

Brückenkurs. Beweise. Anja Haußen Brückenkurs, Seite 1/23

Brückenkurs. Beweise. Anja Haußen Brückenkurs, Seite 1/23 Brückenkurs Beweise Anja Haußen 30.09.2016 Brückenkurs, 30.09.2016 Seite 1/23 Inhalt 1 Einführung 2 Sätze 3 Beweise 4 direkter Beweis Brückenkurs, 30.09.2016 Seite 2/23 Einführung Die höchste Form des

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 Rationale und reelle Zahlen 2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K,0,1,+, mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1 (K, 0, +

Mehr

Mengenlehre. Aufgaben mit Lösungen

Mengenlehre. Aufgaben mit Lösungen Mengenlehre Aufgaben mit Lösungen Inhaltsverzeichnis 1 Hilfsmittel 1 1. Zahlenmengen........................................ 1 2. Symbole........................................... 1 3. Intervalle: Schreibweise...................................

Mehr

Lineare Algebra I 8. Übungsblatt - Weihnachtszettel - Lösungen

Lineare Algebra I 8. Übungsblatt - Weihnachtszettel - Lösungen Prof. Dr. Duco van Straten Blatt 8 - Lösungen Oliver Labs 8. Dezember 2003 Konrad Möhring Lineare Algebra I 8. Übungsblatt - Weihnachtszettel - Lösungen. Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der GAUSSschen

Mehr

I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE

I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Kettenbrüche. dar, und allgemein: a 1 + 1

Kettenbrüche. dar, und allgemein: a 1 + 1 Kettenbrüche Um die Verfahren der höheren Mathematik besser verstehen zu können, ist es ratsam, sich über die verwendeten Zahlen Gedanken zu machen. Der Grieche Hippasos (5. Jahrh. v. Chr.) entdeckte,

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

Vollständigkeit der reellen Zahlen

Vollständigkeit der reellen Zahlen Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorlesung zur Didaktik der Analysis Oliver Passon Vollständigkeit von R 1 take home message I Wollte man mit Zahlen nur rechnen, könnte man mit den rationalen Zahlen

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

ANALYSIS 1 für Lehramt Ma Regelschullehrer SS 2008

ANALYSIS 1 für Lehramt Ma Regelschullehrer SS 2008 ANALYSIS 1 für Lehramt Ma Regelschullehrer SS 2008 Prof. Dr. Thomas Runst Friedrich Schiller Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut 1 Ziel der Vorlesung: Der Modul

Mehr