Induktionsbeweise. Induktionsbeweis: Beweisprinzip. Induktionsbeweis: Bestandeile

Transkript

1 Induktionsbeweise in den formalen Sprachen Induktionsbeweise Induktionsbeweise beruhen auf dem Induktionsprinzip (5. Peano-Axiom) Wir wenden Induktionsbeweise typischerweise für rekursiv/induktiv definierte Aussagen über natürliche Zahlen an. Thomas Hanneforth Induktionsbeweis: Bestandeile Sei P eine Aussage über natürliche Zahlen (also ein Prädikat). Wir unterscheiden zwei Fälle: Die Induktionsbasis P(b). P(b) ist damit wahr für alle kleine natürliche Zahl b, meist 0 oder 1. Der P(n) P(n+1): wenn die Aussage für die Zahl n wahr ist, dann ist sie auch für den Nachfolger n+1 wahr. Induktionsbeweis: Beweisprinzip Um einen Induktionsbeweis zu führen, beweist man die Induktionsbasis und den. Die Induktionsbasis wird meist durch Ausrechnen des Basisfalls bewiesen. Der ist komplexer: wir müssen ihn für beliebige Zahlen n zeigen, also unendlich viele. Hier kommt nun das Induktionsprinzip zum Einsatz: wir machen Gebrauch von der Induktionsvoraussetzung. 1

2 Induktionsvoraussetzung Die Induktionsvoraussetzung (IV) nimmt an, dass P(k) für eine bestimmte Konstante k gilt. k könnte z.b. 17 sein, und im Prinzip könnte man dann die Wahrheit von P(17) in endlich vielen Schritten zeigen, genauso, wie man auch die Basis P(0) gezeigt hat. Wir benutzen die IV nun, um von P(k) auf P(k+1) zu schließen. Da k beliebig gewählt wurde ergibt sich letztendlich die Wahrheit der Implikation P(n) P(n+1) Induktionsbeweise: Prinzip Wir wollen nun P(k) P(k+1) beweisen und nehmen dazu als IV an, dass P(k) gilt. Nach der Wahrheitstabelle der Implikation ist diese nur dann falsch, wenn der Vordersatz P(k) wahr und der Nachsatz P(k+1) falsch ist, andernfalls wahr. Wir beweisen also, dass, wenn P(k) wahr ist, auch P(k+1) wahr ist. Induktionsbeweise: Prinzip Wir wollen also nun die Wahrheit von P(k+1) zeigen. Wir dürfen dazu folgendes verwenden: alles was im zu beweisenden Satz vorausgesetzt wird Konstruktionen Definitionen relevanter Begriffe; diese werden meist aufgelöst, indem das Definiendum durch das Definiens ersetzt wird andere Sätze Rechen/Umformungsregeln und insbesondere die Induktionsvoraussetzung. Induktionsbeweise in den formalen Sprachen Bei den formalen Sprachen müssen wir die zu beweisende Aussage erst einmal so umformen, dass sie zu einer Aussage über natürliche Zahlen wird. Meist wählt man die Länge eines Worts, die Länge einer Ableitung, die Länge eines Pfades in einem Automaten, die Höhe eines Baumes etc. 2

3 Beispiel: Äquivalenz von Typ-3-Grammatiken und endlichen Automaten Der Beweis hat zwei Teile: für jeden endlichen Automaten A gibt es eine äquivalente Typ-3-Grammatik G Für jede Typ-3-Grammatik G gibt es eine äquivalenten endlichen Automaten A Äquivalenz von Typ-3-Grammatiken und endlichen Automaten Wir zeigen hier den 1. Teil. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass der gegebene Automat A deterministisch ist, seine -Funktion also so aussieht: d : Q Q. Satz: Für jeden (deterministischen) endlichen Automaten A = (Q,, d, q 0, F) gibt es eine Typ-3 Grammatik G = (N,,P,S), so dass gilt: L(G) = L(A). Der Satz sagt, dass es für jeden der unendlich vielen endlichen Automaten A eine Grammatik G gibt, die die Sprache generiert, der der Automat akzeptiert. Problem: Wie finden wir, gegeben A, diese Grammatik G? Antwort: durch Konstruktion von G aus A. Konstruktion: Gegeben sei A = (Q,, d, q 0, F). Wir konstruieren G = (Q,,P,qo) mit der Regelmenge P = { p a q d (p,a) = q } { p p F } 3

4 Konstruktionsbeispiel A sei dieser Automat Dann ist G = ({,,, },{a,b,c,d,e,f},p, ) mit P = { a, b, f, c, e, d,, } Konstruktion Wir überzeugen uns, dass bei der Konstruktion tatsächlich eine Typ-3-Grammatik herauskommt: Endlich viele Nichtterminale: es gibt ja auch nur endlich viele Zustände Endlich viele Regeln: so viele wie es Übergänge gibt + die Anzahl der Endzustände Regeln im richtigen Format: alle Regeln haben entweder die Form A a B oder A (mit A,B aus N und a aus ), dies ist eine Variante des Typ-3-Regelformats. Nun müssen wir die Korrektheit der Konstruktion beweisen, dass also die konstruierte Grammatik G tatsächlich eine ist, die die Sprache L generiert, die von A akzeptiert wird, m.a.w.: L(A) = L(G) Die Gleichheit ( Koextensionalität ) zweier Mengen X und Y beweist man durch ihr wechselseitiges Inklusionsverhältnis. Dies beruht auf der Antisymmetrie von : wenn X Y und Y X, dann X = Y. Wir beweisen hier nur L(A) L(G), die andere Richtung muss auch noch bewiesen werden. Was heißt L(A) L(G)? Es heißt: { w * * d(q 0,w) F } { w * q 0 + w } Wir haben hier also zunächst einmal die Definitionen von L(G) und L(A) eingesetzt. Betrachten wir ein Beispiel: das Wort aed ist in der Sprache des Beispielautomaten, da * d(,aed) = und F. Es gibt auch eine Ableitung für aed in der konstruierten Grammatik: a a e a e d a e d 4

5 Wir beweisen jetzt per Induktion folgende Aussage: wenn * d(q,x) = p gilt in A, dann q + x p in G, für jedes beliebige x * Hieraus ergibt sich die eigentlich zu beweisende, stärkere Aussage { w * * d(q 0,w) F } { w * q 0 + w } wenn wir für q den Startzustand/das Startsymbol und für p einen Endzustand annehmen. Die Induktion geht über die Länge von x, geschrieben x. Induktionsbasis Betrachten wir x = 0, also x =. Laut Definition von * d gilt * d(q, ) = q. Nehmen wir an, sei Element von L(A), also * d(q 0, ) = q 0. q 0 muss dann ein Endzustand sein. Da q 0 ein Endzustand ist, enthält die Grammatik G dann per Konstruktion die Regel q 0, so dass folgende Ableitung in G möglich wird: S (= q 0 ). Also ist auch in L(G). Für das leere Wort wäre die Aussage also gezeigt. Nehmen wir an, die Aussage wenn * d(q,x) = p in A, dann q + x p in G gelte für alle Wörter x * mit x k. Wir zeigen nun, dass die Aussage auch für Wörter der Länge k+1 gilt. Wir betrachten dazu ein beliebiges Wort x mit x = k und hängen ein Symbol a aus an. Dieses Wort hat offensichtlich die Länge k+1. Die modifizierte Aussage lautet nun: wenn * d(q,xa) = p in A, dann q + xa p in G Laut Definition von * d, * d(q,xa) = d ( * d(q,x),a). Wenn p = * d(q,xa) definiert ist, dann gibt es in A einen Weg ( Pfad ) von Zustand q nach Zustand p, so dass die Symbole entlang des Pfades verkettet genau xa ergeben. Wir erreichen mit * d(q,x) einen Zustand nennen wir ihn r so dass d (r,a) = p ist. Somit muss A den Übergang von r mit a nach p enthalten. 5

6 Wir müssen zeigen, dass q + x a p in G gilt. Da * d(q,x) = r ist und x = k können wir die Induktionsvoraussetzung verwenden: In G existiert für x eine Teilableitung q + x r. Da nun in A d (r,a) = p gilt, muss es laut der Konstruktion in G eine Regel r a p geben. Diese Regel kann man nun anwenden, um die obige Ableitung zu verlängern : q + x r x a p Wegen Transitivität von + gilt: q + x a p Setzen wir nun q = q 0 und p F, dann ergibt sich in G für alle w * : q 0 + w p w da G qua Konstruktion die Regel p enthält. 6