L 0 = RE. Theorem Jede von einer Turing-Maschine akzeptierte Sprache kann auch von einer Typ-0 Grammatik generiert werden und umgekehrt, kurz:

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1 L 0 = RE Theorem Jede von einer Turing-Maschine azeptierte Sprache ann auch von einer Typ-0 Grammati generiert werden und umgeehrt, urz: L 0 = RE. Der Beweis erfolgt in zwei Schritten: 1. L 0 RE 2. RE L 0 Beweisidee: Simulation der Ableitungen einer Grammati durch eine TM, bzw. Simulation der Rechnung einer TM durch eine Grammati. F3 03/04 p.162/395

2 L 0 RE onstruiere zu Typ-0 Grammati G eine NTM: opiere das Eingabewort w auf eine Spur des Arbeitsbandes, schreibe auf zweite Spur das Startsymbol S von G; NTM führt die einzelnen Ableitungsschritte auf der zweiten Spur aus; NTM prüft nach jeder Ersetzung nach, ob das Ergebnis mit der Eingabe übereinstimmt und azeptiert bei Gleichheit. F3 03/04 p.163/395

3 RE L 0 O.B.d.A. L RE ist L(M für eine DTM M := (Z, Σ, Γ,δ,q 0,Z end ; Erzeuge aus Startsymbol S beliebige Anfangsonfiguration q 0 w ZΣ und opiere w dahinter; wie eine Grammati für {ww w Σ }; Ableitbareit von {eq 0 w cw w Σ } aus S; Gemäß δ zu q i Z das Nonterminal Q i mit linem und rechtem Nachbarsymbol ersetzen; Einer Endonfiguration entsprechendes Anfangsstüc löschen und in das Terminalwort w überführen. F3 03/04 p.164/395

4 RE L 0 (Forts. y Γ : yq i x Q j yz, falls δ(q i,x = (q j,z,l eq i x eq j z, falls δ(q i,x = (q j,z,l Q i x zq j, falls δ(q i,x = (q j,z,r und x c Q i c zq j c, falls δ(q i, = (q j,z,r Löschen der Konfigurationsinformation: Q i F, falls q i Z end y Γ : Fy F, y Γ : yf F, ef c λ F3 03/04 p.165/395

5 monotone Grammati Was sind monotone Grammatien? Eine Typ-0 Grammati G = (V N,V T,P,S heißt monoton, falls u v P : ( u v. Einzige erlaubte Ausnahme: S λ und S ommt in einer Prodution rechts vor. Kontextsensitive Grammatien sind monoton! Wir önnen monotone Regel ontextsensitiv simulieren, mit neuen Nonterminalen. Damit Terminalsymbole nicht stören, ersetzen wir sie überall durch Nonterminale der Menge: V T := {A A V T }. Am Schluss dann A A für jedes A V T! F3 03/04 p.166/395

6 Simulation einer monotonen Regel Wir önnen monotone Regel ontextsensitiv simulieren, mit neuen Nonterminalen: V N := {( } A A VN V T und 1 P V N V T F3 03/04 p.167/395

7 monotone Regel beliebige monotone Regel grüne und blaue Felder sind neue Nonterminale rot unterlegt ist der jeweilige, unverändert bleibende Kontext. F3 03/04 p.168/395

8 Simulation monotoner Regel Sei A 1 A 2...A n B 1 B 2...B m die -te Regel aus P. hier: 1 i n, 1 j m,n m,a i,b j V N Simulation: ( A1... ( ( A1 A2 ( A1 ( ( An Bn+1 A 1 A 2...A n A 2...A n ( An 1 B 1 B 2... A n ( Bm ( Bm.. ( A1 A 2...A n ( ( A1 A2 ( A1 B 1 ( A A n ( ( An Bn+1 ( Bm... ( Bm B 1 B 2...B m F3 03/04 p.169/395

9 Simulation monotoner Regel (2... zusätzlich werden benötigt: A A für alle A V T. Die einmal begonnene Simulation einer Regel ann nur durch Abarbeiten der simulierenden Regeln beendet werden! Zu jeder monotonen Regel existiert ein Satz simulierender Regeln. Damit haben wir gezeigt, dass L 1 = MON F3 03/04 p.170/395

10 Übung Seien G i := ({S i,a,b,c}, {a,b,c},p i,s i Grammatien mit: P 1 : P 2 : S 1 ABS 1 a ab ac A a C c S 2 AS 2 B λ A a B b Sind G 1 und G 2 ontextsensitiv? Was sind L(G 1 und L(G 2? F3 03/04 p.171/395

11 Entscheidbareitsresultate... zur Wiederholung: Wann ist eine Menge entscheidbar? F3 03/04 p.172/395

12 Wortproblem Jede ontextsensitive Sprache ist entscheidbar, d.h. L 1 REC. Für jedes Wort w ann entschieden werden, ob w L L 1. Es gibt endlich viele Wörter v mit v w. Es gibt eine ontextsensitive Grammati G = (V N,V T,P,S mit L(G = L. Keine Regel verürzt die Satzform! Ohne Satzformwiederholungen gibt es nur endlich viele Ableitungsschritte, bis die Satzform zu lang ist!! F3 03/04 p.173/395

13 L 1 REC RE Diagonalbeweis: (ähnlich L d Die Menge der ontextsensitiven Grammatien ist aufzählbar: G 1,G 2,... Sei f : {0, 1} IN eine berechenbare Bijetion, mit: f(w = i gdw. w ist i-tes Wort in der lexialischen Ordnung auf {0, 1}. L e := {w w / L(G f(w } ist entscheidbar! ABER: L e ist nicht ontextsensitiv! F3 03/04 p.174/395

14 L 1 REC (Fortsetzung Annahme: n mit L(G n = L e. Für das n-te Wort u der lexialischen Aufzählung von {0, 1} mit f(u = n ergibt sich ein Widerspruch für beide möglichen Fälle u L e und u / L e : Def. L u L e e u / L(Gn Annahme u / L e Andererseits ergibt sich auch: Def. L u / L e e u L(Gn Annahme u L e F3 03/04 p.175/395

15 linear beschränte Automaten Gibt es eine Automatenmodell für ontextsensitive Sprachen? Ein linear beschränter Automat (LBA ist eine NTM, die bei beliebiger Eingabe w auf dem Arbeitsband höchstens c w Felder bis zur Azeptierung besucht. c IR + ist eine Konstante, die nicht von w abhängt. Arbeitet die TM bei gleicher Beschränung ihres Arbeitsbandes deterministisch, so wird der linear beschränte Automat mit DLBA abgeürzt. F3 03/04 p.176/395

16 Äquivalenz: LBA = L 1 Die Familie der von LBA s bzw. DLBA s azeptierten Sprachen wird mit LBA bzw. DLBA bezeichnet. Theorem: Es gilt: LBA = MON = L 1 Also: Die ontextsensitiven Sprachen sind genau die durch LBA s azeptierbaren Sprachen! F3 03/04 p.177/395

17 Beweis: MON LBA Diese Inlusion läßt sich auf ähnliche Weise zeigen, wie im Falle von Typ-0 Grammatien und TM: Simuliere Ableitung in monotoner Grammati auf einer NTM. Brich ab, sobald die abgeleitete Satzform auf Spur 2 länger ist als das Eingabewort. Azeptiere, falls Satzform auf Spur 2 exat mit dem Eingabewort übereinstimmt. Diese Maschine benötigt nur c w Platz. F3 03/04 p.178/395

18 Beweis: LBA MON Gegeben ist ein LBA, d.h. eine TM, die mit c w Platz ausommt. Die Konstrution für TM und Typ-0-Grammati liefert eine monotone Grammati! Deshalb muss eine andere Simulation gewählt werden. Zunächst normieren wir den LBA auf Platzbedarf max. w. F3 03/04 p.179/395

19 Bandompression Für 0 c 1 ist nichts zu tun. Ansonsten. Vergrößerung der Bandalphabets und Blocbildung. Bloclänge r IN ; Bandbedarf nur noch c r w ; Für r := min(n IN n c sind das höchstens w Felder. }r r r r } } } F3 03/04 p.180/395

20 Symbole für die Simulation Erlärung der verwendeten Nonterminale: 1. Spur 2. Spur 3. Spur 4. Spur x y $ q Eingabesymbol Bandsymbol Anfang-/Ende-Marer Zustand/Kopfposition F3 03/04 p.181/395

21 Simulation des LBA Die Anfangs-Konfiguration q 0 w für ein beliebiges Wort w Σ wird aus S mit folgenden Regeln erzeugt: S A x x c, A A x x und A x x e q 0, für alle x Σ. F3 03/04 p.182/395

22 Simulation des LBA-Befehle Linsschritt: Für x 1,x 2,x 3 Σ, y 1,y 2 Γ und für (p,y,z,l,q K, folgende Regeln in G: x 1 y 1 x 2 y p x 1 y 1 q x 2 z, x 1 y 1 e x 2 y p x 1 y 1 e q x 2 z x 1 y 1 e x 2 y c p x 1 y 1 e q x 2 z c F3 03/04 p.183/395

23 Simulation des LBA-Befehle (2 Rechtsschritt: Für x 1,x 2,x 3 Σ, y 1,y 2 Γ und für (p,y,z,r,q K, folgende Regeln in G: x 2 y p x 3 y 2 x 2 z x 3 y 2 q, x 2 y p x 3 y 2 c x 2 z x 3 y 2 c q x 2 y e p x 3 y 2 c x 2 z e x 3 y 2 c q F3 03/04 p.184/395

24 Ende der Simulation Bei Erreichen eines Endzustands des LBA müssen alle Nonterminale in entsprechende Terminalsymbol überführt werden. Für alle x,z Σ, y Γ und & {,e, c} folgende Regeln: x y & q x falls q Z end, x y & z xz, z x y & zx F3 03/04 p.185/395

25 Problem/Fehler dieser Simulation... leider stect ein Fehler in diesem Satz von Regeln! Es önnen nur Wörter w mit w 2 generiert werden! Warum? c und e sind eine echten Begrenzer! Abhilfe: alle Wörter bis zur Länge 2 daraufhin untersuchen, ob sie vom LBA azeptiert werden! Zusätzliche Regeln S x für diejenigen x {λ} V T, die dazugehören müssen! Warum ist x L(LBA entscheidbar? Es gibt nur endlich viele Rechnungen ohne Schleifen für ein Wort! F3 03/04 p.186/395

26 Vorteile der LBA-Darstellung Mit den Produtionen ann ein terminales Wort erzeugt werden, gdw. es eine Erfolgsrechnung für w im LBA mit w Speicherplatz gibt. Mit Hilfe der Charaterisierungen von Sprachfamilien durch Automaten, lassen sich häufig Abschlusseigenschaften leichter beweisen als mit Grammatien. Die Familie L 1 = LBA ist gegen Durchschnittsbildung abgeschlossen. Beweisidee: Spurenbildung und Kombination der beiden LBA s F3 03/04 p.187/395