Umformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz.

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1 Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Satz T5.2.2: Wenn L durch eine Chomsky-0- Grammatik G beschrieben wird, gibt es eine NTM M, die L akzeptiert. Beweis: Algo von M: Schreibe S auf freie Spur. Iteriere: Führe nichtdeterministisch gewählte Ableitungsregel aus Vergleiche hergeleitetes Wort mit Eingabe, akzeptiere bei Gleichheit. 507 Umformung NTM DTM Satz T5.2.3: Wenn L durch eine NTM M akzeptiert wird, ist L rekursiv aufzählbar. Beweis: Konstruktion einer DTM für L: For i:=0 to Sim. alle Rechenwege von M der Länge i. Falls akzeptierende Konfiguration erreicht wird, akzeptiere. 508 Charakterisierung rek. aufz. Spr. Folgerung T5.2.4: Die Menge der rekursiv aufzählbaren Sprachen ist gleich 1. der Menge der von DTMs akzeptierten Sprachen, 2. der Menge der von NTMs akzeptierten Sprachen, 3. der Menge der von Chomsky-0- Grammatiken erzeugten Sprachen. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Ziel: Äquivalenz von Chomsky-3-Grammatiken und DFAs

2 DFA Chomsky-3-Grammatik Satz T5.3.1: Sei M ein DFA für L. Dann gibt es auch eine rechtslineare Grammatik G für L. Beweis: Idee: Rechnung von M mit einer Grammatik simulieren. V=Q, T =Σ, S=q 0, Ableitungsregeln: q aq, falls δ(q,a)=q, q ε, falls q F. 511 Korrektheit Rechnung des DFA auf einem Wort w 1 w n : Zustandsfolge q 0,q 1,,q n mit δ(q i,w i+1 )=q i+1 und q n F. Rechnung der erzeugten Grammatik: q 0 w 1 q 1 w 1 w 2 q 2 w 1 w n q n w 1 w n q aq, falls δ(q,a)=q, q ε, falls q F. 512 Chomsky-3-Grammatik NFA Satz T5.3.1: Sei G eine rechtslineare Grammatik für L. Dann gibt es auch einen NFA M für L. Beweis: Sei rechtslin. Grammatik für L gegeben. Konstruktion des NFAs: Korrektheit Ableitung von w 1 w n hat die Form S w 1 A 1 w 1 w 2 A 2 w 1 w n A n w 1 w n Mögliche Zustandsfolge des NFAs bei Eingabe w 1,,w n : S A 1 A 2 A n Q=V, q 0 =S, F = {A Regel A ε vorhanden} δ(a,a)={b Regel A ab vorhanden} Q=V, q 0 =S, F = {A Regel A ε vorhanden} 513 δ(a,a)={b Regel A ab vorhanden} 514

3 Charakterisierung d. reg. Sprachen Folgerung: Die Menge der regulären Sprachen ist gleich der Menge der von DFAs oder NFAs erkannten Sprachen, der Menge der Sprachen, die durch reguläre Ausdrücke beschrieben werden, der Menge der Sprachen, die durch Chomsky-3-Grammatiken beschrieben werden. Beobachtung Grammatiken sind ein auf natürliche Weise nichtdeterministisches Konzept. Simulationen von Ableitungen einer Grammatik werden mit Hilfe von nichtdeterministischen Maschinen besonders einfach Kontextfreie Sprachen (Kap. T6) Überblick: Beispiele kontextfreier Sprachen Chomsky-Normalform Wortproblem für kontextfreie Sprachen Pumping-Lemma Mehrdeutigkeit Algorithmen Unentscheidbare Probleme Greibach-Normalform Maschinenmodell für kontextfreie Sprachen 517 Beispiel: L={0 n 1 n n 1} Haben gesehen: L nicht regulär Kontextfreie Grammatik: P={S 01, S 0S1} L kontextfrei (Folien 365 und 373) 518

4 Variante: L={0 i 1 j 1 i j} Kontextfreie Grammatik: P={S 01, S 0S1, S S1} L kontextfrei Bsp: Sprache der Palindrome L={w {0,1}* w=w R } Haben gesehen: L nicht regulär (Folie 375) Kontextfreie Grammatik G: P={S ε, S 0, S 1, S 0S0, S 1S1} Korrektheit: G erzeugt nur Palindrome. L(G) L Alle Palindrome können durch G erzeugt werden. L L(G) G erzeugt nur Palindrome. Alle Palindrome w in G herleitbar. Behauptung: Alle von G erzeugten Wörter w sind Palindrome. Induktion über w : w =0 oder w =1: ε, 0, 1 sind Palindrome. w >1: Die erste angewandte Regel ist S 0S0 oder S 1S1, d.h., w beginnt und endet mit demselben Buchstaben. Nach I.V. ist das Wort dazwischen Palindrom w Palindrom. Induktion über w : w =0 oder w =1: ε, 0, 1 sind herleitbar. w >1: w Palindrom w beginnt und endet mit 0 (bzw. 1); dazwischen befindet sich ein Palindrom w, also w=0w 0 oder w=1w 1. Nach I.V. ist w aus S herleitbar. S 0S0 * 0w 0 = w bzw. S 1S1 * 1w 1 = w. P={S ε, S 0, S 1, S 0S0, S 1S1} 521 P={S ε, S 0, S 1, S 0S0, S 1S1} 522

5 Klammersprache w=w 1...w n {(,)}* heißt korrekt geklammert, falls die Anzahl ( ist gleich der Anzahl ). in jedem Anfangsstück w 1,...,w i (i n) ist die Anzahl ( nicht kleiner als die Anzahl ). Definiere L={w {(,)}* w korrekt geklammert} Nicht regulär Folie 376f. Kontextfreie Grammatik: S SS, S (S), S ε. 523 Bsp: L={w w 0 = w 1 } w 0 : Anzahl Nullen in w, w 1 : Anzahl Einsen in w. Übungsaufgabe: Zeige, dass L nicht regulär. Kontextfreie Grammatik G: V={S}, Σ={0,1} P={S ε, S 0S1S, S 1S0S} Korrektheit: G erzeugt nur Wörter aus L. G erzeugt alle Wörter aus L. L(G) L L L(G) 524 Beispiel Korrektheit: L(G) L Ableitung von S 1S0S 11S0S0S 1100S 11001S0S S 1 S 0 S Syntaxbaum 1 S 0 S 1 S 0 S G erzeugt nur Wörter aus L : folgt, da bei jedem Ableitungsschritt gleichviele Nullen wie Einsen erzeugt werden. ε ε ε ε P={S ε, S 0S1S, S 1S0S} 525 P={S ε, S 0S1S, S 1S0S} 526

6 Korrektheit: L L(G) Induktion über w w =0 w=ε L(G). w >0, o.b.d.a. beginne w mit 0. Sei i>0 kleinste Zahl m. w 1 w i 0 = w 1 w i 1. Dann gilt: w 1 =0, w i =1, w 2 w i-1 0 = w 2 w i-1 1 und w i+1 w n 0 = w i+1 w n 1. Also w 2 w i-1 L und w i+1 w n L und S 0S1S * 0w 2 w i-1 1w i+1 w n. I.V. 527 Syntaxbaum Graphische Darstellung der Ableitung eines Wortes Wurzel: markiert mit S. Blätter: markiert mit Terminalen/Buchstaben oder ε. Innere Knoten: markiert mit Variablen A Nachfolger entsprechen Anwendung einer Ableitungsregel A α 1 α r. 528 Anmerkungen Zu jeder Ableitung gibt es einen Syntaxbaum. Zu einem Syntaxbaum kann es mehrere (äquivalente) Ableitungen geben. Linksableitung: Ableitung, bei der die jeweils linkeste Variable ersetzt wird. Rechtsableitung: Ableitung, bei der die jeweils rechteste Variable ersetzt wird. Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit Definition T6.1.5: Eine kontextfreie Grammatik G heißt eindeutig, wenn es für jedes Wort w L(G) nur einen Syntaxbaum gibt. Eine kontextfreie Sprache heißt eindeutig, wenn es für sie eine eindeutige kontextfreie Grammatik gibt, anderenfalls heißt sie inhärent mehrdeutig

7 Beispiel: Klammersprache Die Grammatik S SS, S (S), S ε ist nicht eindeutig. Beispiel: ()()() Linksableitungen: S SS SSS (S)SS ()SS ()(S)S ()()S ()()(S) ()()() S SS (S)S ()S ()SS ()(S)S ()()S ()()(S) ()()() Eindeutige Grammatik: S (S)S, S ε 531 Weiteres Beispiel S ε, S 0S1S, S 1S0S ist mehrdeutig: das Wort hat die Linksableitungen S 0S1S 01S0S1S 011S0SS0S1S * und S 0S1S 01S 011S0S 0110S 01100S1S * Etwas schwieriger: Konstruktion einer eindeutigen Grammatik. 532 Beispiel Die Grammatik S 01, S 0S1 für L={0 n 1 n n 1} ist eindeutig. Motivation Nahe liegende Vermutung: Syntaxanalyse für eindeutige Grammatiken einfacher. Verschiedene Ableitungsbäume haben bei Programmiersprachen häufig verschiedene Semantiken

8 Chomsky-Normalform Ziel: einfachere Algorithmen für kontextfreie Grammatiken. Definition T6.2.1: Eine kontextfreie Grammatik ist in Chomsky-Normalform, wenn alle Ableitungsregeln von der Form A BC oder A a (mit A,B,C V, a T) sind. Chomsky-Normalform Besonderheit: ε kann nicht erzeugt werden. Im Folgenden Umformung G G Kontextfreie Kontextfreie Grammatik Grammatik in Chomsky-Normalform mit L(G ) = L(G) {ε} Umformung Sei s(g) die Größe (Anzahl der Buchstaben in allen Produktionen) der kontextfreien Grammatik G. Satz T6.2.2: Eine kontextfreie Grammatik G kann in Zeit O(s(G) 2 ) in Chomsky- Normalform umgeformt werden. Beweis: Umformung in 4 Schritten Schritt 1: Separation Ziel: Auf den rechten Seiten der Regeln entweder 1 Terminal oder nur Variablen. Dazu: erzeuge für jedes a T eine neue Variable Y a und die Regel Y a a, Ersetze auf jeder rechten Seite einer Regel a durch Y a

9 Beispiel für Schritt 1 A AbcDeF (mit A,D,F V, b,c,e T) wird ersetzt durch Schritt 2: Lange rechte Seiten A B 1 B m (mit m 3, A,B 1,,B m V) wird ersetzt durch A B 1 C 1 A AY b Y c DY e F, Y b b, Y c c, Y e e C 1 B 2 C 2 C i B i+1 C i+1 C m-2 B m-1 B m (für 1 i m-3) Dabei sind C 1,,C m-2 neue Variablen, die nur für die betrachtete Regel eingeführt werden Resultat der Schritte 1 und 2 Nur noch Regeln der Form: A ε (ε-regeln) A B (Kettenregeln) A BC (o.k.) A a (o.k.) Bisher: Grammatik hat sich nur um konstanten Faktor vergrößert. 541