Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG
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- Kajetan Jonas Hochberg
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1 Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August 2010 Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 1/ 30
2 Gliederung 1 Endliche Automaten Motivation Wie können wir eine Sprache beschreiben? Arbeitsweise eines endlichen Automaten Formale Definition Das Pumping-Lemma Nichtdeterministische Automaten 2 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Reguläre Ausdrücke Beispiele Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 2/ 30
3 Motivation Endliche Automaten Motivation Erfüllt ein Wort bestimmte Kriterien, enthält es z.b. genau drei a s? Enthält ein bestimmter Text eine -Adresse? Wie können wir einen einfachen Computer simulieren? Eingabe Verarbeitung Ausgabe Ausgabe in diesem Fall: Ja/Nein, d.h. wir betrachten Entscheidungsprobleme. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 3/ 30
4 Wie können wir eine Sprache beschreiben? Was ist eine Sprache? Definition (Wiederholung) Wort über Σ: endliche Folge von Symbolen aus einem endlichen, nichtleeren Alphabet Σ. Das leere Wort bezeichnen wir mit λ. Sprache über Σ: Menge von Worten über Σ Σ : Sprache aller Worte über Σ Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 4/ 30
5 Wie können wir eine Sprache beschreiben? Was ist eine Sprache? Definition (Wiederholung) Wort über Σ: endliche Folge von Symbolen aus einem endlichen, nichtleeren Alphabet Σ. Das leere Wort bezeichnen wir mit λ. Sprache über Σ: Menge von Worten über Σ Σ : Sprache aller Worte über Σ Wie schreiben wir eine Sprache auf? Alle Worte in der Sprache: {λ, a, b, aa, ab, bb,... } Beschreibung der Menge: {a n b m n, m N} Test jedes Wortes mit Hilfe eines endlichen Automaten Erzeugen aus einer Grammatik Beschreibung mittels regulärer Ausdrücke Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 4/ 30
6 Arbeitsweise eines endlichen Automaten Arbeitsweise eines endlichen Automaten Beginne in einem Anfangszustand q 0 und erhalte ein Wort als Eingabe. Lese jetzt jeden einzelnen Buchstaben und bestimme jedes Mal einen neuen Zustand. Wenn das Wort gelesen ist, entscheide an Hand des aktuellen Zustands, ob das Wort akzeptiert oder verworfen wird. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 5/ 30
7 Formale Definition Definition (deterministischer endlicher Automat, DFA) Tupel M = (Σ, Q, q 0, Q a, δ), bestehend aus Eingabealphabet Σ endliche Zustandsmenge Q Startzustand q 0 Q Menge Q a Q von akzeptierenden Zuständen Zustandsübergangsfunktion δ : Q Σ Q. Deterministisch, weil sein Ergebnis durch ein bestimmtes Eingabewort vollständig bestimmt ist. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 6/ 30
8 Formale Definition Algorithmus zur Berechnung Daten : endlicher Automat M wie oben, Wort w über dem Alphabet Σ Ergebnis : true falls der Automat w akzeptiert, sonst false begin setze q := q 0 ; for i := 1 to w do setze q := δ(q, w[i]); if q Q a then return true; else return false; Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 7/ 30
9 Formale Definition Definition erweiterte Zustandsübergangsfunktion δ : Q Σ : δ (q, λ) = q δ (q, xw) = δ (δ(q, x), w) δ (q, w) entspricht dem Zustand des Automaten nach dem Lesen des Wortes w, wenn er vorher im Zustand q war. akzeptiertes Wort w: δ (q 0, w) Q a akzeptierte Sprache L(M): {w Σ δ (q 0, w) Q a } Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 8/ 30
10 Formale Definition Beispiel Ein Automat, der die Sprache {a n b m n, m N} akzeptiert: δ(q 0, a) = q 0 δ(q 0, b) = q 1 δ(q 1, a) = q 2 δ(q 1, b) = q 1 δ(q 2, a) = q 2 δ(q 2, b) = q 2 Die akzeptierenden Zustände sind q 0 und q 1. In Graphdarstellung: a b a,b q b start 0 q a 1 q 2 Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 9/ 30
11 Das Pumping-Lemma Einschränkungen von DFAs DFAs sind vergesslich. Sie können nur endlich viele Zustände annehmen, aber beliebig lange Eingangsworte lesen. Zustände werden mehrfach angenommen. Wiederholt man das Teilwort zwischen zwei identischen Zuständen ( Aufpumpen ), so ändert dies nichts am Ergebnis. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 10/ 30
12 Das Pumping-Lemma Lemma (Pumping-Lemma) Sei L eine von einem DFA akzeptierte Sprache. Dann existiert eine Wortlänge n, sodass: Für alle Wörter w der Länge mindestens n existiert eine Zerlegung w = x y z mit y 1 und x y n, sodass: Für alle i N gilt x y i z L. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 11/ 30
13 Das Pumping-Lemma Beweis Wähle n := Q und sei w L beliebig mit w n. Sei q (0), q (1),..., q ( w ) die Folge der vom L akzeptierenden Automaten durchlaufenen Zustände. Mindestens einer der ersten n durchlaufenen Zustände muss zweimal in der Folge auftauchen, z.b. bei q (i) und q (j), 0 i < j n. Wähle x := w[1]w[2] w[i], y := w[i + 1] w[j] und z := w[j + 1] w[ w ]. Nach Wahl von x und y ist q (i) = δ (q (0), x) = δ (q (0), x y) = δ (q (i), y) = δ (q (i), y k ) für beliebige k N. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 12/ 30
14 Das Pumping-Lemma Anwendung Hinweise Nur ein notwendiges Kriterium, nicht hinreichend: {0 n 1 m 0 m n, m N} {1 n 0 m n, m N} hat die Pump-Eigenschaft, kann aber nicht durch einen DFA akzeptiert werden. Umkehrung: wenn für alle n ein n langes Wort existiert, das nicht aufpumpbar ist, dann ist L nicht durch einen DFA akzeptiertbar. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 13/ 30
15 Das Pumping-Lemma Anwendung Hinweise Nur ein notwendiges Kriterium, nicht hinreichend: {0 n 1 m 0 m n, m N} {1 n 0 m n, m N} hat die Pump-Eigenschaft, kann aber nicht durch einen DFA akzeptiert werden. Umkehrung: wenn für alle n ein n langes Wort existiert, das nicht aufpumpbar ist, dann ist L nicht durch einen DFA akzeptiertbar. Beispiel L := {a k b k k N} lässt sich nicht durch einen DFA akzeptieren. Sei 1 n N. Betrachte w := a n b n. Mögliche Zerlegungen: y = a p, 1 p n. x y 2 z = a n+p b n L. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 13/ 30
16 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
17 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
18 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
19 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
20 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
21 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
22 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
23 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} {w {0, 1} w ist quadratisch} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
24 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} {w {0, 1} w ist quadratisch} nicht akzeptierbar Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
25 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} {w {0, 1} w ist quadratisch} nicht akzeptierbar {w {0, 1,..., 9} w ist durch 3 teilbar} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
26 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} {w {0, 1} w ist quadratisch} nicht akzeptierbar {w {0, 1,..., 9} w ist durch 3 teilbar} akzeptierbar Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
27 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} {w {0, 1} w ist quadratisch} nicht akzeptierbar {w {0, 1,..., 9} w ist durch 3 teilbar} akzeptierbar {w {0, 1} w ist eine durch 7 teilbare Binärzahl} Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
28 Das Pumping-Lemma Übung Welche der folgenden Sprachen sind durch einen DFA akzeptierbar? {w {a, b} w enthält mindestens drei mehr a s als b s} nicht akzeptierbar {w {a,..., z, A,..., Z} w steht im Duden} akzeptierbar: diese Sprache ist endlich {w {a, b, c, d} w hat endliche Länge} akzeptierbar: ist einfach {a, b, c, d} {w {0, 1} w ist quadratisch} nicht akzeptierbar {w {0, 1,..., 9} w ist durch 3 teilbar} akzeptierbar {w {0, 1} w ist eine durch 7 teilbare Binärzahl} akzeptierbar: addiere Dreiergruppen modulo 7 (x 8 x mod 7) Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 14/ 30
29 Nichtdeterministische Automaten Was passiert, wenn wir Zufall zulassen? Nach dem Lesen eines Symbols kann der Automat in einen von mehreren Zuständen wechseln. Die Berechnung ist nicht wirklich zufällig, zu einem Eingabewort sind verschiedene Berechnungen möglich aber wir wissen schon vorher, welche möglich sind! In jeder Berechnung wird der Automat nur einmal ausgeführt und das Wort nur einmal gelesen. Dieses Konstrukt erscheint zunächst mächtiger als ein deterministischer Automat. Ist es aber nicht! Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 15/ 30
30 Nichtdeterministische Automaten Definition (nichtdeterministischer endlicher Automat, NFA) Tupel M = (Σ, Q, q 0, Q a, ), bestehend aus Eingabealphabet Σ endliche Zustandsmenge Q Startzustand q 0 Q Menge Q a Q von akzeptierenden Zuständen Zustandsübergangsrelation (Q Σ) Q. Wir können auch ein Tupel aus Q Σ auf einen Powerzustand Q abbilden, der die möglichen neuen Zustände enthält. Wir sagen, der Automat akzeptiert ein Wort w, wenn er nach dem Lesen von w in einem akzeptierenden Zustand sein kann. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 16/ 30
31 Nichtdeterministische Automaten Beispiel NFA, der die Sprache {u aa v u, v {a, b} } akzeptiert: a, b a,b q a start 0 q a 1 q 2 Beachte, dass ein Übergang weggelassen wurde! Als DFA: b a start q 0 q a 1 q 2 b a,b Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 17/ 30
32 Nichtdeterministische Automaten NFAs sind nicht mächtiger als DFAs! Konstruiere zu einem NFA M = (Σ, Q, q 0, Q a, ) einen DFA, den Potenzmengenautomat M = (Σ, Q, q 0, Q a, δ ): Q := {P P Q} q 0 := {q 0} Q a := {P Q P Q a } δ (P, x) := {q Q p P : (p, x, q) } Dann ist der nach dem Lesen eines Wortes w von M angenommene Powerzustand genau die Menge aller Zustände, die M nach Lesen von w angenommen haben kann. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 18/ 30
33 Nichtdeterministische Automaten Beispiel a, b a,b q a start 0 q a 1 q 2 Ist als Potenzmengenautomat: a b a b a start {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1, q 2 } {q 0, q 2 } b a Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 19/ 30
34 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Reguläre Ausdrücke Motivation Für jede Sprache einen kompletten endlichen Automaten aufzuschreiben ist ziemlich umständlich. Verwende eine andere Schreibweise: setze eine Sprache aus vielen einfacheren Sprachen rekursiv zusammen. Für diese einfachen Sprachen definiert man sich bestimmte Ausdrücke, die man dann zu komplizierten Ausdrücken zusammensetzt. Dafür brauchen wir zunächst eine andere Klassifikation der von DFAs akzeptierbaren Sprachen: die regulären Sprachen. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 20/ 30
35 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Was ist eine Sprache? Definition (Wiederholung) Wort über Σ: endliche Folge von Symbolen aus einem endlichen, nichtleeren Alphabet Σ. Das leere Wort bezeichnen wir mit λ. Sprache über Σ: Menge von Worten über Σ Σ : Sprache aller Worte über Σ Wie schreiben wir eine Sprache auf? Alle Worte in der Sprache: {λ, a, b, aa, ab, bb,... } Beschreibung der Menge: {a n b m n, m N} Test jedes Wortes mit Hilfe eines endlichen Automaten Erzeugen aus einer Grammatik Beschreibung mittels regulärer Ausdrücke Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 21/ 30
36 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Definition (Grammatik) Tupel (N, T, S, P), bestehend aus Nonterminalalphabet N Terminalalphabet T, N T = Startsymbol S N Endliche Menge P von Ersetzungsregeln l r, l, r (N T ). l enthält mindestens ein Nonterminal. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 22/ 30
37 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Definition (Grammatik) Tupel (N, T, S, P), bestehend aus Nonterminalalphabet N Terminalalphabet T, N T = Startsymbol S N Endliche Menge P von Ersetzungsregeln l r, l, r (N T ). l enthält mindestens ein Nonterminal. Reguläre Grammatik Alle Regeln bilden ein einzelnes Nonterminal auf eine Folge von Terminalen (mit höchstens einem Nonterminal am Ende) ab. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 22/ 30
38 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Beispiel Reguläre Grammatik, die die Sprache L := {a n b m n, m N} erzeugt, d.h. L enthält genau die Worte aus T, die mit Hilfe von Ersetzungsregeln in P aus S erzeugt werden: N := {S, B} T := {a, b} Ersetzungsregeln in P: S as S B B bb B λ Eine von einer regulären Grammatik erzeugte Sprache heißt regulär. Alle von DFAs erzeugten Sprachen sind regulär. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 23/ 30
39 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Beweis (1) Sei M ein endlicher Automat mit akzeptierter Sprache L(M). Wir wählen N := Q, T := Σ und S := q 0. Die Ableitungsregeln konstruieren wir aus der Zustandsfunktion: Ist δ(q, x) = q, so fügen wir die Regel q xq hinzu. Zusätzlich dürfen akzeptierende Zustände das Wort beenden: q λ für q Q a. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 24/ 30
40 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Beweis (2) Sei w ein von diesem Automaten akzeptiertes Wort mit durchlaufenen Zuständen q (0), q (1),..., q ( w ). Dann ist δ(q (i), w[i + 1]) = q (i+1) für 0 i w 1, d.h. es gibt die Regeln q (i) w[i + 1]q (i+1) und zusätzlich q ( w ) λ. Sei umgekehrt w von der oben angegebenen Grammatik erzeugt, und zwar mit der Ableitungskette q (0) w 1 w n = w. Dann enden alle w i außer dem letzten auf ein Nonterminal (d.h. einen Zustand), und diese Zustandsfolge entspricht den Zuständen des Automaten beim Lesen von w. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 25/ 30
41 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprachen Beweis (2) Sei w ein von diesem Automaten akzeptiertes Wort mit durchlaufenen Zuständen q (0), q (1),..., q ( w ). Dann ist δ(q (i), w[i + 1]) = q (i+1) für 0 i w 1, d.h. es gibt die Regeln q (i) w[i + 1]q (i+1) und zusätzlich q ( w ) λ. Sei umgekehrt w von der oben angegebenen Grammatik erzeugt, und zwar mit der Ableitungskette q (0) w 1 w n = w. Dann enden alle w i außer dem letzten auf ein Nonterminal (d.h. einen Zustand), und diese Zustandsfolge entspricht den Zuständen des Automaten beim Lesen von w. Bemerkung Die Umkehrung gilt auch, d.h. alle regulären Sprachen sind von DFAs akzeptierbar. Dies werden wir allerdings nicht zeigen. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 25/ 30
42 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke Definition (reguläre Ausdrücke) Rekursiv definierte Menge von Worten über dem Alphabet Σ {(, ),, }: λ ist ein regulärer Ausdruck. Für jedes x Σ ist x ein regulärer Ausdruck. Sind R 1 und R 2 reguläre Ausdrücke, so auch R 1 R 2 und (R 1 R 2 ). Ist R ein regulärer Ausdruck, so auch (R). Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 26/ 30
43 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke Definition (reguläre Ausdrücke) Rekursiv definierte Menge von Worten über dem Alphabet Σ {(, ),, }: λ ist ein regulärer Ausdruck. Für jedes x Σ ist x ein regulärer Ausdruck. Sind R 1 und R 2 reguläre Ausdrücke, so auch R 1 R 2 und (R 1 R 2 ). Ist R ein regulärer Ausdruck, so auch (R). Von R beschriebene Sprache L(R) L(λ) = {λ} L(x) = {x} L(R 1 R 2 ) = L(R 1 ) L(R 2 ) L((R 1 R 2 )) = L(R 1 ) L(R 2 ) L((R) ) = L(R) Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 26/ 30
44 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke In der Praxis Häufig werden in regulären Ausdrücken vereinfachte Schreibweisen zugelassen: ^ entspricht einem Zeilenanfang, $ einem Zeilenende.. kann ein beliebiges Zeichen sein. [abc] entspricht (a b c), [^abc] jedem Zeichen außer a, b oder c. Statt ( _) kann man auch [0-9._] schreiben. R? entspricht höchstens einem, R+ mindestens einem Vorkommen von R. R{a,b} bedeutet, dass R mindestens a und höchstens b mal vorkommt. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 27/ 30
45 Reguläre Ausdrücke Beispiele Ein Beispiel: Datumsangaben ^(0?[1-9] [12][0-9] 3[01])\.(0?[1-9] 1[012])\.[0-9]+$ Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 28/ 30
46 Reguläre Ausdrücke Beispiele Ein Beispiel: Datumsangaben ^(0?[1-9] [12][0-9] 3[01])\.(0?[1-9] 1[012])\.[0-9]+$ Und noch eins: -Adressen Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 28/ 30
47 Zusammenfassung Konstanter Platz reicht aus, um viele Worte zu erkennen und innerhalb von Zeichenfolgen zu finden. Schon Nachzählen und beliebige Verschachtelungen sind normalerweise nicht mehr möglich. Reguläre Ausdrücke sind auf Grund ihrer Flexibilität sehr wichtig in der Verarbeitung von Texten. Mit Hilfe von regulären Ausdrücken kann man einen Ausdruck für alle möglichen Datumsangaben hinschreiben, ohne alle einzeln aufzählen zu müssen. Mit ein paar Erweiterungen lassen sich z.b. Tag, Monat und Jahr automatisch aus der Datumsangabe auslesen und getrennt abspeichern. Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 29/ 30
48 Danke! Daniel Alm: Algorithmen mit konstantem Platzbedarf 30/ 30
2 2 Reguläre Sprachen. 2.2 Endliche Automaten. Übersicht
Formale Systeme, Automaten, Prozesse Übersicht 2 2. Reguläre Ausdrücke 2.3 Nichtdeterministische endliche Automaten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.6 Minimale DFAs und der
5.2 Endliche Automaten
114 5.2 Endliche Automaten Endliche Automaten sind Turingmaschinen, die nur endlichen Speicher besitzen. Wie wir bereits im Zusammenhang mit Turingmaschinen gesehen haben, kann endlicher Speicher durch
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