Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
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1 Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
2 Überblick 1. Summennotation 2. Regeln für Summen, Newtons Binomische Formeln 3. Doppelsummen 4. Einige Aspekte der Logik 5. Mathematische Beweise 6. Wesentliches aus der Mengenlehre 7. Mathematische Induktion Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
3 Beispiel: Summe 6 N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 = N i Summationssymbol (Sigma) i Summationsindex 1 und 6 Summationsgrenzen JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
4 Beispiel: Summe 6 N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 = N i Summationssymbol (Sigma) i Summationsindex 1 und 6 Summationsgrenzen Summe von i = 1 bis i = 6 über N i JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
5 Allgemeine Definition Definition Seien p und q ganze Zahlen mit q p; Dann ist q a i = a p + a p+1 + a p a q i=p die Summe von i = p bis q über a i. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
6 Beispiele für Summen (a) 5 i 2 = JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
7 Beispiele für Summen (a) 5 i 2 = = = 55 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
8 Beispiele für Summen (b) 5 (5k 3) = (5 3 3) + (5 4 3) + (5 5 3) = 51 k=3 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
9 Beispiele für Summen (c) 2 j=0 1 (j + 1)(j + 3) 1 = (0 + 1)(0 + 3) + 1 (1 + 1)(1 + 3) + 1 (2 + 1)(2 + 3) = = = = JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
10 weitere Beispiele (d) n p (i) t q (i) = p (1) t q (1) + p (2) t q (2) + + p (n) t q (n) JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
11 weitere Beispiele (d) n p (i) t q (i) = p (1) t q (1) + p (2) t q (2) + + p (n) t q (n) (f) N (x ij x j ) 2 = (x 1j x j ) 2 + (x 2j x j ) (x Nj x j ) 2 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
12 weitere Beispiele (d) n p (i) t q (i) = p (1) t q (1) + p (2) t q (2) + + p (n) t q (n) (f) N (x ij x j ) 2 = (x 1j x j ) 2 + (x 2j x j ) (x Nj x j ) 2 (e) 1 j= 3 x 5 j y j = JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
13 weitere Beispiele (d) n p (i) t q (i) = p (1) t q (1) + p (2) t q (2) + + p (n) t q (n) (f) N (x ij x j ) 2 = (x 1j x j ) 2 + (x 2j x j ) (x Nj x j ) 2 (e) 1 x 5 j y j = x 5 ( 3) y ( 3) + x 5 ( 2) y ( 2) j= 3 + x 5 ( 1) y ( 1) + x 5 0 y 0 + x 5 1 y 1 = x 8 y 3 + x 7 y 2 + x 6 y 1 + x 5 + x 4 y Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
14 weitere Beispiele (Pingo 3.1) (Beispiel Preisindex) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
15 Rechenregeln für Summen n n n (a i +b i ) = a i + b i Additivität (Beispiel Tafel) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
16 Rechenregeln für Summen n n n (a i +b i ) = a i + b i Additivität n n ca i = c a i Homogenität Konstante Faktoren können vor die Summe gezogen werden (Beispiel Tafel) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
17 Rechenregeln für Summen n n n (a i +b i ) = a i + b i Additivität n n ca i = c a i Homogenität Konstante Faktoren können vor die Summe gezogen werden n c = nc Summe über Konstante Anzahl der Summanden mal Konstante (Beispiel Tafel) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
18 Beispiel: Das arithmetische Mittel oder der Mittelwert Gegeben T Zahlen: x 1, x 2,..., x T µ x = 1 T T x i Mittelwert Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
19 Beispiel: Das arithmetische Mittel oder der Mittelwert Behauptung: T (x i µ x ) = 0 d.h. die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist 0. Beweis: Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
20 Beispiel: Das arithmetische Mittel oder der Mittelwert Beweis: T T T (x i µ x ) = x i µ x T = x i T µ x = T µ x T µ x = 0 Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
21 Beispiel: Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert Behauptung: 1 T T (x i µ x ) 2 = 1 T T xi 2 2 µ x JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
22 Beispiel: Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert Beweis: T T (x i µ x ) 2 = (xi 2 2µ x x i + µ 2 x ) T = x 2 T T i 2µ x x i + µ 2 x T = xi 2 2µ x T µ x + T µ 2 x = T xi 2 T µ 2 x JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
23 Beispiel: Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert Beweis: T T (x i µ x ) 2 = (xi 2 2µ x x i + µ 2 x ) T = x 2 T T i 2µ x x i + µ 2 x T = xi 2 2µ x T µ x + T µ 2 x = T xi 2 T µ 2 x Teilen durch T : 1 T T i µ x ) (x 2 = 1 T T xi 2 µ 2 x Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
24 Nützliche Formeln Summe der Zahlen von 1 bis n: n i = n = 1 n(n + 1) 2 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
25 Nützliche Formeln Summe der Zahlen von 1 bis n: n i = n = 1 n(n + 1) 2 Summe der Quadratzahlen: n i 2 = n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
26 Nützliche Formeln Summe der Zahlen von 1 bis n: n i = n = 1 n(n + 1) 2 Summe der Quadratzahlen: n i 2 = n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 Summe der Kubikzahlen: n [ ] 1 2 ( n ) 2 i 3 = n 3 = n(n + 1) = i 2 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
27 Newtons binomische Formel Was passiert, wenn wir in (a + b) n die Zahl n erhöhen? (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
28 Newtons binomische Formel Was passiert, wenn wir in (a + b) n die Zahl n erhöhen? (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Allgemein gilt für eine beliebige natürliche Zahl m: ( ) ( ) ( ) m m m (a +b) m = a m + a m 1 b ab m m 1 m b m JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
29 Binomialkoeffizient Definition: Für m = 1, 2,... und k = 0, 1, 2,..., m: ( ) m = k ( ) m (m 1)... (m k + 1) m bzw. = k! k m! k!(m k)! k! = k (k Fakultät) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
30 Binomialkoeffizient Hinweise: 0! = 1 ( m ) 1 = m ( m ) 0 = 1 ( m ) m = 1 ( m ) ( k = m ) m k z.b. ( 18 ( 16) = 18 ) 2 Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
31 Pascal sches Dreieck m k Beispiel m = 3: ( ) ( ) ( ) (a + b) 3 = a 3 + a 2 b + ab 2 + b a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1b 3 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
32 Pascal sches Dreieck m k Hinweise: ( ) ( ) m m = k m k ( ) ( ) ( ) m + 1 m m = + k + 1 k k + 1 ( ) ( ) 6 6 z.b. = = ( ) ( ) ( ) z.b. = + = JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
33 Beispiel: Einnahmen über Regionen und Monate MONAT R a 11 a a 1n E a 21 a a 2n G I... O N a m1 a m2... a mn a ij = Einnahmen in Region i im Monat j JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
34 Beispiel: Einnahmen über Regionen und Monate MONAT R a 11 a a 1n E a 21 a a 2n G I... O N a m1 a m2... a mn a ij = Einnahmen in Region i im Monat j Zeilensummen (Einnahmen in Region i über alle Monate j): n a 1j, n a 2j,..., n j=1 j=1 a mj j=1 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
35 Gesamteinnahmen Einnahmen in allen m Regionen über alle n Monate??? n n n m n a 1j + a 2j + + a mj = a ij j=1 j=1 j=1 j=1 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
36 Gesamteinnahmen Einnahmen in allen m Regionen über alle n Monate??? n n n m n a 1j + a 2j + + a mj = a ij j=1 j=1 j=1 j=1 Summe der Spaltensummen: m m m a i1 + a i a in = ( n m ) a ij j=1 ( ) m n a ij = n ( m ) a ij j=1 j=1 Es kommt nicht auf die Reihenfolge der Summation an! Pingo 3.3 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
37 Logik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
38 Aussagen Behauptungen, die entweder WAHR oder FALSCH sind, heißen Aussagen (propositions). Alle Menschen, die atmen, sind lebendig. WAHR Alle Menschen, die atmen, sind gesund. FALSCH 67 ist eine große Zahl. Ohne genaue Definition von große Zahl weder WAHR noch FALSCH JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
39 Offene Aussagen Die Aussagen x 2 1 = 0 enthält eine Variable x. Die Aussage ist WAHR für x = 1 oder x = 1. Für alle anderen Werte von x ist die Aussagen FALSCH. Aussagen, die von einer oder mehreren Variablen abhängen, heißen offene Aussagen. Solange wir keine bestimmten Werte für die Variablen einsetzen, ist eine offene Aussage weder WAHR noch FALSCH. Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
40 Implikationen Seien P und Q Aussagen, so dass aus der Wahrheit von P notwendigerweise auch die Wahrheit von Q folgt. Dann schreiben wir: und sagen: P = Q P impliziert Q Wenn P, dann Q Q folgt aus P Q, wenn P P nur dann, wenn Q Q ist eine Implikation (Folgerung) von P Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
41 Beispiel 2: Korrekte Implikationen (a) x > 2= x 2 > 4 (b) xy = 0= x = 0 oder y = 0 (c) x ist eine Quadrat = x ist ein Rechteck (d) x ist eine gesunde Person = x atmet leicht. Beachten Sie: ODER in der Mathematik einschließendes ODER. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
42 Beispiel 2: Korrekte Implikationen (a) x > 2= x 2 > 4 (b) xy = 0= x = 0 oder y = 0 (c) x ist eine Quadrat = x ist ein Rechteck (d) x ist eine gesunde Person = x atmet leicht. Beachten Sie: ODER in der Mathematik einschließendes ODER. Aussagen (a) bis (d) sind offene Aussagen. Eine Implikation P= Q bedeutet, dasss für jeden Wert einer Variablen, für den P WAHR ist, auch Q WAHR ist. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
43 Logische Äquivalenz In manchen Fällen, in denen die Implikation P= Q gilt, ist auch die umgekehrte Implikation Q= P gültig. Wir sprechen von einer logischen Äquivalenz und schreiben: P Q Wir sagen: P ist äquivalent zu Q P dann und nur dann (if and only if), wenn Q P genau dann, wenn Q Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
44 Beispiel 2: Äquivalenzrelationen? (a) x > 2 = x 2 > 4 (b) xy = 0 = x = 0 oder y = 0 (c) x ist eine Quadrat = x ist ein Rechteck (d) x ist eine gesunde Person = x atmet leicht. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
45 Beispiel 2: Äquivalenzrelationen? (a) x > 2 = x 2 > 4 (b) xy = 0 = x = 0 oder y = 0 (c) x ist eine Quadrat = x ist ein Rechteck (d) x ist eine gesunde Person = x atmet leicht. Nur (b) ist eine Äquivalenzrelation, denn aus x = 0 oder y = 0 folgt xy = 0, d.h. es gilt: xy = 0 x = 0 oder y = 0 In allen anderen Fällen gilt die Umkehrung NICHT!! JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
46 Notwendige und hinreichende Bedingung P ist hinreichend für Q bedeutet, P= Q Q ist notwendig für P bedeutet, P= Q JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
47 Notwendige und hinreichende Bedingung P ist hinreichend für Q bedeutet, P= Q Q ist notwendig für P bedeutet, P= Q Eine hinreichende Bedingung, damit x ein Rechteck ist, wäre dass x ein Quadrat ist. Eine notwendige Bedingung, damit x ein Quadrat ist, wäre dass x ein Rechteck ist. Für P Q sagen wir: P ist notwendige und hinreichende Bedingung für Q (Pingo 3.4) JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
48 Notwendige und hinreichende Bedingungen Es ist wichtig zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen zu unterscheiden. Atmung ist eine notwendige Bedingung für einen Menschen, um gesund zu sein. (WAHR) Atmung ist eine hinreichende Bedingung für einen Menschen, um gesund zu sein (FALSCH) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
49 Notwendige und hinreichende Bedingungen Die Kenntnis notwendiger und hinreichender Bedingungen und ihres Unterschiedes ist eine notwendige Bedingung für das Verständnis ökonomischer Analysen. Es ist jedoch keine hinreichende Bedingung. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
50 Lösen von Gleichungen ( ) 1 (2x 1) 2 3x 2 = 2 2 4x Tafelbeispiel JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
51 Lösen von Gleichungen (2x 1) 2 3x 2 ( ) 1 = 2 2 4x 4x 2 4x + 1 3x 2 = 1 8x x 2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0 x = 0 oder x = 4 Kette von logischen Äquivalenzen, aus der folgt, dass die Gleichung nur durch x = 0 und x = 4 und keine anderen Werte erfüllt ist. Tafelbeispiel JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
52 Mathematische Sätze als Implikationen Mathematische Sätze (Theoreme) werden als Implikationen formuliert: P = Q P: Eine oder eine Reihe von Aussagen: Voraussetzungen ( Das, was wir wissen ) Q: Eine oder eine Reihe von Aussagen: Schlüsse oder Folgerungen ( Das, was wir wissen wollen ) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
53 Direkter und indirekter Beweis P = Q Direkter Beweis: P = Q Indirekter Beweis: Nicht Q = Nicht P JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
54 Direkter und indirekter Beweis P = Q Direkter Beweis: P = Q Indirekter Beweis: Nicht Q = Nicht P P = Q ist äquivalent zu Nicht Q = Nicht P Beispiel: Wenn es regnet, wird das Gras nass. ist äquivalent zu Wenn das Gras nicht nass wird, regnet es nicht. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
55 Beispiel: Zu beweisen: (a) Direkter Beweis: x 2 + 5x 4 > 0 = x > 0 (b) Indirekter Beweis: Nicht Q = Nicht P JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
56 Beispiel: Zu beweisen: (a) Direkter Beweis: x 2 + 5x 4 > 0 = x > 0 P: x 2 + 5x 4> 0 Addition von x auf beiden Seiten: 5x> x Da x , folgt: 5x> 4 Entsprechend: x> 4/5 Q: x> 0 Pingo 3.4 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
57 Beispiel: Zu beweisen: x 2 + 5x 4 > 0 = x > 0 (b) Indirekter Beweis: Nicht Q = Nicht P Annahme: x 0 = 5x 0 = x 2 + 5x 4 0, da x 2, 5x und 4 jeweils 0 Pingo 3.4 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
58 Was ist eine Menge? Eine Menge ist die Vereinigung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente oder Mitglieder der Menge. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
59 Was ist eine Menge? Eine Menge ist die Vereinigung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente oder Mitglieder der Menge. S = {a, b, c} Menge S mit den Elementen a, b und c. Elemente schreibt man zwischen die Klammern { und }. Wenn a = 1, b = 2 und c = 3, dann ist S = {1, 2, 3} JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
60 Gleichheit zweier Mengen Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von A auch ein Element von B und jedes Element von B auch ein Element von A ist. Wir schreiben dann A = B. Reihenfolge der Auflistung spielt keine Rolle: {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2} JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
61 Definition einer Menge durch Spezifikation von Eigenschaften Beispiel: Budgetmenge eines Konsumenten Zwei Güter mit Preisen p und q pro Einheit. x und y sei die Anzahl der gekauften Einheiten. Der Wert eines Konsumbündels (x, y) ist damit px + qy. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
62 Definition einer Menge durch Spezifikation von Eigenschaften Beispiel: Budgetmenge eines Konsumenten Zwei Güter mit Preisen p und q pro Einheit. x und y sei die Anzahl der gekauften Einheiten. Der Wert eines Konsumbündels (x, y) ist damit px + qy. Wenn ein Konsument den Betrag m zum Kauf dieser Güter zur Verfügung hat, dann gilt folgende Budgetbeschränkung: px + qy m JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
63 Definition einer Menge durch Spezifikation von Eigenschaften Dadurch lässt sich eine Budgetmenge definieren: Allgemeiner: B = {(x, y) : px + qy m} S = {Typisches Mitglied: definierende Eigenschaften} JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
64 Elemente einer Menge, Teilmengen x S x / S x ist Element von S x ist NICHT Element von S JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
65 Elemente einer Menge, Teilmengen A B : A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B liegt. A A: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
66 Elemente einer Menge, Teilmengen Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn A B und B A. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
67 Mengenoperationen Notation Name Menge besteht aus den Elementen A B A Vereinigung B die zu wenigstens einer der Mengen A und B gehören. A B A Durchschnitt B die zu A und B gehören. A \ B A minus B die zu A, aber nicht zu B gehören. (Pingo 3.6a) JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
68 Mengenoperationen Notation Name Menge besteht aus den Elementen A B A Vereinigung B die zu wenigstens einer der Mengen A und B gehören. A B A Durchschnitt B die zu A und B gehören. A \ B A minus B die zu A, aber nicht zu B gehören. A B = A B = A \ B = {x : x A oder x B} {x : x A und x B} {x : x A und x / B} (Pingo 3.6a) JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
69 Leere Menge, disjunkte Mengen Das Symbol bezeichnet die Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge. Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
70 Leere Menge, disjunkte Mengen Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Die Mengen A und B sind genau dann disjunkt, wenn A B = Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
71 Das Komplement einer Menge Eine Ansammlung (d.h. eine Menge) von Mengen wird als Familie von Mengen bezeichnet. Jede Menge dieser Familie sei Teilmenge einer Grundmenge Ω. Komplement von A: Ω\A = C A = A C = Ã = (Tafelbeispiel) JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
72 Venn-Diagramme Venn-Diagramme: Darstellung von Mengen durch Regionen in der Ebene: JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
73 Venn-Diagramme A ( ) ( ) ( ) B C = A B A C JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
74 Venn-Diagramme Im Venn-Diagramm müssen alle möglichen Relationen zwischen den Mengen sichtbar sein: JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
75 Venn-Diagramme Venn-Diagramme: Darstellung von Mengen durch Regionen in der Ebene: JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
76 Venn-Diagramme A ( ) ( ) ( ) B C = A B A C JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
77 Venn-Diagramme Im Venn-Diagramm müssen alle möglichen Relationen zwischen den Mengen sichtbar sein: (1) (A B)\C (2) (B C)\A (3) (C A)\B (4) A\(B C) (5) B\(C A) (6) C\(A B) (7) A B C (8) C (A B C) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
78 Assoziativgesetze für Mengenoperationen A A ( ) ( ) B C = A B C = ( B C A) B C = ( A B A B C ) C = Jedoch: A ( )!!! B C ( ) A B C JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
79 Assoziativgesetze für Mengenoperationen A A ( ) ( ) B C = A B C = ( B C A) B C = ( A B A B C ) C = Jedoch: A ( )!!! B C ( ) A B C Beispiel: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {4, 5} JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
80 Assoziativgesetze für Mengenoperationen A A ( ) ( ) B C = A B C = ( B C A) B C = ( A B A B C ) C = Jedoch: A ( )!!! B C ( ) A B C Beispiel: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}, C = {4, 5} A (B C) = {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5} = {2, 3} (A B) C = {2, 3} {4, 5} = {2, 3, 4, 5} JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
81 Formel für Summen der ersten ungeraden Zahlen? 1 = 1 = = 4 = = 9 = = 16 = = 25 = 5 2 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
82 Formel für Summen der ersten ungeraden Zahlen? 1 = 1 = = 4 = = 9 = = 16 = = 25 = 5 2 Vermutung: Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n (2n 1) = n 2 ( ) Formaler Beweis??? Vermutung ist richtig für n = 1, 2, 3, 4, 5. Geht das so weiter? Auch für 6 richtig? JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
83 Beweis durch mathematische (vollständige) Induktion Annahme: Formel ( ) ist richtig für eine bestimmte natürliche Zahl n = k, so dass (2k 1) = k 2 Addiere die nächste ungerade Zahl 2k + 1: (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) }{{} =(k+1) 2 Dies ist Formel ( ) für n = k + 1; Damit haben wir bewiesen: Wenn Formel ( ) gültig ist für n = k, so auch für n = k + 1. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
84 Formel ( ) gilt für alle n Vermutung: (2n 1) = n 2 (1) Wir haben gezeigt: Wenn die Formel ( ) gültig ist für n = k, so auch für n = k + 1. Wir wissen: Formel ( ) ist gültig für n = 1, also auch für n = 2. Wenn sie für n = 2 gültig ist, dann auch für n = 3, also auch für 4, 5, 6... und somit für alle natürlichen Zahlen n. Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
85 Prinzip der mathematischen Induktion Sei A(n) eine Aussage für alle natürlichen Zahlen n, und es gelte: [a] [b] ist A(1) ist wahr. Wenn die Induktionshypothese A(k) wahr ist, dann auch A(k + 1) wahr für alle natürlichen Zahlen k. Dann ist auch A(n) wahr für alle natürlichen Zahlen n. (Tafelbeispiel) Prof. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober / 48
Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014
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