Der mathematische Beweis

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1 Der mathematische Beweis Im Studium wird man wesentlich häufiger als in der Schule Beweise führen müssen. Deshalb empfiehlt es sich, verschiedene Beweisverfahren intensiv zu trainieren. Beweisstruktur - Wie sieht ein ordentlicher Beweis aus? Wie man einen mathematisch korrekten Beweis führt, hängt von persönlichen Vorlieben und etwas Erfahrung ab. Dennoch sollten einige Grundregeln beachtet werden. Gleich zu Beginn des Studiums sollte man sich deshalb daran gewöhnen, den Beweis in drei Teile zu gliedern: Voraussetzung (Vor.) (ACHTUNG: Voraussetzung schreibt man nur mit einem r!) Behauptung (Beh.) Beweis (Bew.) Der Beweis entspricht der Folgerung Vor. Beh. Den Beweisabschluss kennzeichnet man mit q.e.d oder. Der direkte Beweis Ausgehend von der Voraussetzung und eventuell unter Verwendung anderer wahrer Aussagen folgert man die Behauptung durch direkte Implikation. Zeige, dass das Quadrat jeder geraden Zahl wieder gerade ist. Sei n eine gerade Zahl, d.h. es ist n k mit n N und k N. Auch n ist gerade. Es gilt Damit ist ein Teiler von n und es folgt die Behauptung. Zeige: Für zwei reelle Zahlen a,b mit a 0 und b 0 gilt: n Vor (k) 4k (k ) Seien a,b R mit a 0 und b 0. Es gilt a + b a + b Wir benutzen die wahre Aussage (a b) 0 und folgern daraus: 1

2 (a b) 0 (a ab + b ) 0 + 4ab a + ab + b 4ab : 4 a +ab+b 4 ab (a+b) Vor 4 ab a+b Damit ist die Behauptung gezeigt. Bemerkung: Bei vielen Beweisen ist es einfacher, sich die Folgerung von der Behauptung ausgehend zu überlegen und auf die Voraussetzung zu schließen. Dabei muss man beachten, dass dies nur mit Äquivalenzumformungen funktioniert. Der indirekte Beweis - Widerspruchsbeweis Wir haben oben gesehen, dass die Implikation A B äquivalent zu B A ist. Betrachtet man nun den Sachverhalt A B A B A B (A B) B A B A w w f f w f w f f w f w f w w f w f f f w w w f so erkennt man: A B ist tatsächlich wahr, wenn B A falsch ist! Stellen wir uns A nun als Voraussetzung und B als Behauptung vor, so erhalten wir folgendes Kochrezept für den indirekten 1. Beim indirekten Beweis nehmen wir die Verneinung der Behauptung an und kennzeichnen sie als Annahme.. Die Annahme führen wir zu einem Widerspruch (mit der Voraussetzung), d.h. wir zeigen, dass Annahme und Voraussetzung nicht gleichzeitig gelten können. 3. Beim Erreichen des Widerspruchs wissen wir: Die Annahme war falsch. 4. Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung. Zeige, dass für zwei reelle Zahlen a,b mit a 0 und b 0 gilt: a + b 1. Es seien a,b R mit a 0 und b 0,. (a b) 0 gilt für alle a,b R. Dann gilt a + b Angenommen, es gilt a+b < ab, dann folgt durch Multiplikation beider Seiten mit :

3 a + b < ab (a + b) < 4ab a + ab + b < 4ab 4ab a ab + b < 0 (a b) < 0. Dies ist ein Widerspruch zu Voraussetzung. Das bedeutet die Annahme war falsch und es gilt die Behauptung. Beweis durch Kontraposition Der Beweis durch Kontraposition ist ein Spezialfall des indirekten Beweises. Wir haben schon gesehen, was Tautologien sind. Bei (A B) ( B A) handelt es sich um eine solche, das heißt die beiden Aussagen sind äquivalent egal was man für A und B einsetzt. Bei schwierigen Beweisen kann es sich daher manchmal als geschickt erweisen, B A anstatt A B zu zeigen. Man nennt die Kontraposition zu B A A B. Zeige: Wenn n gerade ist, dann ist auch n gerade. Sei n N mit n. Es gilt n. Wir wollen den Beweis durch Kontraposition anwenden, d.h. es ist zu zeigen, dass also Beh. Vor., n ist ungerade n ist ungerade. Nehmen wir also an, n ist ungerade. Das heißt es gibt ein k N mit n k + 1. Es folgt: n (k + 1) n 4k + 4k + 1 n (k + k) + 1. Folglich ist n ungerade und mit dem Beweis der Kontraposition ist die zu ihr äuivalente Behauptung bewiesen. Gegenbeispiele Um eine Behauptung zu widerlegen, reicht es aus ein Beispiel zu finden, für das die Behauptung nicht gültig ist. Bemerkung: Hingegen reicht es nicht aus, allgemeine Behauptungen durch stichprobenartige Beispiele beweisen zu wollen! Zeige, dass die Aussage 3x + 7 < 1 gilt für alle x N falsch ist. Die Aussage 3x + 7 < 1 gilt für alle x N ist nicht richtig. Wir überprüfen die Ungleichung für x 0, x 1 und x. 3

4 Sei x 0, dann erhalten wir 7 < 1 - eine wahre Aussage. Sei x 1, dann erhalten wir 10 < 1 - eine wahre Aussage. Sei x, dann erhalten wir 13 < 1 - eine falsche Aussage. Wir sehen also, die Ungleichung gilt nicht für alle x N. Fallunterscheidungen Zeige, dass x 5 x 1 für x R keine Lösung hat. Sei x R. Die Gleichung x 5 x 1 hat keine Lösung in R. 1.Fall: Sei x 5, dann gilt: x 5 x 1 () x 5 x x + 1 x x 3x x 3x + ( 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3 x 3x + ( ) 3 ( x ( ) ) 3. Dies ist ein Widerspruch, d.h. für x 5 existiert keine Lösung..Fall: Sei x < 5. In diesem Fall ist x 5 für x R gar nicht definiert. Wir haben also auch hier keine Lösung. Es folgt die Behauptung. ) Beweis durch vollständige Induktion Exkurs: Summen und Produkte In der Mathematik treten häufig Ausdrücke wie n, n N auf. Dies bezeichnet die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. Eine andere, vor allem kürzere, Schreibweise für den selben Ausdruck ist Man spricht Summe von 1 bis n über k. 1.. k. k n n (Summe aller Quadrate bis einschließlich n ) (k 1) ( 1) + (4 1) + (6 1) (n 1) (n 1) (Summe der ungeraden Zahlen bis einschließlich n 1) 4

5 Wir wollen nun eine allgemeine Form für die Summenschreibweise angeben. Definition: Wir definieren A(k) : A(1) + A() + A(3) +...A(n), wobei A(k) ein von k abhängiger Ausdruck ist. Dabei ist k der Summationsindex, der von 1 bis n läuft. Ebenso können wir das Produktzeichen definieren: Definition: Wir definieren n k n n A(k) : A(1) A() A()... A(n). (Produkt aller natürlichen Zahlen bis einschließlich n) n k n (Produkt aller Quadrate bis einschließlich n ) n (k 1) n 1 (Produkt aller ungeraden Zahlen bis einschließlich n 1) Bemerkung: Sind konkrete Anfangs- und Endwerte für den Index angegeben, so kann man die Summe bzw. das Produkt ausrechnen. Es ist zum Beispiel 8 k k5 Manchmal ist es hilfreich bei einer Summe oder einem Produkt einen bestimmten Anfangs- oder Endwert zu haben. Um diesen zu erreichen wendet man das Verfahren der Indexverschiebung an. Es gilt: 1.. A(k) A(0) + A(1) A(n) k0 k n n+m km A(k m). (1 + m m) + ( + m m) + (3 + m m) (n + m m) n+m +m (k m). k (1 m + m) + ( m + m) + (3 m + m) +..(n m + m) n m m (k + m). 5

6 3. 8 k k3 6 (k + ). Bemerkung: Falls man über zwei Variablen summieren möchte, benötigt man so genannte Multiindizes: A(k,i) i,k0 i0 k0 A(k,i). Und um anzudeuten, dass über alle Zahlen zwischen 1 und n außer j summiert werden soll, schreibt man (k j) j,k i0 k3 ;k j A(k). 4 ( (k ) + (k 3) + (k 4) ) k 0 + ( 1) + ( ) ( 1) (k i) (3 i + 4 i) i (3 1) + (4 1) + (3 ) + (4 ) ;k 3 k Vollständige Induktion Mit dem Beweisverfahren der vollständigen Induktion will man die Gültigkeit von Aussagen (in der Regel Gleichungen oder Ungleichungen) mit einer Unbekannten n für jeden Wert dieser Unbekannten beweisen. Zum Beispiel kann man zeigen, dass n (n + 1) n (Gaußsche Summenformel) (1) für alle n N gilt. Bei n handelt es sich immer um eine natürliche Zahl. Der Beweis einer Aussage A (n) gliedert sich in drei Teile: Induktionsanfang (I.A.): Hier wird das kleinste n 0 gesucht, für das A (n 0 ) eine wahre Aussage ist. Es wird gezeigt, dass A (n 0 ) wahr ist. Induktionsvoraussetzung (I.V.): Hier wird angenommen, dass A (k) für alle k n, k N gilt. Induktionsschritt (I.S.): n n + 1 Hier wird gezeigt, dass wenn die Behauptung für n gilt, sie auch für n + 1 und damit für jede weitere Zahl gelten muss. Dazu schreibt man die Behauptung noch einmal auf, wobei jedes n durch n + 1 ersetzt wird. Man beweist diese neue Behauptung, indem auf die Induktionsvoraussetzung (I.V.) zurückgegriffen wird. 6

7 Bemerkung: Das Prinzip der Induktion folgt anschaulich dem Dominospiel. Man stellt sich alle Dominosteine angeordnet in einer langen Reihe vor und zeigt, dass ein einziger Stein, wenn man ihn anstößt, umfällt (I.A). Angenommen bis zu einem bestimmten Stein n sind schon alle Steine umgefallen (I.V), dann überlegt man sich weiter, dass wenn dieser Stein n umfällt auch immer der nächste Stein n + 1 umgestoßen wird, das ist der Induktionsschritt (I.S.). Am Ende werden alle Steine umgestoßen sein. Wir wollen zeigen, dass die oben angegebene Gaußsche Summationsformel (Gl. (1)) gilt. Sei n N. Es gilt n für alle n N. Wir zeigen die Aussage durch vollständige Induktion nach n: Induktionsanfang (I.A.): n 0 1 Für n 0 1 gilt und daher ist die Behauptung für n 0 erfüllt. Induktionsvoraussetzung (I.V.): 1 i 1! i1 i i1 1 (1 + 1) n (n + 1) 1, für alle k n, k N. Induktionsschritt (I.S.): n n + 1 Es ist zu zeigen: k k (k + 1) (I.V.) n+1 i1 (n + 1) ((n + 1) + 1). Mit der Induktionsvoraussetzung gilt n+1 i n + (n + 1) i1 Damit ist der Induktionsschritt vollbracht. n(n + 1) + (n + 1) n (n + 1) + (n + 1) (n + 1) (n + ) (n + 1) ((n + 1) + 1). (I.V.) 7

8 Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Behauptung gezeigt. Zum Schluss des Kapitels Beweisverfahren ein Zitat aus Friedrich Wille: Humor in der Mathematik, S.43: Oh, wundervolles Theorem, so lernsympatisch, schreibbequem, ich singe froh dir Lob und Preis, doch falsch ist leider dein Beweis. Quelle: Erstellt für: Gast 8