2. Grundlagen. A) Mengen

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1 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 5 A) Mengen 2. Grundlagen Eine Menge ist durch Angabe ihrer Elemente bestimmt. Man kann eine Menge aufzählend oder beschreibend definieren. Im ersten Falle werden die Elemente einer Menge explizit angegeben: M 1 sei die Menge der Zahlen 6,8,9,14. Dafür schreibt man M 1 = {6,8,9,14} Im zweiten Falle wird eine Eigenschaft angegeben, die von allen Elementen erfüllt wird. M 2 sei die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen. M 2 = {u u ist eine ungerade natürliche Zahl} Anschaulich schreibt man dafür auch M 2 = {1,3,5,7,9,...}. Bei einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an, und die Elemente sind paarweise verschieden. Wenn x zu einer Menge M gehört, so schreibt man x M und lies dies als x ist ein Element der Menge M. Gehört x nicht zu der Menge M, so schreibt man x M. Beispiele: 9 M 1, 15 M 1, 23 M 2, 34 M 2 Zwei Mengen M und N heißen gleich (in Zeichen M = N), wenn sie dieselben Elemente enthalten, d.h. wenn jedes Element von M auch Element von N ist und wenn jedes Element von N auch Element von M ist. Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N (in Zeichen M N), wenn jedes Element von M auch Element von N ist. Hierbei ist auch die Gleichheit zugelassen. Gilt dagegen M N und M N, so heißt M echte Teilmenge von N (in Zeichen M N). Eine Menge M ist nicht Teilmenge einer Menge N (in Zeichen M N), wenn es (mindestens) ein Element von M gibt, das nicht Element von N ist. Es gilt M = N (M N und N M). Eine Menge kann endlich oder unendlich sein. Eine endliche Menge M hat eine bestimmte Anzahl von Elementen. Diese wird mit M bezeichnet. So ist die obige Menge M 1 endlich, und es gilt M 1 = 4. Dagegen ist die Menge M 2 unendlich. Ebenso sind die Mengen Æ und unendlich. Die leere Menge enthält kein Element. Sie ist endlich, und es gilt = 0.

2 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 2 Grundlagen 6 Aus zwei Mengen M und N lassen sich folgendermaßen neue Mengen bilden: Vereinigungsmenge: M N = {x x M oder x N } Durchschnittsmenge: M N = {x x M und x N } Differenzmenge: M \ N = {x x M und x N } B) Einige Sprech und Bezeichnungsweisen der Aussagenlogik A und B seien zwei (mathematische) Aussagen. Sätze der Mathematik sind meistens von der Form Aus der Richtigkeit der Aussage A folgt die Richtigkeit der Aussage B, d.h. A ist die Voraussetzung des Satzes und B die Behauptung. Solch eine Folgerung stellt man symbolisch durch A = B dar und nennt diese Aussage eine Implikation. Lesarten für A = B sind Aus A folgt B Wenn A, dann B oder oder A ist hinreichend für B oder B ist notwendig für A InmanchenFällengiltbeieinerImplikation A = B auchdieumkehrung B = A. Man spricht dann von einer Äquivalenz der beiden Aussagen A und B und schreibt dafür A B Lesarten hierfür sind: A ist äquivalent zu B oder A gilt genau dann, wenn B gilt oder A ist notwendig und hinreichend für B Achtung: Für den Beweis einer Äquivalenz A B muss man in der Regel zwei Beweise führen, nämlich einmal den Beweis für A = B und zum anderen den für B = A!!

3 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 2 Grundlagen 7 C) Indirekter Beweis (2.1) Indirekter Beweis In manchen Fällen kann mit einem indirekten Beweis (oder auch Beweis durch Widerspruch) begründet werden, dass die Implikation A = B richtig ist, d.h. dass die Behauptung B aus der Voraussetzung A folgt. Dazu machen wir die Annahme, dass die Behauptung B nicht gilt, und leiten aus dieser Annahme unter Verwendung der Voraussetzung A einen Widerspruch her. Dies bedeutet dann, dass die Annahme falsch gewesen sein muss, die Behauptung also richtig ist. Beispiel: Beweis von (1.6) Voraussetzung: a b = 0 Behauptung: a = 0 oder b = 0 ( oder ist hier nicht ausschließend gemeint. Wir können die Behauptung so umformulieren: mindestens eine der beiden Zahlen a, b ist Null) Annahme: Die Behauptung gilt nicht. Dann ist keine der Zahlen a,b Null, d.h. a 0 und b 0. Nach Voraussetzung ist a b = 0 und nach (1.4) gilt a 0 = 0. Gleichgesetzt ergibt das a b = a 0. Da a 0 ist (nach Annahme), folgt hieraus mit der Kürzungsregel (1.5), dass b = 0 gelten muss im Widerspruch zur Annahme b 0. Damit erweist sich die Annahme als falsch, und die Behauptung ist richtig.

4 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 2 Grundlagen 8 D) Induktionsbeweis (2.2) Beweis durch vollständige Induktion n 0 Æ 0 sei eine feste Zahl, und es sei A(n) eine Aussage in Abhängigkeit von n Æ 0. Dannist die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n n 0 richtig, wenn man folgendes beweisen kann: und i) A(n 0 ) ist richtig ii) aus der Richtigkeit von A(n) für eine beliebige, aber feste natürliche Zahl n n 0 folgt die Richtigkeit von A(n+1). Bezeichnungen: Ein Induktionsbeweis besteht immer aus zwei Beweis Teilen: 1) dem Induktionsanfang (IA): Hier wird bewiesen, dass die Behauptung für n = n 0 richtig ist. 2) dem Induktionsschluss (IS) oder dem Schluss von n auf n + 1 : Hier wird unter der Induktionsvoraussetzung (IV), dass die Behauptung für eine beliebige (aber feste) natürliche Zahl n n 0 richtig ist, die Induktionsbehauptung (IB) bewiesen, dass dann die Behauptung auch für n + 1 richtig ist. (2.3) BEISPIEL: Sei x Ê. Dann gilt für alle n Æ: (1 + x + x 2 +x x n ) (x 1) = x n+1 1 (IA) Der Induktionsanfang ist für n = 1 vorzunehmen: Es gilt (1+x 1 ) (x 1) = x 2 1 (binomische Formel), so dass die Formel für n = 1 richtig ist. (IV) Für eine beliebige, aber feste natürliche Zahl n gilt (1 +x+x 2 + x x n ) (x 1) = x n+1 1 (IB) Es gilt (1 + x +x 2 + x x n +x n+1 ) (x 1) = x n+2 1 (IS) (1 +x+x 2 + x x n + x n+1 ) (x 1) AG = ((1 + x +x 2 + x x n ) + x n+1 ) (x 1) (AG: Assoziativ G.) DG = (1 + x +x 2 + x x n ) (x 1)+x n+1 (x 1) (DG: Distributiv G.) (IV ) = (x n+1 1) + (x n+2 x n+1 ) = x n+2 1 Damit ist bewiesen, dass die obige Formel für alle n Æ richtig ist.

5 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 2 Grundlagen 9 E) Die Peano Axiome Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion ist das sog. Induktionsprinzip aus den Peano Axiomen für die natürlichen Zahlen (Giuseppe Peano, ): (2.4) Die PEANO Axiome für die natürlichen Zahlen (1889): P 1 ) 0 ist eine natürliche Zahl P 2 ) Jede natürliche Zahl n besitzt eine natürliche Zahl n als Nachfolger P 3 ) 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl P 4 ) Haben zwei natürliche Zahlen denselben Nachfolger, so sind sie gleich P 5 ) Induktionsprinzip Eine Menge T natürlicher Zahlen, die 0 enthält und mit jeder Zahl auch deren Nachfolger, enthält alle natürlichen Zahlen. Unter den Voraussetzungen i) und ii) aus (2.2) läßt sich zeigen, dass die Menge T := {n n Æ 0,n n 0,A(n) ist richtig} Æ 0 auf Grund von P 5 ) gleich der Menge aller natürlichen Zahlen n 0 ist, d.h. A(n) ist dann für alle n Æ 0,n n 0 richtig.