2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik

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1 2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik Ulrich Furbach Claudia Schon Christian Schwarz Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau Name: Vorname: Matrikelnummer: Hinweise Prüfen Sie Ihr Exemplar der Klausur auf Vollständigkeit (8 Aufgaben). Schreiben Sie mit einem dokumentenechten schwarzen oder blauen Stift. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Weitere leere Blätter sind bei der Aufsicht erhältlich. Diese sind mit Namen und Matrikelnummer zu beschriften und müssen abgegeben werden. Für alle Multiple-Choice-Aufgaben gilt: Für jedes e Kreuz werden Punkte vergeben. Für jedes e Kreuz werden ebenso viele Punkte abgezogen. Für unbeantwortete Fragen werden 0 Punkte vergeben. Für jede Teilaufgabe werden stets mindestens 0 Punkte vergeben. Aufgabe 8 ist eine Zusatzaufgabe. Die dort erreichbaren Punkte sind Zusatzpunkte. Bestanden ist die Klausur, wenn die Summe der Punkte aus der ersten und der zweiten Teilklausur mindestens ( )/2 = 87 Punkte beträgt. Aufgabe Gesamt Punkte erreicht von möglichen (10)

2 Aufgabe 1 ( = 12 Punkte) Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen oder sind. a) Kontextfreie Sprachen und Grammatiken (1) Jede Grammatik in Chomsky-Normalform ist auch kontextsensitiv. (2) Zu jeder mehrdeutigen kontextfreien Grammatik gibt es eine äquivalente eindeutige kontextfreie Grammatik. (3) Aus dem L 2 -Pumping-Lemma folgt: Falls L Σ die kontextfreie Pumpeigenschaft 1 hat, ist L kontextfrei. (4) Aus dem L 2 -Pumping-Lemma folgt: Falls L Σ nicht die kontextfreie Pumpeigenschaft 1 hat, ist L nicht kontextfrei. b) Rekursiv aufzählbare Sprachen und Turingmaschinen (5) Eine universelle Turingmaschine kann sich selbst simulieren. (6) Seien L 1 und L 2 rekursiv-aufzählbaren Sprachen, dann ist auch L 1 L 2 rekursiv aufzählbar. c) Akzeptierbarkeit und Entscheidbarkeit (7) Sei T die Menge aller entscheidbarer Sprachen und L 0 die Menge von Typ-0-Grammatiken erzeugten Grammatiken. Es gilt: T = L 0. (8) Ist eine Sprache L akzeptierbar und ihr Komplement L rekursiv aufzählbar, so ist L entscheidbar. (9) Es gibt eine Sprache L, die akzeptierbar ist und deren Komplement L nicht rekursiv aufzählbar ist. d) Komplexitätstheorie (10) Falls P NP gilt, dann ist kein einziges NP-vollständiges Problem in polynomieller Zeit lösbar. (11) Es gibt NP-harte Probleme, die nicht NP-vollständig sind. (12) Wenn SAT in P liegt, dann auch Clique. 1 Eine Sprache L hat die kontextfreien Pumpeigenschaft gdw. Es existiert ein n N 0, so dass gilt: z L mit z n existieren u, v, w, x, y Σ, so dass z = uvwxy und vx > 0 und vwx < n und i N 0 : uv i wx i y L

3 Aufgabe 2 ( = 16 Punkte) Punkte: In den Teilaufgaben a) c) werden für jede e Einordnung 0.5 Punkte vergeben und für jede e 0.5 Punkte abgezogen. Gegeben die Grammatik G = ({S, S, A, B, C, D, E, F }, {a, b}, R, S) mit: R = {S DB DC D, S DB DC D, A bb ε F, B BA aa C, C af DC bcb, D ε aada S, E aas bbb ε, F Cb CC af b} a) Ermitteln Sie, welche Variablen erreichbar bzw. nicht erreichbar sind. erreichbar: nicht erreichbar: b) Ermitteln Sie, welche Variablen co-erreichbar bzw. nicht co-erreichbar sind. co-erreichbar: nicht co-erreichbar: c) Ermitteln Sie, welche Variablen nullbar bzw. nicht nullbar sind. nullbar: nicht nullbar: d) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen oder sind. (1) C DC ist eine Kettenproduktion aus G. (2) G enthält 3 oder mehr Kettenproduktionen. (3) G lässt sich in Chomsky-Normalform bringen. (4) G liegt in Greibach-Normalform vor.

4 Aufgabe 3 (8 + 6 = 14 Punkte) a) Gegeben Sei die folgende Grammatik G = ({S, A, B, C, D, E, }, {a, b}, R, S) mit R = {S AA AC BD, C BS, D SE, E AA, A a, B b} Entscheiden Sie mit dem Algorithmus von Cocke-Younger-Kasami, ob w = baaaa L(G) ist. Vervollständigen Sie dafür die fett umrandeten Zellen der vorgegebene Tabelle. {B} {A} {S, E} {A} {S, E} {A} {S, E} {A} Damit gilt: b) Gegeben eine Grammatik G = (V, T, R, S) in Chomsky-Normalform. Beschreiben Sie kurz und präzise (aber ohne Begründung) wie überprüft werden kann, ob L(G) = gilt.

5 Aufgabe 4 ( = 14 Punkte) Gegeben sei der folgende PDA: mit der folgenden Übergangsrelation A = ({s 0, s 1 }, {a, b}, {A, Z 0 },, s 0, Z 0, {s 0 }) = {((s 0, a, Z 0 ), (s 0, AAZ 0 )), ((s 0, a, A), (s 0, AAA)), ((s 0, b, Z 0 ), (s 1, ɛ)), ((s 0, b, A), (s 1, ɛ)), ((s 1, b, Z 0 ), (s 1, ɛ)), ((s 1, b, A), (s 1, ɛ))} a) Vervollständigen Sie die folgende Rechnung und entscheiden Sie außerdem, ob A das Wort w = aabb über leeren Keller und/oder finalen Zustand akzeptiert. Hinweis: Sie dürfen A abkürzen durch. Es wird ein Antwortsatz erwartet. (s 0, aabb, Z 0 ) (s 0, abb, AAZ 0 ) b) Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen oder sind. (1) Es gilt: ε L f (A). (2) Für alle w L l (A) gilt: # b (w) > # a (w). (3) Für alle w L f (A) gilt: # b (w) = 0. c) Welche der folgenden Sprachen erkennt A über leeren Keller bzw. finalen Zustand? Hinweis: Es ist jeweils genau eine Antwort. Falsche Antworten führen nicht zu Punktabzug. L 1 = L 2 = {a} L 3 = {a, b} L 4 = {a n b 2n+1 n 0} L 5 = {a 2n+1 b 2n n 0} L 6 = {a i b i+1 i > 0} L l (A) = L f (A) =......

6 Aufgabe 5 (12 Punkte) Konstruieren Sie einen PDA, der die folgende Sprache über leeren Keller akzeptiert. L = {a 2n b 3n n N 0 } Stellen Sie Ihren PDA graphisch dar. Verwenden Sie die aus der Übung bekannte Notation: a, X Y an einem Übergang bedeutet, dass ein a gelesen wird und das oberste Stacksymbol X vom Stack genommen wird und dann das Wort Y (über dem Stackalphabet) auf den Stack gelegt wird.

7 Aufgabe 6 ( = 12 Punkte) Sei M = ({s 0, s 1, s 2, s 3 }, {a, b, c, #}, δ, s 0 ) eine Standard-DTM mit δ gegeben durch die folgende Tabelle: a b c # s 0 (s 1, c) (s 0, L) (s 0, L) (s 0, L) s 1 (s 3, c) (s 1, R) (s 2, L) s 2 (s 2, L) (s 3, R) (s 2, L) (h, #) s 3 (s 3, R) (s 3, R) (s 3, R) (s 0, L) a) Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen oder sind. (1) s 1, a#aaa#a ist eine Konfiguration von M. (2) s 1, #abaaabccyc ist eine Konfiguration von M. (3) Sei C 1 = s 1, #aacb und C 2 = s 1, #aacb. Es gilt: C 1 M C 2. (4) Sei C 1 = s 3, #aabcaa und C 2 = s 3, #aabcaa#. Es gilt: C 1 M C 2. b) Überprüfen Sie, ob M das Wort w 1 = ab akzeptiert. Geben Sie die Rechnung an: Hinweis: Sie dürfen M abkürzen durch. Es wird ein Antwortsatz erwartet. c) Überprüfen Sie, ob M das Wort w 2 = ccca akzeptiert. Geben Sie die Rechnung an: Hinweis: Sie dürfen M abkürzen durch. Es wird ein Antwortsatz erwartet.

8 Aufgabe 7 ( = 14 Punkte) Sei B : N {0, 1} + die wie folgt definierte Funktion: B(n) = w : w ist die kürzeste (d.h. ohne führende Nullen) Binär-Darstellung von n Beispiel: B(0) = 0 B(1) = 1 B(2) = 10 B(3) = Inc sei eine determinierte Turingmaschine, die wie folgt rechnet: für alle n N 0. s, #B(n)# Inc h, #B(n + 1)# Beispiel: s, #100# Inc h, #101#, da B(4) = 100 und B(4 + 1) = 101 Hinweis: Informell ausgedrückt arbeitet Inc auf binär kodierten Zahlen. Sie inkrementiert den Bandinhalt um 1 und hält dann rechts vom Bandinhalt. a) Geben Sie jeweils das Ergebnis der Rechnung von Inc an: (1) s, #10101# Inc h, (2) s, #111# Inc h, b) Konstruieren Sie Inc als Flussdiagramm. Hinweis: Sie dürfen die Abkürzungen R #,L # und S R verwenden. Dabei rechnet S R (Shift-Right) wie folgt: w (Σ {#}) : s, #w S R h, ##w.

9 Aufgabe 8 (4 + 6 = 10 Zusatz-Punkte) Prof. Dr. Finsterböse möchte die sinkenden Marktanteile seiner Firma Raptor GmbH durch die Herstellung einer High-Tech-Version der Turing-Maschine, itm genannt, steigern. Eine itm enthält alle Komponenten einer gewöhnlichen DTM und zusätzlich: Eine Glocke und eine Pfeife. Jeder Zustand einer itm ist entweder vom Typ Glockenzustand oder vom Typ Pfeifenzustand. Die Arbeitsweise einer itm entspricht der einer gewöhnlichen DTM mit folgender zusätzlicher Funktionalität: Immer wenn die itm einen Zustandsübergang durchführt, läutet sie entweder die Glocke oder bläst die Pfeife, je nach Typ des neuen Zustandes. a) Geben Sie eine formale Syntax-Definition für itm s an. Eine itm M ist ein Tupel M = ( ) Dabei ist: b) Ist entscheidbar, ob eine gegebene itm M bei gegebener Eingabe w jemals pfeift? Beweisen Sie Ihre Aussage (formal oder natürlichsprachlich aber strukturiert).