9. Natürliche Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen.

Transkript

1 9-1 Funktionen 9 Natürliche Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen Hier soll ein Überblick gegeben werden, wie die reellen Zahlen ausgehend von den natürlichen Zahlen konstruiert werden Dies erfolgt in drei Schritten Dabei interessiert uns bei den Zahlensystemen, die wir erhalten, nicht nur die mengentheoretische Konstruktion, sondern auch die Addition und damit auch (so weit möglich) die Subtraktion die Multiplikation und damit auch (so weit möglich) die Division die Anordnung Kronecker soll einmal gesagt haben: Die natürlichen Zahlen hat Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk Als erstes gehen wir auf die natürlichen Zahlen ein 91 Die natürlichen Zahlen Mit N = {1,, 3, } haben wir die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet Es gelten die folgenden Aussagen: (N1) 1 N Intuitiv ist jedem klar, was gemeint ist, wenn man in die Mengenklammer die drei ersten Zahlen 1,, 3 schreibt und dann Pünktchen hinzufügt Hier soll nun herausgearbeitet werden, wie dies in der Mathematik formalisiert wird (N) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl n+1, man nennt n + 1 den Nachfolger von n (Die Zuordnung n n+1 ist also eine Abbildung N N) (N3) Die Nachfolger-Abbildung ist injektiv (N4) Die Zahl 1 ist nicht im Bild der Nachfolger-Abbildung (Die Nachfolger-Abbildung ist also nicht surjektiv) (N5) Ist U N eine Teilmenge, mit folgenden beiden Eigenschaften: (i) Erstens, 1 U (ii) Zweitens: Ist n U, so ist auch n + 1 U Dann ist U = N Beweis: Wir setzen voraus, dass U N gilt, zu zeigen ist also N U Wegen (i) wissen wir, dass gilt 1 U Wegen (ii) folgt: U Wieder wegen (ii) folgt 3 U, und so weiter Um zu zeigen, dass die natürliche Zahl 1000 zu U gehört, müssen wir also 999 mal die Regel (ii) anwenden Man nennt diese Aussagen (N1) - (N5) die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen Die Bedeutung der Axiome (N3) und (N4) kann man sich folgendermaßen klar machen: Betrachten wir eine Menge M

2 Leitfaden 9- mit einem Element m 0 und einer Abbildung ν : M M, für die eine Regel wir in (N5) notiert, gilt: (N5 ): Ist U M eine Teilmenge, mit folgenden beiden Eigenschaften: Erstens, m 0 U Zweitens: Ist x U, so ist auch ν(x) U Dann ist U = M Man sieht mühelos, dann dann einer der drei folgenden Fälle vorliegen muss: m 0 m 0 m 0 dabei haben wir jeweils einen Pfeil von x nach ν(x) gezeichnet Im ersten Fall ist ν injektiv und m 0 gehört nicht zum Bild von ν, es sind also Axiome entsprechend zu (N3) und (N4) erfüllt Im zweiten Fall ist m 0 im Bild von ν, im dritten Fall ist ν nicht injektiv Beachte, dass in den Fällen zwei und drei die Menge M endlich ist, im ersten Fall muss dagegen M eine unendliche Menge sein Beweise mit vollständiger Induktion Die Regel (b) wird oft verwendet, um zu zeigen, dass Formeln, die von einer natürlichen Zahl n abhängen, richtig sind, Wir betrachten dabei eine Formel P(n), etwa n t=1 n(n + 1) t = Für n = 1,, 3, 4, handelt es sich also um die Formeln P(1) P() P(3) P(4) 1 = = = = 4 5

3 9-3 Funktionen Hier der Beweis mit vollständiger Induktion: Die Formel P(1) ist offensichtlich richtig Wir nehmen nun an, dass P(n) richtig ist, dass also gilt n t=1 n(n + 1) t = Wir berechnen die linke Seite von P(n + 1) wie folgt: n+1 ( n ) t = t + n + 1 t=1 t=1 n(n + 1) = + n + 1 n(n + 1) + (n + 1) = = n + n + n + (n + 1)(n + ) =, rechts steht aber gerade die rechte Seite der Formel P(n + 1) Die beiden Schritte für den Beweis einer Formel P(n) sind also: (i) Man zeigt P(1) (man nennt dies die Induktionsverankerung) (ii) Man setzt voraus, dass P(n) für eine natürliche Zahl n gilt, und folgert daraus, dass dann auch P(n + 1) gilt (man nennt dies den Induktionsschritt) Damit ist gezeigt, dass die Formel P(n) für alle natürlichen Zahlen gilt Denn sei U die Menge der natürlichen Zahlen n, für die P(n) gilt Dies ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen mit den Eigenschaften (b) (i) und (b) (ii), also U = N Hier ein weiteres Beispiel für einen Beweis mit vollständiger Induktion: Satz Für alle natürlichen Zahlen n und alle reellen Zahlen x 0 gilt P(n) n 1 t=0 xt = xn 1 x 1 Beweis Induktionsverankerung: Links steht x 0 = 1, rechts steht x 1 x 1 = 1 Induktionsschritt: Wir setzen voraus, dass P(n) für eine natürliche Zahl n richtig ist, und berechnen die linke Seite von P(n + 1) n t=0 xt = n 1 t=0 xt + x n = xn 1 x 1 + xn = xn 1 + x n (x 1) x 1 = 1 + xn+1, x 1 wir erhalten also wirklich die rechte Seite von P(n + 1)

4 Leitfaden 9-4 Für beide Aussagen, die wir hier mit vollständiger Induktion bewiesen haben, gibt es auch andere (direkte) Beweise Es gibt aber viele Aussagen, die man recht einfach mit vollständiger Induktion beweisen kann und für die man keinen anderen Beweis kennt Vollständige Induktion wird auch in Definitionen verwandt So kann man die Addition natürlicher Zahl folgendermaßen definieren: Seien m, n natürliche Zahlen, wir definieren m+n wie folgt: Ist n = 1, so ist m+1 als der eindeutig bestimmte Nachfolger von m definiert Ist schon m + n definiert, so setzen wir m + (m + 1) = (m + n) + 1 Beispiel: Hier wird also durch ( ) + 1 definiert, also als die Nachfolgezahl der schon definierten Zahl Durch die Gleichung 1+1 = wird die Zahl definiert, entsprechend ist 3+1 = 4 eine Definition Die Gleichung + = 4 kann wie folgt bewiesen werden: + = ( + 1) + 1 = = 4 (das erste Gleichheitszeichen ist die Definition von +, das zweite die Definition von 3, das dritte die Definition von 4) Das Assoziativgesetz besagt: Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: a + (b + c) = (a + b) + c Für c = 1 ist dies die Definition von a + (b + 1) Aus a + (b + c) = (a + b) + c folgt a + (b + (c + 1)) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 = ((a + b) + c) + 1 = (a + b) + (c + 1) (dabei ist das dritte Gleichheitszeichen die Induktionsvoraussetzung, bei den restlichen drei Gleichheitszeichen handelt es sich um den Spezialfall, dass der dritte Summand gleich 1 ist) Entsprechend, aber nicht ganz so einfach, zeigt man das Kommutativgesetz der Addition mit Induktion Ebenfalls mit Induktion definiert man das Produkt m n der natürlicher Zahlen: Ist n = 1, so setzt man m 1 = m Ist schon m n definiert, so setzt man m (n + 1) = m n + m

5 9-5 Funktionen Wieder mit vollständiger Induktion kann man die zugehörigen Rechenregeln zeigen: das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz der Multiplikation, wie auch das Distributivgesetz zeigen All dies ist umständlich und trägt wenig zum Verständnis bei Für das Verständnis dieser Rechenregeln ist es wichtig, die Multiplikation geometrisch zu interpretieren (Verwendung von Rechtecksmustern; Schokolade) Für all dies sei auf die Vorlesung Zahlbereiche verwiesen Nicht nur Addition und Multiplikation sind zu erwähnen; wichtig ist auch, dass N eine Ordnungs-Struktur trägt Man definiert m < n, falls es eine natürliche Zahl m mit m + m = n gibt Zum Axiom (N5) ist das folgende Axiom (N6) äquivalent: (N6) Jede nicht-leere Teilmenge U von N hat ein kleinstes Element u (es gibt also u U, sodass gilt: u u für alle u U) Wir skizzieren, wie man die Äquivalenz zeigt Also erstes setzen wir (N5) voraus und betrachten eine Teilmenge U N, die kein kleinstes Element besitzt Mit Induktion zeigen wir U {1,,, n} = Daraus folgt aber U N = und demnach ist U die leere Menge Damit ist (N6) bewiesen Umgekehrt werde (N6) vorausgesetzt Sei U N mit 1 U, sodass gilt: Ist n U, so ist auch n + 1 U Wir zeigen, dass U = N \ U die leere Menge ist Wäre U nicht leer, so würde U nach (N6) ein kleines Element u enthalten Es ist u 1, denn wir setzen 1 U voraus Also ist u = n+1 für eine natürliche Zahl n Da n+1 das kleinste Element in U ist, ist n / U, also n U Dann ist aber nach Voraussetzung n+1 U, im Widerspruch zu n + 1 U Insgesamt sehen wir, dass U leer, also U = N ist Herausgearbeitet werden sollte: Es gibt keine größte natürliche Zahl Denn es gilt: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es den Nachfolger n + 1 Dies wurde gleich zu Beginn als Eigenschaft (N) formuliert 9 Von N zu R Wie wir wissen, können natürliche Zahlen addiert und multipliziert werden: Addition und Multiplikation sind Abbildungen N N (dabei ist N = N N die Menge der Paare (a, b) natürlicher Zahlen) Subtraktion und Division sind dagegen nur auf Teilmengen von N definiert: die Subtraktion auf der Menge {(a, b) N a > b},

6 Leitfaden 9-6 die Division auf der Menge {(a, b) N es gibt b N mit a = bb } Auch interessiert uns zum Beispiel das Quadrieren, das auf ganz N definiert ist, während die Umkehr-Operation, das Wurzelziehen, wieder nur auf einer echten Teilmenge, nämlich der Menge der Quadratzahlen, definiert ist Die Konstruktion von R dient dazu, neue Zahlen zur Verfügung zu stellen, um Rechen-Operationen zu ermöglichen, die vorher nicht möglich war Drei Konstruktionsschritte sind notwendig, um aus den natürlichen Zahlen die reellen Zahlen zu konstruieren (a) Das Hinzufügen der Null und der jeweiligen negativen Zahlen (man erreicht auf diese Weise, dass die Subtraktion für alle Zahlenpaare definiert ist) In diesem Schritt wird also die Addition invertierbar gemacht (m) Das Hinzufügen von Quotienten In diesem Schritt wird die Multiplikation so weit möglich invertierbar gemacht (v) Das Vervollständigen durch Intervall-Schachtelungen Die relevanten Zahlmengen sind die folgenden N die Menge der natürlichen Zahlen {1,, 3, } Z die Menge der ganzen Zahlen,, 1, 0, 1,, Q die Menge der rationalen Zahlen, R die Menge der reellen Zahlen Q + die Menge der positiven rationalen Zahlen, R + die Menge der positiven reellen Zahlen Das Inklusionsdiagramm hat die folgende Form: Z m a Q N v a Z Q + m Wie man sieht, gibt es drei verschiedene Wege, um von N zu R zu gelangen In theoretischen Überlegungen wird meist der linke gewählt: Durch den Prozess (a) erhält man aus N den Ring der ganzen Zahlen, durch (m) den Körper der rationalen Zahlen, dieser wird schließlich vervollständigt In den Schulen wird meist der mittlere Weg eingeschlagen: in den Klassen 5 und 6 wird die Bruchrechnung behandelt, in Klasse 7 die negativen Zahlen, erst in Klasse 9 die reellen Zahlen Allerdings wird gegenwärtig durchaus diskutiert, ob nicht die negativen Zahlen vor den Brüchen behandelt werden sollten (also der linke Weg) Es gibt verschiedene Möglichkeiten, von Q zu R zu gelangen a v R +

7 9-7 Funktionen (Intervallschachtelung, Cauchy-Folgen, Dedekind sche Schnitte); immer gibt es dabei aber gewisse Schwierigkeiten, die die Multiplikation mit negativen Zahlen betreffen Derartige Schwierigkeiten werden beim rechten Weg vermieden, insofern erscheint er am einfachsten zu sein Malle hat im Heft 140 der Zeitschrift ml darauf hingewiesen, dass dieser Weg auch der historischen Entwicklung entspreche Dabei kann man festhalten: Die Griechen arbeiteten mit Brüchen (Pythagoras), aber auch mit irrationalen Zahlen Schon für Petrus Ramus ( ) waren die positiven rationalen Zahlen nicht nur ein Hilfsmittel, sondern echte Zahlen Simon Stevin ( ) arbeitete heraus, dass Zahlen Quantitäten sein sollten, dass Längen von Strecken wirklich Zahlen sind Erst im 19Jahrhundert wurden auch die negativen Zahlen als echte Zahlen angesehen, siehe zum Beispiel Martin Ohm ( ) Schaut man sich die Entwicklung des Zahlbegriffs an, so lässt sich schon aus den verwendeten Begriffen ablesen, dass hier mit großen Schwierigkeiten gekämpft wurde, spricht man doch von negativen Zahlen, von irrationalen Zahlen, von imaginären Zahlen Die in den folgenden Abschnitten vorgestellten Konstruktionen von Zahlsystemen arbeiten jeweils mit Äquivalenzrelationen Äquivalenz-Relationen Es sei daran erinnert dass man jede Teilmenge U A B eine Relation zwischen A und B nennt, dabei sind A und B Mengen Eine Äquivalenz-Relation auf einer Menge M ist eine Untermenge U M = M M mit folgenden drei Eigenschaften: (i) (Reflexivität) Für jedes m M ist (m, m) U (ii) (Symmetrie) Ist (m, m ) U, so ist auch (m, m) U (iii) (Transitivität) Sind (m, m ), (m, m ) U, so ist auch (m, m ) U Ist U M eine Äquivalenzrelation so schreibt man meist m m falls (m, m ) U und nennt die Elemente m, m äquivalent; jedem Element m M kann man seine Äquivalenzklasse [m] zuordnen, dies ist die Menge der zu m äquivalenten Elemente von M, also [m] = {m M m m} Wegen der Bedingung (i) ist m [m] Wegen der Bedingungen (ii) und (iii) gilt: Sind m 1, m M und ist [m 1 ] [m ], so ist [m 1 ] = [m ] Insgesamt gilt also: Jedes Element von M gehört zu genau einer Äquivalenz-Klasse Mit M/ bezeichnet man die Menge der Äquivalenzklassen Bei den folgenden Konstruktionen von Zahlsystemen werden wir jeweils mit einem schon konstruierten Zahlsystem beginnen, dann auf einer geeigneten Menge M eine Äquivalenzrelation definieren und M/ wird das neue Zahlsystem sein Wir werden jeweils zeigen, wie auf der Menge M/ Addition, Multiplikation und Anordnung

8 Leitfaden 9-8 definiert sind, verzichten aber darauf, nachzuweisen, dass die üblichen Rechenregeln (wie Kommutativität, Assoziativität, usw) erfüllt sind 93 Das Hinzufügen negativer Zahlen Ausgangspunkt sei die Menge N der natürlichen Zahlen Wie wird Z konstruiert? Warum werden negative Zahlen gebraucht? Rechnungen der Form 4 oder 3 5 sind in N nicht durchführbar, sollten aber, wenn sie durchführbar wären, zum gleichen Ergebnis führen Wir betrachten daher derartige Paare ( 4), (3 5), nennen sie äquivalent (hier also alle Paare (a b) mit a+4 = b+) und nehmen als Zahl diese Äquivalenzklasse In dieser Interpretation ist also eine ganze Zahl z nichts anderes als die Menge der Paare (a b) N mit a b = z (diese Paare liegen alle auf der Geraden mit Steigung 1, die durch den Punkt (a b) geht) Wir gehen also aus von der Grundmenge M = N, und betrachten auf M die Äquivalenz-Relation, die folgendermaßen definiert ist: (a, b) (c, d) genau dann, wenn a + d = b + c Nach Definition ist Z = N / Man kann die Paare (a b) auch inhaltlich interpretieren, zum Beispiel in einem Geldmodell: jemand hat gleichzeitig ein Guthaben in Höhe a und Schulden in Höhe b Hier eine Veranschaulichung der Äquivalenzklassen: es handelt sich bei jeder Äquivalenzklasse um die Paare (a, b) N, die auf einer Geraden mit Steigung 1 liegen: Ist a > b, so gibt es b mit a = b + b In diesem Fall können wir die Äquivalenzklasse des Paares (a, b) mit der natürlichen Zahl b identifizieren (in diesem Fall ist die Subtraktionsaufgabe a b schon in N lösbar, die Lösung ist b ) Ist dagegen a < b, also b = a + a mit a N, so bezeichnen wir die Äquivalenzklasse des Paares (a, b) mit a Im Fall a = b wird die Äquivalenzklasse des Paares (a, a) mit Null bezeichnet, geschrieben: 0 Wir sehen also, dass wir eine Äquivalenzklasse erhalten, die mit Null bezeichnet wird: sie besteht aus den Paaren (a, a) mit a N Ansonsten gibt es zu jeder natürlichen Zahl n eine ganze Zahl, die mit n bezeichnet wird und für die n + ( n) = 0 gilt Wir erhalten auf diese Weise die Menge Z der ganzen Zahlen

9 9-9 Funktionen Auf dieser Menge definieren wir eine Addition auf folgende Weise: Die Summe der Äquivalenzklassen von (a, b) und (c, d) sei die Äquivalenzklasse von (a + c, b + d) (Inhaltliche Interpretation: das Addieren von Guthaben a, Schulden b und Guthaben c, Schulden d liefert ein Guthaben a + c und Schulden b + d) Die Multiplikation ist auf folgende Weise definiert: Das Produkt der Äquivalenzklassen von (a, b) und (c, d) sei die Äquivalenzklasse von (ac + bd, ad + bc) Schließlich definieren wir die Anordnung durch (a, b) (c, d), falls a+d b+c Durch (a, b) = max(a b, b a) erhalten wir eine Abbildung Z N {0}, man nennt dies die Betragsfunktion Wir sind bisher von der Menge N der natürlichen Zahlen ausgegangen und haben die ganzen Zahlen Z konstruiert Beginnen wir mit den positiven rationalen Zahlen Q +, so erhalten wir auf die gleiche Weise die rationalen Zahlen Q Beginnen wir mit den positiven reellen Zahlen R +, so erhalten wir auf die gleiche Weise die reellen Zahlen R Hervorzuheben ist jeweils die Betragsfunktion, dies ist eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften R R + {0} a = 0 nur für a = 0, ab = a b a + b a + b (Dreiecks-Ungleichung) Bezeichnet man die Menge der negativen ganzen, rationalen, oder reellen Zahlen mit Z, Q, beziehungsweise R, so erhält man folgende Zerlegungen Z = Z {0} N, Q = Q {0} Q +, R = R {0} R +, und die Betragsfunktion liefert Bijektionen Z N, Q Q +, R R + 94 Die Konstruktion von Brüchen Ausgangspunkt sei wieder die Menge N der natürlichen Zahlen Wie wird Q + konstruiert?

10 Leitfaden 9-10 Warum werden Brüche gebraucht? Rechnungen der Form /4 oder 3/6 sind in N nicht durchführbar, sollten aber, wenn sie durchführbar wären, zum gleichen Ergebnis führen Wir betrachten daher derartige Paare ( 4), (3 6), nennen sie äquivalent (hier also alle Paare (a b) mit a = b) und nehmen als Zahl 1 diese Äquivalenzklasse In dieser Interpretation ist also der Bruch a b nichts anderes als die Menge der Paare (c d) N mit ad = cb; diese Paare liegen alle auf der Ursprungsgeraden die durch den Punkt (a b) geht Wir gehen hier also wieder von der Grundmenge M = N aus, betrachten diesmal aber auf M die Äquivalenz-Relation, die folgendermaßen definiert ist: (a, b) (c, d) genau dann, wenn ad = bc Nach Definition ist nun Q + = N / Die Äquivalenzklasse des Paares (a, b) wird üblicherweise mit a b bezeichnet Hier eine Veranschaulichung der Äquivalenzklassen: es handelt sich bei jeder Äquivalenzklasse um die Paare (a, b) N, die auf einer festen Ursprungsgeraden liegen: Wir erhalten auf diese Weise die Menge Q + der positiven rationalen Zahlen Auf dieser Menge definieren wir eine Addition auf folgende Weise: Die Summe der Äquivalenzklassen von (a, b) und (c, d) sei die Äquivalenzklasse von (ad + bc, bd) Die Multiplikation ist auf folgende Weise definiert: Das Produkt der Äquivalenzklassen von (a, b) und (c, d) sei die Äquivalenzklasse von (ac, bd) Schließlich definieren wir die Anordnung durch (a, b) (c, d), falls ad bc Archimedische Eigenschaft Sind x, y Q +, so gibt es eine natürliche Zahl n mit nx > y Beweis: Sei x = a b und y = c d Sei n = bc + 1 Dann ist nx = (bc + 1) a b = ca + a b c + a b > c c d = y Die in den Abschnitten 93 und 94 geschilderten Konstruktionen gehören eigentlich in eine Vorlesung zum Thema Zahlbereiche

11 9-11 Funktionen 95 Quadratwurzeln Satz ist nicht rational Beweis: Angenommen, ist rational Schreibe = a mit natürlichen Zahlen b a, b Wir können annehmen, dass a und b keinen gemeinsamen Primfaktor haben Aus b = a folgt, dass durch Quadrieren b = a Demnach ist a gerade Dann muss aber auch a gerade sein Demnach ist a durch 4 teilbar Wegen a = b sehen wir, dass b durch 4 teilbar ist, also ist b durch teilbar, und demnach auch b durch teilbar Wir haben hier die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl verwendet, dies ist ein keineswegs offensichtlicher Sachverhalt! Man kann die Behauptung auch ohne Verwendung von Primfaktorzerlegungen beweisen: Angenommen, = a mit natürlichen Zahlen a, b Es ist b also b = a N Wir sehen also: es gibt eine natürliche Zahl b mit b N, und wir können annehmen, dass b minimal mit dieser Eigenschaft gewählt wurde Es ist 1 < <, also 0 < 1 < 1 Sei r = b( 1) = b b Dies ist wieder eine natürliche Zahl und es gilt Andererseits ist aber 0 < r = b( 1) < b r = (b b) = b( ) b = b b eine natürliche Zahl Natürlich ist eine wohlbestimmte reelle Zahl: man kann sie mühelos auf der Zahlengerade konstruieren: Man beginnt mit einem Quadrat, dessen eine Seite das Intervall [0 1] ist, und schlägt einen Kreis um den Ursprung, der durch die gegenüberliegende Ecke geht

12 Leitfaden 9-1 Das Heron-Verfahren Frage: Wie kann man berechnen? Gesucht sei die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl r Sei x 0 > 0 ein Startwert Ist schon x n definiert, setze x n+1 = 1 ( xn + r x n ) Behauptung: Wir erhalten eine Intervallschachtelung durch die Intervalle mit den Endpunkten x n und y n = r/x n Hilfssatz (Vergleich des geometrischen und des arithmetischen Mittels) Sind a, b positive reelle Zahlen, so gilt ab 1(a + b) (Zusatz: Das Gleichheitszeichen gilt nur für a = b) Beweis: Betrachte das rechtwinklige Dreieck mit Hypotenusenabschnitten a, b Ist h die Höhe, so besagt der Höhensatz von Euklid, dass h = ab gilt, also h = ab Der Radius des Thales-Kreises ist 1 (a + b) und natürlich ist h 1 (a + b) a h b Beweis, dass das Heron-Verfahren eine Intervall-Schachtelung liefert Sei 0 < y < x Sei r = xy (es ist dann also y = r ) Als erstes sehen wir: x y < r < x (Beweis: Multiplikation von 0 < y < x erst mit y, dann mit x, liefert y < xy < x Da auch das Wurzelziehen monoton ist, folgt die Behauptung) Die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittelwert liefert für das arithmetische Mittel x = 1 (x + y): y < r < x < x Setze y = r x Es gilt y < y < r (Beweis: Aus x < x folgt x y < xy = r, also y < r x = y, dies ist die erste Ungleichung r Es ist r = r < x, also y = r x < r, dies ist die zweite Ungleichung)

13 9-13 Funktionen Insgesamt ergibt sich also das folgende Bild: y y r Da x das arithmetische Mittel von x und y ist, ist x x x y < x y = 1 (x y), das neue Intervall ist also weniger als halb so lang wie das Ausgangsintervall Beispiel: Wir approximieren, Ausgangswert sei x 0 = n y n x n , , 5 1, , , , , , dabei wird jeweils erst x n+1, danach y n+1 berechnet, und zwar vermöge der Formeln y n+1 = r x n+1, x n+1 = 1 (x n + y n ) Geometrische Interpretation: Gesucht ist ein Quadrat mit dem Flächeninhalt r, also mit der Seitenlänge r Konstruiert wird zu vorgegebener Seitenlänge x n ein Rechteck mit Flächeninhalt r: die zweite Seitenlänge muss natürlich y n = r/x n sein Als Verbesserung wählen wir im nächsten Schritt statt x n das arithmetische Mittel x n+1 von x n und y n, usw Hier die ersten drei Rechtecke für r = 1 und x 0 = 6: Man beginnt mit dem Rechteck mit Seitenlängen 6 und betrachtet im nächsten Schritt das Rechteck mit Seitenlängen 4 und 3 (gestrichelt), dann im dritten Schritt das Rechteck mit Seitenlängen 3,5 und 3,43 (gepunktet), usw

14 Leitfaden 9-14 Bermerkung: Mittelwerte Seien 0 < y x reelle Zahlen Setze h(x, y) = xy x + y, g(x, y) = xy, a(x, y) = 1 (x + y) Man nennt h(x, y) das harmonische Mittel, g(x, y) das geometrische Mittel, a(x, y) das arithmetische Mittel Ist x = y, so ist y = h(x, y) = g(x, y) = a(x, y) = x Ist dagegen y < x, so ist y < h(x, y) < g(x, y) < a(x, y) < x Es gilt immer g(x, y) = xy = h(x, y) a(x, y), dies ist die Basis für das Heron-Verfahren Heron von Alexandria lebte wohl im 1Jahrhundert uz Das Heron-Verfahren wird auch babylonisches Wurzelziehen genannt, da schon die Babylonier es kannten 96 Ganz allgemein: Intervall-Schachtelungen Definition Unter einer Intervall-Schachtelung a n, b n versteht man Folgen a n, b n von reellen Zahlen mit den folgenden Eigenschaften: (i) Die Folge der a n ist monoton wachsend: es ist also a n a n+1 für alle n (i ) Die Folge der b n ist monoton fallend: es ist also b n+1 b n für alle n (ii) Es gilt a n b n für alle n (iii) Die Folge b n a n ist eine Nullfolge Zwei Intervall-Schachtelungen a n, b n und a n, b n heißen äquivalent, wenn a n b n und a n b n für alle n gilt Um nun R + zu definieren, betrachten wir als Grundmenge M die Menge der Intervall-Schachtelungen a n, b n, wobei a n und b n Folgen rationaler Zahlen sind, mit der gerade notierten Äquivalenz-Relation, Nach Definition ist R + = M/ Auf dieser Menge definieren wir eine Addition auf folgende Weise: Die Summe der Äquivalenzklassen von a n, b n und c n, d n sei die Äquivalenzklasse von a n + c n, b n + d n Das Produkt der Äquivalenzklassen von a n, b n und c n, d n sei die Äquivalenzklasse von a n c n, b n d n Damit ist die Multiplikation ist definiert

15 9-15 Funktionen Schließlich definieren wir die Anordnung durch a n, b n c n, d n, falls a n b n für alle n gilt Es gilt nun: Archimedische Eigenschaft Sind x, y R +, so gibt es eine natürliche Zahl n mit nx > y Beweis: Sei x die Äquivalenzklasse von a n, b n und y die von c n, d n Zu a 1 und d 1 gibt es eine natürliche Zahl t mit ta 1 > d 1, denn a 1, d 1 sind positive rationale Zahlen, und für positive rationale Zahlen gilt die archimedische Eigenschaft Man sieht unmittelbar, dass dann auch tx > y gilt Vollständigkeit Zu jeder Intervall-Schachtelung a n, b n mit a n, b n R + gibt es genau eine positive reelle Zahl x mit a n x b n für alle n Beweis [Fehlt] Wir haben hier skizziert, wie man R + mit Hilfe von Intervall- Schachtelungen aus Q + erhält Es gibt andere Möglichkeiten zur Konstruktion der reellen Zahlen: die Verwendung von Dedekind-Schnitten oder auch die von Cauchy-Folgen 97 Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen Bekanntlich kann jede natürliche Zahl n in der Form n = t i=0 l i 10 i geschrieben werden, mit eindeutig bestimmten Zahlen l i {0, 1,,, 9} und l t 0 In der Praxis schreibt man einfach diese Ziffernfolge in umgekehrter Reihenfolge hin: n = l t l t 1 l 1 l 0 Oder umgekehrt: ist zum Beispiel die Ziffernfolge gegeben, so interpretiert man sie als Man sagt, dass die Zahl in Dezimaldarstellung gegeben ist Warnung Wenn wir n = l t l t 1 l 1 l 0 schreiben, so darf man dies nicht mit dem üblichen Multiplizieren von Variablen verwechseln! Die Buchstabenkombination l 1 l 0 bedeutet 10 l 1 + l 0, also für l 1 = und l 0 = 3 ist mit l 1 l 0 die Zahl = 3 und nicht etwa das Produkt 3 = 6 gemeint Die mögliche Verwirrung wird noch dadurch gesteigert, dass

16 Leitfaden 9-16 zum Beispiel in Zahlenrätseln derartige Buchstaben-Kombinationen durchaus den Charakter von Variablen haben können Abbrechende Dezimalbrüche Betrachtet man nun auch Potenzen 10 i mit i negativ, so erhält man Summen ( ) r = t i=s l i 10 i mit s t in Z und Ziffern l i {0, 1,,, 9} s t Z, wobei wir wieder l t 0 verlangen Dies sind gerade die abbrechenden positiven Dezimalbrüche wie etwa 3, , 17, 5, 0, Man schreibt die Zahl ( ) üblicherweise in der Form r = l t l t 1 l 1 l 0, l 1 l l s und es gilt wieder die Warnung, dass es sich bei den l i um Ziffern handelt, die nebeneinander hingeschrieben sind Offensichtlich gilt: Eine Zahl r Q + lässt sich genau dann als abbrechende Dezimalbruch schreiben, wenn r von der Form r = p ist, wobei q eine Zehnerpotenz ist q Ganz allgemein: Positive Dezimalalbrüche Um alle positiven reellen Zahlen zu erhalten, betrachtet man ganz allgemein Ziffernfolgen der Form die nicht notwendigerweise abbrechen l t l t 1 l 1 l 0, l 1 l, Hierbei handelt es sich um eine Intervall-Schachtelung a n, b n, bei der nur abbrechende Dezimalbrüche verwendet werden Zum Beispiel liefert die Dezimaldarstellung der Kreiszahl π = 3, die folgende Intervall-Schachtelung n a n b n 3 4 3, 1 3, 3, 14 3, 15 3, 141 3, 14 3, , , , , , , , b n a n 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, , , ,

17 9-17 Funktionen Setze Es gilt: Satz Die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl ist eine Intervallschachtelung Beweis: Es genügt, den Fall einer reellen Zahl r mit 0 r < 1 zu betrachten Sei r = 0, l 1 l l i a n = 0, l 1 l l n und a b = 0, l 1 l l n + 10 n Offensichtlich ist a n eine monoton wachsende Folge Es ist nicht schwer zu zeigen, dass b n eine monoton fallende Folge ist Natürlich ist a n b n, nach Konstruktion weiß man sogar, dass gilt: b n a n = 10 n, daher ist b n a n eine Nullfolge Satz Man erhält auf diese Weise alle positiven reellen Zahlen Beweis: [fehlt] Periodische Dezimalbrüche Man nennt einen Dezimalbruch l t l t 1 l 1 l 0, l 1 l, periodisch wenn es natürliche Zahlen p, n gibt mit l i p = l i für alle i n, und man schreibt dann l t l t 1 l 1 l 0, l 1 l l n+1 l n l n p+1, also zum Beispiel 0, 31 statt 0, Satz Sei r R + Genau dann ist r gemischt-periodisch, wenn r rational ist Beweis: [fehlt] Wichtig Es ist 0, 9 = 1 Allgemeiner kann man statt der Zahl 10, die als Basis für die Dezimaldarstellung genommen wird, jede natürliche Zahl a > 1 als Basis nehmen Man schreibt dann die natürliche Zahl n in der Form n = t i=0 l i a i mit eindeutig bestimmten Zahlen l i {0, 1,,, a 1}, für diese Ziffern braucht man dann jeweils Symbole Beispiele, die Verwendung finden: a = Man nennt dies das Dualsystem, hier verwendet man als Ziffern die Symbole 0 und 1 Alle Computer-Rechnungen verwenden dieses Zahlsystem

18 Leitfaden 9-18 a = 16 Das Hexadezimalsystem, es wird in der Informatik verwendet; als Ziffernmenge nimmt man {0, 1,,, 0, A, B, C, D, E, F } a = 0 Die Inkas verwendet dieses System: sie zählten offensichtlich mit Fingern und Zehen a = 60 Das Sexagesimalsystem, es wurde von den Babyloniern verwendet 98 Endlichkeit, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit Wir kehren zurück zu den natürlichen Zahlen N Man verwendet sie zum Zählen: zum Abzählen, um also festzustellen, wieviele Elemente eine vorgegebene Menge hat Sei M eine Menge Gibt es eine natürliche Zahl n und eine Bijektion {1,,, n} M, so sagt man, dass M genau n Elemente hat (oder auch, dass die Kardinalität von M gleich n ist) Gibt es eine derartige Zahl n, so sagt man, dass M nur endlich viele Elemente hat Ist M nicht leer und gibt es keine Bijektion {1,,, n} M mit n N, so nennt man M eine unendliche Menge Ist M eine unendliche Menge, so gibt es eine injektive Abbildung f : N M (und natürlich nur dann) Man nennt eine unendliche Menge M abzählbar, wenn es eine Bijektion N M gibt Beispiel 1 Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar Beweis: Wir wollen die ganzen Zahlen auf folgende Weise anordnen: 0, 1, 1,,, 3, 3, 4, 4, Wir beginnen also mit der Null, dann nehmen wir die 1 und die -1, danach die und die -, usw Man sieht sofort, dass man auf diese Weise alle ganzen Zahlen erhält, und keine Zahl taucht dabei doppelt auf Dies ist also offensichtlich eine Abzählung der ganzen Zahlen (Wir konstruieren hier also eine Bijektion f : N Z wie folgt: f(1) = 0, f() = 1, f(3) = 1, f(4) =, f(5) =, usw Will man dies durch eine Formal ausdrücken, so kann man dies hier unproblematisch: es ist f(n) = n und f(n 1) = n) Beispiel Die Menge N der Paare natürlicher Zahlen ist abzählbar Beweis: Wir nehmen folgende Anordnung; (1, 1), (1, ), (, 1), (1, 3), (, ), (3, 1), (1, 4), (, 3),

19 9-19 Funktionen Das Abzählen erfolgt also nach folgender Vorschrift (durch Pfeile wird jeweils der Nachfolger beschrieben): Wir fassen jeweils die Paare (a, b) mit a + b = n zusammen; zuerst nehmen wir (1, 1), dies ist das einzige Paare (a, b) mit a + b = 1 Dann kommen die beiden Paare (a, b) mit a + b =, danach die Paare (a, b) mit a + b = 3, usw Satz Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar Hier kombinieren wir nun, was man in den Beispielen 1 und lernen kann: statt mit Brüchen p q arbeiten wir mit den Paaren (p, q) also Elementen in N Außerdem müssen wir beachten, dass Brüche gekürzt werden können 0, 1, 1, 1,, 1,, 1 3, 3, 3, 3, 1 3, 3, 3, 3, dabei stehen in der Zeile, die mit 1 n beginnt, alle nicht-kürzbaren Brüche ±p, fïr die q eine der Zahlen p, q gleich n ist Satz Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar Beweis (Cantor sches Diagonal-Verfahren) Es handelt sich um einen Widerspruchsbeweis Wir nehmen also an, R sei abzählbar Sei etwa ( ) r 1, r, eine Abzählung der reellen Zahlen Sei jeweils [r i ] die größte ganze Zahl z mit z r i Sei r i [r i ] = 0, r i1 r i r i3 die Dezimaldarstellungen von r i [r i ], hier ist also jedes r ij eine der Ziffern 0, 1,,, 9 Wir konstruieren eine reelle Zahl s folgendermaßen: die Dezimaldarstellung von s sei s = 0, s 1 s s 3

20 Leitfaden 9-0 dabei sei s i = 0 falls r ii = 1, und es sei s i = 1 falls r ii 1 Da s eine reelle Zahl ist, und alle reellen Zahlen in der Abzählung ( ) vorkommen, muss es einen Index j mit s = r j geben Es ist 0 s < 1, also ist auch 0 r j < 1 Demnach ist [r j ] = 0 und daher ist 0, s 1 s s 3 = s = r j [r j ] = 0, r j1 r j r j3 Wir schauen uns die Ziffer an der j-ten Stelle hinter dem Komma an: Es muss gelten s j = r jj Dies widerspricht aber der Definition von s j, denn ist r jj = 1, so ist s j = 0, ist dagegen r jj 1, so ist s j = 1 Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine Abzählung geben kann