THIA - Übungsblatt 2.

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1 THIA - Übungsblatt 2. Aufgabe 12 (Eine einfache Sprache). Endliche Ziffernfolgen, die mit einer 0 beginnen, auf die mindestens eine weitere Ziffer folgt, wobei nur die Ziffern 0,..., 7 vorkommen, sollen Oktale Konstanten heißen. Geben Sie eine Grammatik an für die Sprache L = {x x ist eine oktale Konstante} Verwenden sie hierbei nur Produktionsregeln der Form A ab oder A a mit A, B V N, α V T. Aufgabe 13. Gegeben sei die Grammatik G = ({S, A, B}, {0}, P, S) mit P: S ɛ S ABA AB 00 0A 000A A 0 1. Von welchem Typ ist diese Grammatik? 2. Geben Sie eine Ableitung für das Wort in G an. 3. Beschreiben Sie die Sprache L(G), die von G erzeugt wird. 4. Geben Sie eine zu G äquivalente reguläre Grammatik G an. Aufgabe 14. Gegeben sie die Grammatik G = ({S, N, E}, {0, 1, t}, P, S) mit P: S 0NS S 1ES S t Nt t0 Et t1 N0 0N N1 1N E0 0E E1 1E 1. Beschreiben Sie die Sprache L = L(G) mengenalgebraisch. 2. Geben sie einen möglichst speziellen Typ für L an. Hinweis: Bei Aufgaben, in denen sie Automaten angeben sollen, reicht es jeweils, eine Zeichnung der Automaten anzufertigen. Aufgabe 15. Gegeben ist der folgende endliche Automat M mit Z = {s 0, s 1, s 2, s 3 }, V = {a, b}, F = {s 3 }, q M = s 0 und δ definiert als: (s 0, a, s 0 ), (s 1, a, s 1 ), (s 2, a, s 2 ), (s 3, a, s 3 ), (s 0, b, s 1 ), (s 1, b, s 2 ), (s 2, b, s 3 ), (s 3, b, s 0 ) 1. Zeichnen Sie M. 2. Welche Sprache erkennt M? Geben Sie hier bitte KEINEN regulären Ausdruck an, sondern denken Sie ein bißchen über die Auftretensanzahl der Zeichen nach. Kennen Sie noch den Modulo-Operator? 1

2 Aufgabe 16. Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten, der die Sprache L = {b m ab n m, n 1} erkennt. Aufgabe 17. Es ist V = {a, b}. Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten, der die Komplementärsprache L zur oben definierten Sprache L erkennt (zur Erläuterung: L = V L). Aufgabe 18. Geben Sie eine möglichst spezielle Grammatik an (also mit möglichst großer Typnummer), die die Sprache L = {a r b s c t ; r, s, t > 0} erzeugt. Aufgabe 19. Untersuchen Sie, ob L = { a m b n a k m n k 1} eine reguläre Sprache ist. Wenn JA, dann 1. Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten M an, der genau die Sprache L erkennt. 2. Geben Sie eine reguläre Grammatik an, die genau die Sprache L erzeugt. Wenn NEIN, dann beweisen sie dies analog zum Beweis aus der Vorlesung. Aufgabe 20. Gegeben ist V = {a, b}. 1. Konstruieren Sie zunächst einen nicht-deterministischen Automaten M, der ein Vorkommen des Wortes abab in einer Eingabe über V findet. Zeichnen Sie den Automaten. 2. Konstruieren Sie dann mit dem Potenzmengen-Verfahren aus der Vorlesung einen äquivalenten deterministischen Automaten M d. Zeichnen sie diesen. 3. Entfernen Sie dann alle überflüssigen Zustände, also all die Zustände, die vom Startzustand aus nicht erreicht werden können (falls ihr Automat solche Zustände aufweist) und zeichnen Sie den resultierenden Automaten M. 4. Geben Sie eine reguläre Grammatik G an mit L(G) = T (M ). Aufgabe 21. Gegeben ist V = {a, b, c}. In einem Text über diesem Alphabet sollen die Vorkommen des Wortes babacab ermittelt werden. 1. Konstruieren Sie einen nicht-deterministischen endlichen Automaten, der alle Vorkommen des Wortes im Text erkennt, d.h., der Automat soll sich immer dann in einem Endzustand befinden, wenn er gerade das gesuchte (Teil-)Wort gelesen hat und bis zum Ende der Eingabe durchlaufen. 2. Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten, der alle Vorkommen des Wortes im Text erkennt (Erläuterung siehe nicht-deterministischer Automat). Aufgabe 22. Geben Sie eine möglichst spezielle Grammatik an, die über V = {a, b} die Sprache L = {w V w enthält doppelt so viele a s wie b s} erkennt. Ist die Sprache regulär? Aufgabe 23. Beweisen Sie, dass die über V = {0, 1} definierte Sprache L = {ww w V } keine reguläre Sprache ist. Folgen Sie dabei dem Beweis für die Nicht-Regularität von L = {a n b n n 1} aus der Vorlesung. Aufgabe 24. Konstruieren Sie endliche Automaten zu den folgenden regulären Ausdrücken: 1. (aa b) c(d ɛ)c 2

3 2. a(aa b) c (d ɛ) 3. (aa b ) Aufgabe 25. Gegeben Sei die Grammatik G = ({S, X}, {[, ]}, P, S) mit P = {S SX, S [S], S [ ], X SX, X [X, X ]}. Zeigen Sie, dass diese Grammatik mehrdeutig ist. Aufgabe 26. Gegeben Sei das Alphabet {a, b}. Wörter, die von vorne und von hinten gelesen gleich sind, heißen Palindrome. Die Wörter aababaa, aaaaa und ɛ sind z.b. Palindrome. 1. Geben Sie ein kontextfreie Grammatik an für die Sprache, die aus allen Palindromen über V besteht. 2. Geben sie einen nichtdeterministischen Kellerautomaten an, der diese Sprache erkennt. 3. Begründen Sie knapp, warum diese Sprache nicht durch einen deterministischen Kellerautomaten erkannt werden kann. Aufgabe 27. Gegeben sei die folgende Grammatik G für Boole sche Ausdrücke: BExpr BExpr or BTerm BTerm BTerm BTerm and BFactor BFactor BFactor not BFactor (BExpr) true false 1. Geben sie einen Ableitungsbaum für den Ausdruck not (false and not(true of false)) an. 2. Konstruieren Sie aus G einen Kellerautomaten, der die Menge der Booleschen Ausdrücke erkennt. Sie können die Nichtterminale BExpr, BTerm und BFactor mit E,T und F abkürzen. 3. Notieren Sie ein Abarbeitung des Wortes not(true or false) (Leerzeichen im Wort können sie ignorieren) durch ihren Kellerautomaten in der Art, wie wir es in der Vorlesung gemacht haben. Aufgabe 28. Geben Sie für die DTD-Elementdefinition <!ELEMENT x (a*,b b,c*)> eine kontextfreie Grammatik an (in theorie-orientierter Schreibweise mit ), die dasselbe leistet und eindeutig ist. Aufgabe 29. Geben Sie eine Turingmaschine an, die die Funktion f(n) = 2n berechnet, wobei n eine natürliche Zahl in unärer Darstellung ist und die Ausgabe ebenfalls unär erfolgen darf. Hinweis: Bei unärer Darstellung steht nur ein als Zeichen zur Verfügung. Die Zahl 0 wird durch repräsentiert, die Zahl 1 durch usw. Üben sie noch einige andere einfache Funktionen! Verwenden sie Unär- und Binärzahlen. Aufgabe 30 (Zusatzaufgabe zur eigenen Fortbildung und als Beispiel für Aufgaben zum Test des abstrakten Denkvermögens). Gegeben ist V = {a, b}. 1. Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten M, der die Sprache L = {w V Die Anzahl der a s ist gerade und die Anzahl der b s ist gerade}. 3

4 2. Konstruieren Sie einen endlichen Automaten M, der die Sprache L erkennt. 3. Bitte, versuchen sie sich auch unbedingt an der folgenden Aufgabe: Geben Sie zu dem Automaten M, den sie für die Sprache L = {w V Die Anzahl der a s ist gerade und die Anzahl der b s ist gerade} gerade konstruiert haben, einen regulären Ausdruck ρ mit L(ρ) = L = T (M) an. Hinweis: Man kann einen solchen regulären Ausdruck aus einem gegebenen DEA M wie folgt konstruieren: die Grundidee ist es, einen speziellen Automaten zu verwenden, der dem DEA entspricht und dessen Kanten mit (zunächst ganz einfachen) regulären Ausdrücken beschriftet sind. In jedem Schritt wird einer der Zustände dieses Automaten entfernt und es entsteht ein neuer, äquivalenter Automat mit etwas komplexeren Kantenbeschriftungen (die quasi den alten Zustand überbrücken ) dies geschieht solange, bis nur noch eine Kante übrig ist, die dann mit dem richtigen regulären Ausdruck beschriftet ist.) 1. Zunächst definieren wir uns generalisierte nichtdeterministische endliche Automaten, GNEA wie folgt: Definition: Ein GNEA ist ein 5-Tupel (Q, V, δ, q M, q F ) mit (a) Q ist eine endliche Menge von Zuständen. (b) V ist ein endliches Alphabet. (c) δ : (Q {q F }) (Q {q M }) R ist die Überführungsfunktion. Hier ist R die Menge aller regulären Ausdrücke über V. (d) q M Q ist der Startzustand. (e) q F Q ist der (einzige!) Endzustand. Die Kanten eines GNEA sind mit regulären Ausdrücken beschriftet. Er akzeptiert eine Eingabe, wenn es unter Verwendung der regulären Ausdrücke einen Weg von Start- zum Endzustand gibt, der die Eingabe auffrißt (also erkennt). 2. Nun sei ein M = (Q M, V, δ M, q MM, F ) ein DEA. Zunächst erzeugen wir hieraus einen GNEA G = (Q, V, δ, q M, q F ) wie folgt: (a) Wir nehmen zwei neue Zustände, q M und q F zu Q M hinzu und erzeugen so Q = Q M {q M, q F }. (b) Wir verbinden q M mit q MM und beschriften die Kante mit ɛ. Erläuterung: Das ist ein sogenannter Epsilon-Übergang, der immer schalten kann, ohne ein Zeichen zu konsumieren. (c) Genauso verbinden wir alle Endzustände aus F mit q F und beschriften die Pfeile mit ɛ. (d) Wir übernehmen zudem alle Pfeile aus M. Wenn ein Pfeil in M mit mehreren, durch Kommata getrennten, Buchstaben beschriftet ist, z.b. a,b,c (oder wenn es mehrere parallel verlaufende Pfeile in M zwischen zwei Zuständen gibt, z.b. mit a, b und c beschriftet), dann bilden wir hieraus einen regulären Ausdruck der Form (a b c). Pfeile mit nur einem Buchstaben aus V bleiben so erhalten, wie sie sind (der einzelne Buchstabe ist ja ein gültiger regulärer Ausdruck). (e) Zum Schluß müssen wir im Prinzip noch alle fehlenden Pfeile hinzufügen und mit beschriften (das machen wir nicht in Zeichnungen, formal benötigen wir aber diese Pfeile, um reguläre Ausdrücke über beliebigen Kanten zusammenführen zu können). Welche Pfeile fehlen denn? Wenn sie sich die Definition der (totalen) Übergangsfunktion für den GNEA anschauen, dann sehen sie, dass dort jeder Zustand mit jedem anderen Zustand verbunden wird (auch mit sich selbst!) mit Ausnahme von Startzustand (der hat Pfeile zu jedem anderen Zustand, aber keine eingehenden Pfeile) und Endzustand (analog zum Startzustand, nur andersherum ). 3. Aus diesem GNEA G entfernen wir jetzt nach und nach alle Zustände aus dem alten Automaten M, bis nur noch eine Kante übrigbleibt, die dann mit unserem gesuchten Ergebnis beschriftet ist. Dies geht, in dem wir die folgende Funktion aufrufen mit CONVERT(G): CONVERT(G = (Q, V, δ, q M, q F )): (a) k sei die Zahl der Zustände in G. 4

5 (b) Falls k = 2, dann besteht G nur noch aus q M und q F und einer Kante, die mit dem gesuchten regulären Ausdruck R beschriftet ist. Gib R zurück. (c) Falls k > 2, dann wählen wir einen (beliebigen) Zustand q rip Q aus, der verschiedenen ist von q M und q F. G sei der GNEA (Q, V, δ, q M, q F ) mit Q = Q {q rip } und für jedes q i Q {q F } und jedes q j Q {q M } sei δ (q i, q j ) = (R 1 )(R 2 ) (R 3 ) (R 4 ). Beachten Sie, dass am schwächsten bindet, R 4 also die Alternative zum ganzen Rest ist. Die einzelnen R s sind wie folgt definiert: R 1 = δ(q i, q rip ), R 2 = δ(q rip, q rip ), R 3 = δ(q rip, q j ). R 4 = δ(q i, q j ). Beim Bilden des zusammengefaßten Ausdrucks kann man die -Ausdrücke und manche Klammern meist geschickt weglassen. (d) Rufe nun COMPUTE(G ) rekursiv auf und gib den erhaltenen Wert nach oben zurück. Um den wesentlichen Schritt (c) im Algorithmus zu verstehen, zeichnen Sie sich bitte den folgenden Automaten auf: q i q j, beschriftet mit R 4, q i q rip, beschriftet mit R 1, q rip q rip, beschriftet mit R 2, und q rip q j, beschriftet mit R 3. Nun wollen sie q rip entfernen, aber weiterhin die gleiche Sprache erkennen. Dann müssen sie zu der Möglichkeit, die sie bereits kennen, um von q i nach q j zu kommen (nämlich über R 4 ) noch die Möglichkeit hinzunehmen, die sie durch die Entfernung von q rip verlieren: nämlich von q i mit R 1 nach q rip und von dort mit R 3 nach q j. Hierbei müssen sie noch berücksichtigen, dass sie beliebig lange in q rip kreisen könnten, nämlich durch Wiederholungen von R 2, insgesamt entspricht dieser alternative Pfad von q i nach q j also (R 1 )(R 2 ) (R 3 ), gemeinsam mit der ersten Alternative ergibt sich also R = (R 1 )(R 2 ) (R 3 ) (R 4 ). Wenn sie jetzt den entstehenden Graphen zeichnen, enthält der nur noch q i und q j und die mit R beschriftete Kante (Vorsicht: natürlich fehlt im Grunde noch die Rückkante von q j nach q i, die es, außer für q i = q M bzw. q j = q F immer auch noch gibt!). 4. Um das Verfahren zu verstehen, versuchen sie zunächst, die folgenden Umwandlungen nachzuvollziehen: (a) Gegeben ist ein Automat M mit q MM = q 1 und F = {q 2 } und keinen weiteren Zuständen. δ M = {(q 1, a, q 1 ), (q 1, b, q 2 ), (q 2, a, q 2 ), (q 2, b, q 2 )}. Der durch das Verfahren bestimmte reguläre Ausdruck ist a b(a b). Vollziehen sie die Schritte nach: erst neues q M und q F hinzufügen und mit ɛ wie beschrieben verbinden, dann zweimal einen der inneren Zustände entfernen und die neuen Kantenbeschriftungen bestimmen. Fertig. (b) Gegeben ist ein Automat M mit q M = q 1 und F = {q 2, q 3 } und keinen weiteren Zuständen. δ M = {(q 1, a, q 2 ), (q 1, b, q 3 ), (q 2, a, q 1 ), (q 2, b, q 2 ), (q 3, b, q 1 ), (q 3, a, q 2 )}. Der durch das Verfahren bestimmte reguläre Ausdruck ist (a(aa b) ab b)((ba a)(aa b) ab bb) ((ba a)(aa b) ɛ) a(aa b). Versuchen Sie, dieses Ergebnis zu reproduzieren zeichnen sie die hierzu nötigen Schritte auf! Bei Bedarf finden sie eine präzise Darstellung nebst (einfachem!, induktivem) Beweis der Korrektheit des Verfahrens (und damit der Äquivalenz von DEAs und regulären Ausdrücken) im bereits genannten Buch von Michael Sipser. 5

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