Vorlesung im Sommersemester Informatik IV. Probeklausurtermin: 21. Juni 2016

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1 Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Institut für Informatik Prof. Dr. J. Rothe Universitätsstr. 1, D Düsseldorf Gebäude: 25.12, Ebene: O2, Raum: 26 Tel.: , Fax: Mai 2016 Vorlesung im Sommersemester 2016 Informatik IV Probeklausurtermin: 21. Juni 2016 BITTE NICHT MIT BLEISTIFT ODER ROTSTIFT SCHREIBEN! TRAGEN SIE AUF JEDEM BLATT IHREN NAMEN, VORNAMEN UND IHRE MATRIKELNUMMER SOWIE ZUSÄTZLICH AUF DEM DECKBLATT STUDIENFACH MIT SEMESTER UND ANZAHL DER ABGEGEBENEN BLÄTTER EIN, UND UNTERSCHREIBEN SIE ALS INFORMATIK STUDENT, DASS SIE ANGEMELDET SIND! Name, Vorname: Studienfach, Semester: Matrikelnummer: Anzahl der abgegebenen Blätter, inklusive Aufgabenblätter: (Nur für Informatik Studenten) Hiermit bestätige ich, dass ich mich beim akademischen Prüfungsamt für diese Klausur angemeldet habe: Unterschrift Aufgabe Gesamt erreichbare Punktzahl erreichte Punktzahl Erlaubte Hilfsmittel: Vorlesungsmitschriften, Bücher, Übungsblätter. Nicht erlaubte Hilfsmittel: Elektronische Geräte aller Art. Achten Sie darauf, dass Rechenwege und Zwischenschritte vollständig und ersichtlich sind.

2

3 Name: Matrikelnummer: 3 Aufgabe 1 (20 Punkte) Kreuzen Sie für jede der folgenden Fragen in jeder Zeile entweder Ja oder Nein an. Bewertung: Bezeichnet #R die Anzahl der richtig angekreuzten Antworten und #K die Anzahl der insgesamt angekreuzten Antworten (d. h. nur solche, bei denen entweder Ja oder Nein angekreuzt wurde Antworten, bei denen weder Ja noch Nein oder sowohl Ja als auch Nein angekreuzt wurde, zählen nicht zu #K), so ergibt sich die folgende Gesamtpunktzahl für diese Aufgabe: 5 #R #R + Punkte, falls #K > 0, und 0 Punkte, falls #K = 0. #K (a) Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Ja Nein Sei Σ = {0, 1} ein Alphabet, dann gilt Σ = {λ, 0, 1, 01, 10}. Ja Nein = {λ}. Ja Nein Sei A eine Sprache über dem Alphabet {0, 1} mit A = 5, dann gilt A =. (b) Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Ja Nein Jede Typ-2-Grammatik ist eine Typ-0-Grammatik. Ja Nein M = (Σ, Z, δ, z, F ) sei ein DFA, dann ist M auch ein NFA. Ja Nein Man kann zu jedem NFA M einen Minimalautomaten M konstruieren mit L(M) = L(M ). (c) Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Ja Nein Eine Grammatik in Chomsky-Normalform enthält keine einfachen Regeln. Ja Nein A = {d n c n n 1} ist kontextfrei, aber nicht regulär. Ja Nein Sei L = L 1 L 2. Wenn L 1 und L 2 kontextfrei sind, dann ist L nicht kontextfrei. (d) Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Ja Nein L ist kontextfrei es gibt einen DPDA M mit L(M) = L. Ja Nein Es gibt eine deterministische Turingmaschine M mit L(M) = L es gibt eine nichtdeterministische Turingmaschine M mit L(M ) = L. Ja Nein Jede Funktion die Turing-berechenbar ist, ist LOOP-berechenbar. (e) Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr? Ja Nein Die Menge N der natürlichen Zahlen ist ein Alphabet. Ja Nein Die Menge der natürlichen Zahlen in Binärdarstellung ist eine formale Sprache. Ja Nein Für jede reguläre Sprache L gibt es einen DFA, der L akzeptiert.

4 Name: Matrikelnummer: 4 Aufgabe 2 (20 Punkte) Reguläre Sprachen. (a) Gegeben sei der folgende NFA N: 0, z 0 z 1 z 2 Bestimmen Sie mit Methoden aus der Vorlesung einen DFA N mit L(N) = L(N ). Geben Sie diesen DFA formal an. Zustände, die vom Startzustand aus nicht erreicht werden können, dürfen Sie weglassen. (b) Gegeben sei folgender DFA M = (Σ, Z, δ, z 0, F ) mit Σ = {0, 1}, Z = {z 0, z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 }, F = {z 5 } und δ wie folgt: δ z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 0 z 2 z 3 z 2 z 3 z 5 z 5 1 z 1 z 1 z 4 z 4 z 0 z 5 Hinweis: Die Automaten N und M haben nichts miteinander zu tun. Bestimmen Sie mit dem entsprechenden Algorithmus aus der Vorlesung unter der Angabe der Tabelle einen minimalen DFA M mit L(M ) = L(M) an. Geben Sie explizit an, welche Zustände verschmolzen werden. Sie dürfen den Automaten entweder als Zustandsgraph oder formal angeben. (c) Gegeben sind die folgenden vier Äquivalenzklassen bezüglich der Myhill-Nerode-Äquivalenzrelation und der Sprache L(M) = L(M ). Geben Sie, ohne Begründung, jeweils zwei weitere Worte aus diesen Klassen an: [λ] = {λ,,,... } [0] = {0,,,... } [01] = {01,,,... } [010] = {010,,,... } (d) Begründen Sie formal, dass die Klasse [λ] sich von allen anderen gegebenen Klassen entscheidet. (Bitte geben Sie alle Argumente vollständig und verständlich an!)

5 Name: Matrikelnummer: 5 Leerseite zur Bearbeitung von Aufgabe 2

6 Name: Matrikelnummer: 6 Aufgabe 3 (20 Punkte) Kontextfreie Sprachen. Gegeben sei die Grammatik G = (Σ, N, S, R) mit dem Alphabet Σ = {a, b}, der Menge N = {S, B} der Nichtterminale und der Regelmenge R = {S asaaa B, B Bb b}. (a) Geben Sie eine Ableitung des Wortes abaaa in G an. Geben Sie dabei jeden Ableitungsschritt explizit an. (b) Geben Sie L(G) formal als Menge von Wörtern an, ohne weiteren Bezug auf G zu nehmen. (c) Formen Sie G mit der entsprechenden Konstruktion aus der Vorlesung in eine Grammatik G in CNF mit L(G) = L(G ) um. (d) Ist das Wort abbaaa in L(G) enthalten? Prüfen Sie dies mit dem Algorithmus von Cocke, Younger und Kasami und geben Sie die Tabelle bzw. Dreiecksmatrix dabei in jedem Fall vollständig an. (e) Ist L(G) deterministisch kontextfrei? Begründen Sie Ihre Antwort. (Bitte geben Sie alle Argumente vollständig und verständlich an!)

7 Name: Matrikelnummer: 7 Leerseite zur Bearbeitung von Aufgabe 3

8 Name: Matrikelnummer: 8 Aufgabe 4 (25 Punkte) Chomsky-Hierarchie. Hinweis: Mit w x bezeichnen wir die Anzahl der Vorkommen eines Buchstaben x in einem Wort w. Gegeben seien die Sprache L = {rs r, s {a, b} {λ} und r a = s a und r b = s b } {a, b} und die Turingmaschine N = ({a, b, â, ˆb}, {a, b, â, ˆb, $, ˆ$, #, ˆ#, A, B, }, Z, δ, z 0,, {z e }) mit Z = {z 0, z a, z a, z b, z b, z l, z x, z e } und der folgenden Überführungsfunktion δ: δ z 0 z a z a z b z b z l z x a (z a, A, R) (z a, a, R) (z l, #, L) (z b, a, R) (z b, a, L) (z l, a, L) â (z a, â, N) (z l, ˆ#, L) (z b, â, N) (z b, â, L) b (z b, B, R) (z a, b, R) (z a, b, L) (z b, b, R) (z l, $, L) (z l, b, L) ˆb (z a, ˆb, N) (z a, ˆb, L) (z b, ˆb, N) (z l, ˆ$, L) $ (z x, $, R) (z a, $, R) (z a, $, L) (z b, $, L) (z l, $, L) (z x, $, R) ˆ$ (z x, ˆ$, N) (z a, ˆ$, L) (z b, ˆ$, L) (z e, ˆ$, N) # (z x, #, R) (z a, #, L) (z b, #, R) (z b, #, L) (z l, #, L) (z x, #, R) ˆ# (z x, ˆ#, N) (z a, ˆ#, L) (z b, ˆ#, L) (z e, ˆ#, N) A (z 0, A, R) (z 0, A, R) B (z 0, B, R) (z 0, B, R) Sie dürfen davon ausgehen, dass die Turingmaschine N die Sprache L = L(N) akzeptiert, wobei die Eingabe a 1 a 2... a n 1 a n {a, b} + durch die Eingabe a 1 a 2... a n 1 â n über {a, b, â, ˆb} repräsentiert wird. Entscheiden Sie für jede Klasse der Chomsky-Hierarchie, ob L darin liegt oder nicht. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. Verwenden Sie in Ihrer Argumentation auch das Pumping-Lemma. (Bitte geben Sie alle Argumente vollständig und verständlich an!)

9 Name: Matrikelnummer: 9 Leerseite zur Bearbeitung von Aufgabe 4

10 Name: Matrikelnummer: 10 Aufgabe 5 (15 Punkte) Berechenbarkeit. Gegeben sei die Turingmaschine M = (Σ, Γ, Z, δ, z 0,, F ) mit Σ = {0, 1}, Γ = {0, 1, } Z = {z 0, z 1, z 2, z 3, z 4, z e }, F = {z e } und der unten stehenden Überfühungsfunktion δ. Die Turingmaschine berechnet eine Funktion. δ z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 0 (z 0, 0, R) (z 1, 1, L) (z 2, 0, L) (z 4,, R) 1 (z 0, 1, R) (z 2, 0, L) (z 2, 1, L) (z e, 1, N) (z e, 1, N) (z 1,, L) (z 3,, R) (z e, 0, N) Die passende unvollständige Zustandsbeschreibung ist in untenstehender Tabelle angegeben. z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z e Berechnung abgeschlossen, suche den Wortanfang Prüft, ob z 3 bei einer Eingabe von 1 die einzige Null gelöscht hat Endzustand (a) Füllen Sie die Zustandsbeschreibung für die Zustände z 0, z 1 und z 3 aus. (b) Ist M deterministisch? Begründen Sie Ihre Antwort. (c) Die Turingmaschine M berechnet eine Funktion f : N >0 N 0. Geben Sie f explizit an. N >0 bezeichnet dabei die natürlichen Zahlen ohne und N 0 die natürlichen Zahlen mit 0. (d) Geben Sie eine vollständige Konfigurationenfolge für M für die Berechnung von f(6) an. (e) Ist die Funktion, die von M berechnet wird, GOTO-berechenbar? Begründen Sie Ihre Antwort. (Bitte geben Sie alle Argumente vollständig und verständlich an!)

11 Name: Matrikelnummer: 11 Die Aufgabenblätter bitte mit ausgefüllten Kopfzeilen abgeben. VIEL SPASS VIEL GLÜCK VIEL ERFOLG Leerseite zur Bearbeitung von Aufgabe 5

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