Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie

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1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) besteht aus endlichem Alphabet Σ endlicher Variablenmenge V mit V Σ= Startsymbol SєV endlicher Menge R с (V Σ) + x(v Σ)* von Ableitungsregeln ( Produktionen ) 1

2 Überführungsrelation einer Grammatik Def.: Sei G=(Σ,V,S,R) Grammatik w є (V Σ) + wird durch G in z є (V Σ) * überführt, falls w = w 1 lw 2 und z = w 1 rw 2 und (l,r)єr Überführungsrelation wird mit G bezeichnet: w G z transitiver Abschluss von G wird mit * G bezeichnet: w * G z w=w 1,w 2,,w n =z 1 i<n : w i-1 G w i 2

3 Von einer Grammatik erzeugte Sprache Def.: Sei G=(Σ,V,S,R) Grammatik. L(G) := { w є Σ* S * G w} ist die von G erzeugte Sprache 3

4 Von einer Grammatik erzeugte Sprache Bsp.: Σ = {(,), a, +, *} V = {S} R = {S (S)+(S), S (S)*(S), S a, S a+a, S a*a } L(G) = korrekt geklammerte arithmetische Ausdrücke 4

5 Von einer Grammatik erzeugte Sprache Bsp.: Σ = {0,1} V = {S} R = {S 0S0, S 1S1, S 0, S 1, S ε} L(G) = Palindrome über {0,1} 5

6 Wortproblem einer Grammatik Def.: Das Problem, zu einer Grammatik G zu entscheiden, ob für wєσ* gilt wєl(g), heisst Wortproblem von G 6

7 Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) heisst Typ-3 Grammatik ( rechtslinear ), falls alle Regeln folgende Form haben: l r mit lєv und r=ε oder r=ab wobei aєσ, BєV Typ-2 Grammatik ( kontextfrei ), falls alle Regeln folgende Form haben: l r mit lєv und rє(v Σ)* Typ-1 Grammatik ( kontextsensitiv bzw. monoton ), falls alle Regeln folgende Form haben: S ε oder l r mit lєv +, rє(v Σ\{S}) + und l r Typ-0 Grammatik sonst 7

8 Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Sprache L heisst Typ-i Sprache, falls es eine Typ-i Grammatik G gibt, so dass L=L(G) 8

9 Charakterisierung von Typ-0 Sprachen Satz: L ist Typ-0 Sprache gdw. L ist rekursiv aufzählbar Bew.: L ist Typ-0 Sprache es gibttyp-0 Grammatik G=(Σ,V,S,R) mit L=L(G) Ziel: Konstruiere ntm M mit L=L(M) (Arbeitsband speichert aktuelles Wort (anfangs S)) wähle nichtdeterministisch eine anwendbare Regel rєr wende r auf das aktuelle Wort an vergleiche aktuelles Wort mit Eingabe w und akzeptiere w bei Übereinstimmung 9

10 Charakterisierung von Typ-0 Sprachen Satz: L ist Typ-0 Sprache gdw. L ist rekursiv aufzählbar Bew.: L ist rekursiv aufzählbar es gibt dtm M=(Q,Σ,Γ,δ,q 0,b,F) mit L=L(M) Ziel: KonstruiereTyp-0 Grammatik G=(Σ,V,S,R) mit L=L(G) Idee: G beschreibt Rückwärtsrechnung von (eindeutiger) akzeptierender Endkonfiguration zu (eindeutiger) Anfangskonfiguration 10

11 Charakterisierung von Typ-0 Sprachen Bew.: o.b.d.a. gelte für M: q 0 wird nur in der Anfangskonfiguration benutzt genau ein akzeptierender Zustand q* existiert bei Akzeptanz stehen nur noch bs auf dem Band q 0 wb ist Anfangskonfiguration bei Eingabe w akzeptierende Endonfigurationen sind von der Form b...bq*b...b 11

12 Charakterisierung von Typ-0 Sprachen Bew.: Regeln von G: Anfangsregeln: S q*, q* q*b, q* bq* Idee: Anfangsregeln erzeugen die akzeptierende Endonfiguration: S * b...bq*b...b Abschlussregeln: für aєγ q 0 a aq 0, q 0 b ε Idee: Abschlussregeln ermöglichen die Ableitung von w aus der Anfangskonfiguration: q 0 wb * w 12

13 Charakterisierung von Typ-0 Sprachen Bew.: Regeln von G: (Rückwärts)rechenregeln: falls δ(q,a) = (q',a',r) (a'q' qa) є R falls δ(q,a) = (q',a',s) (q'a' qa) є R falls δ(q,a) = (q',a',l) bєγ : (q'ba' bqa) є R Offensichtlich: L(G)=L(M) 13

14 Wortproblem für Typ-0 Sprachen Satz: Das Wortproblem für Typ-0 Grammatiken ist unentscheidbar 14

15 Charakterisierung von Typ-3 Sprachen Satz: L ist Typ-3 Sprache gdw. L ist regulär Bew.: L ist Typ-3 Sprache es gibttyp-3 Grammatik G=(Σ,V,S,R) mit L=L(G) Ziel: Konstruiere nea A=(Q,Σ,δ,q 0,F) mit L=L(A) Q := V q 0 := S F := {AєV (A ε) є R} δ(a,a) := {B (A ab) є R} 15

16 Charakterisierung von Typ-3 Sprachen Satz: L ist Typ-3 Sprache gdw. L ist regulär Bew.: w=w 1...w n є L(G) es gibt Ableitung S w 1 A 1 w 1 w 2 A 2... w 1...w n A n w 1..w n A hat Berechnungspfad q 0,q 1,...,q n, wobei q i є δ(q i-1,w i ) und q n є F w є L(A) analog: q 0 * q n є F w є L(G) 16

17 Charakterisierung von Typ-3 Sprachen Satz: L ist Typ-3 Sprache gdw. L ist regulär Bew.: L ist regulär es gibt dea A=(Q,Σ,δ,q 0,F) mit L=L(A) Ziel: KonstruiereTyp-3 Grammatik G=(Σ,V,S,R) mit L=L(G) V := Q S := q 0 (q ε) є R für q є F (q aq') є R falls δ(q,a) = q' 17

18 Charakterisierung von Typ-3 Sprachen Satz: L ist Typ-3 Sprache gdw. L ist regulär Bew.: w=w 1...w n є L(A) A durchläuft Zustände q 0,q 1,...,q n, wobei δ(q i-1,w i ) = q i und q n є F es gibt Ableitung q 0 w 1 q 1 w 1 w 2 q 2... w 1...w n q n w 1...w n w є L(G) analog: q 0 G * w w є L(A) 18

19 Wortproblem für Typ-3 Sprachen Satz: Das Wortproblem für Typ-3 Grammatiken ist entscheidbar 19