Theoretische Informatik Mitschrift

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1 Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF <anweisung> <wertzuweisung> <while-anweisung> <wertzuweisung> <variable> := <ausdruck> <variable> A B C <ausdruck> <Zahl> <variable> <ausdruck> <op> <ausdruck> <Zahl> <op> + - * <while-anweisung> while <bedingung> do <anweisung>... Struktur solcher Regelsysteme: Nonterminalsymbole (Variablen) Hilfssymbole zur Herleitung von Wörtern in BNF: <...> Terminalsymbole = Elemente aus Σ im Bsp.: A, B, C, :=, 1,..., 9, +, -, *, while, do Startsymbol S = spezielles Nonterminalsymbol im Bsp.: <anweisung> Regeln/Produktionen = Ersetzung von Teilwörtern durch andere Definition 2.1 (Noam Chomsky, 1956, Linguist): Eine Grammatik (Chomsky-Grammatik, Phrasenstrukturgrammatik) ist ein Quadrupel N,, P,S mit - N ist Alphabet mit Terminalsymbolen - ist Alphabet mit Terminalsymbolen Es gilt: N = - P ist endliche Menge von Produktionen (Regeln) Sei X := N. P X * N X * (linke Regelseite mit min. einem Nonterminal) - S N ist Startsymbol X * rechte Regelseite Schreibweise für Regeln: g 2, falls 1, 2 P

2 Definition 2.2: Sei G= N,, P, S Grammatik, X := N. a) Die Ableitungsrelation g X * X * wird definiert durch: g ' :, X *, 1 2 P : = 1 '= 2. Sprechweise: ist in einem Schritt zu ' ableitbar. g bezeichnet die reflexive transitive Hülle von g. Falls g, sagt man: ist aus ableitbar. b) Die von G erzeugte Sprache ist L G ={w S w}. g c) Äquivalenz von Grammatiken: G 1 G 2 L G 1 =L G 2 Bezeichnungskonventionen: a,b,c,...,0,1,2,... Terminale N A,B,C,...,S Nonterminale (S Startsymbol) X = N u,v,w,... X *,,,... Satzformen u,v,w,... Terminalwörter Beispiel: G 0 = {S, M, A, B},{a,b}, P 0, S mit P 0 : S amb M A B A aa ε B bb ε S g amb g aab g ab L G 0 ={awb w {a}* {b }*} G= N,, P, S N, disjunkte Alphabete N A, B,C,... Nonterminale, Variablen a, b,c,... Terminale P N * N N * N * N *,,... Satzformen * u,v,w... Terminalwörter, P wird geschrieben als. Ableitungsdefinition: g N * N * S N Startsymbol Sprache von G : L G :={w * S g *w }

3 Beispiel: Finde G mit L G ={a n b n c n n 1}. ={a,b,c}, N ={S, B,C } P : S abc asbc ab ab bb bb bc bc cc cc CB BC Beispielableitung: S asbc aasbcbc aasbbcc aaabcbbcc aaabbcbcc aaabbbccc 6 a 3 b 3 c 3 S asbc aasbcbc aasbbcc aaabcbbcc a 3 bcb 2 C 2 a 3 bcb 2 C 2 (Sackgasse) z.z.: (i) (ii) L G {a n b n c n n 1} {a n b n c n n 1} L G Chomsky-Hierarchie: Einteilung von Grammatiken in Typen 0 3. Definition 2.3: Sei G= N,, P, S,i {0,1,2, 3} G heißt vom Typ i oder Typ-i -Grammatik, falls: G die Eigenschaft ( i ) besitzt: (0) "rekursiv aufzählbar" (keine Einschränkung) (1) "kontextsensitiv": für jede Regel 1 2 P gilt: =S, 2 = und, falls S P, darf S nicht auf der rechten Regelseite einer Regel in P auftreten. (2) "kontextfrei": 1 2 P : 1 N, d.h. nur Regeln der Form A. (3) "regulär" oder "einseitig linear": 1 2 P : 1 N, 2 * N * d.h. rechtslineare Regeln der Form A wb bzw. A w oder 1 2 P : 1 N, 2 N * * d.h. linkslineare Regeln der Form A Bw bzw. A w Beispiel: G 0 = {S, M, A, B},{a,b}, P 0, S P 0 : S amb M A B A aa B bb Typ-2-Grammatik mit L G 0 ={awb w {a}* {b}*} S G 0 amb G0 aab G 0 aaab G 0... G 0 aa...aab G 0 a...ab

4 als rechtslineare Typ-3-Grammatik: P 0 : S am M A B A aa b B bb b S G 0 ' am G 0 ' aa G0 '...aa...aa G 0 ' aa...ab Jede Typ-3-Grammatik ist auch Typ-2-Grammatik, aber nicht jede Typ-2-Grammatik ist auch Typ- 1-Grammatik. Problem: In Typ-2-Grammatiken sind beliebige ε-regeln, d.h. Regeln der Form A ε erlaubt, in Typ-1-Grammatiken aber nicht. Definition 2.4: Eine formale Sprache L * heißt vom Typ i bzw. Typ-i-Sprache, falls es eine Typ-i-Grammatik gibt, die L erzeugt, d.h. mit L = L(G). Sei L i :={L * L vom Typ i}. Definition 2.5: Eine Typ-2-Grammatik G= N,,P, S heißt ε-frei, falls für jede Regel A P gilt: N + oder A = S und α = ε und S tritt auf keiner rechten Regelseite in P auf. Es folgt: ε-freie Typ-2-Grammatiken sind auch vom Typ 1. Satz 2.1: Jede kontextfreie Grammatik G= N,, P,S lässt sich in eine äquivalente, ε-freie kontextfreie Grammatik G'= N ',,P',S ' transformieren. Beweis: Sei N :={A N A g * }. Zeige zunächst, dass N in endlich vielen Schritten berechnet werden kann. N Mit 1 :={A N A P} gilt offensichtlich: N k 1 :=N k {A N A B 1... B l P und j: B j N k } 1) N = N k =N n k 1 2) k : N k N k 1 N 3) Mit n= N gilt: N n = N n k für alle k 1 4) L G S N. Definieren nun G '= N ',,P ', S ' durch N '=N {S ' } P ' :=P {A P } {S ' S N } {S ' S } 1 A 1 2 A 2... k A k k 1 P, {B 1... k 1 B } {A 1,..., A k } N, 1... k 1 N * Es folgt L(G) = L(G'), denn in G' wird die Möglichkeit ε herzuleiten durch die zusätzlichen Regeln vorweggenommen. Formal erfolgt der Beweis induktiv über die Ableitungslänge.

5 Klassifikation von Grammatiken Typ-3: - rechtslinear der Form A wb, A w - linkslinear der Form A Bw, A w Typ-2: kontextfrei: A Typ-1: kontextsensitiv: 1 2 mit 1 2 oder 1 =S 1 2 = und falls S existiert, darf S auf keiner rechten Regelseite auftreten. Typ-0: rekursiv aufzählbaren: 1 2 beliebig Sprachklassen: L i :={L * G vom Typ i mit L= L G } Es gilt: L 3 L 2 L 1 L 0 Jede Typ-3-Grammatik ist auch vom Typ 2. Jede Typ-2-Grammatik ist in äquivalente ε-freie Typ-2-Grammatik transformierbar. Jede ε-freie Typ-2-Grammatik ist vom Typ 1. Jede Grammatik ist vom Typ 0. Falls 1, gilt sogar: L 3 L 2 L 1 L 0 {a n b n n 1} L 2 L 3 Beweis später S asb ab {a n b n c n n 1} L 1 L 2 Falls =1, gilt: L 3 =L 2 (ohne Beweis) Es gilt: L 0 Menge aller Sprachen die durch Grammatiken erzeugbar ist abzählbare Menge * Menge aller formalen Sprachen nicht abzählbare Menge

6 Abzählbare und nicht-abzählbare Mengen Definition 2.6: Eine Menge M heißt abzählbar, falls sie endlich ist oder falls es eine totale, bijektive Abbildung f :N M gibt, d.h. jedem m M wird eine eindeutige natürliche Zahl zugeordnet und jede Zahl tritt als Nummer auf. M ={ f i i 0}={ f 0, f 1, f 2,...} Nicht abzählbare Mengen nennt man überabzählbar. Es gilt: Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. Jede Obermenge einer überabzählbaren Menge ist überabzählbar. Beispiele: abzählbare Mengen: {2n n 0},Z,Q, * (lexikographische Aufzählung) L 0 überabzählbar: R * Lemma: * ist überabzählbar. Beweis (Diagonalisierungsprinzip nach Cantor): Annahme, * sei abzählbar, d.h. * ={L 0, L 1, L 2,...}. Sei *={w 0,w 1,w 2,...} eine Aufzählung von *. Stelle folgende Tabelle auf: w 0 w 1 w 2 w 3... L 0 b 00 b 01 b 02 b L 1 b 10 b L 2 b Mithilfe der Diagonalen der obigen Tabelle definieren wir L D ={w j w j L j b jj =0 } *. D.h. es muss ein k geben mit L D = L k. Für w k folgt: w k L D =L k w k L k =L D q.e.d. Wortproblem: Gegeben: Sprache nicht? L * (z.b. durch Grammatik). Gegeben: w *. Ist w L oder Frage: Für welche Sprachklassen ist das Wortproblem entscheidbar, d.h. kann das Problem effektiv gelöst werden?

7 Entscheidbare Mengen: Eine Menge M U heißt entscheidbar, falls ein Algorithmus angegeben werden kann, der zu einem o U in endlicher Zeit feststellt, ob o M oder o M. Satz 2.2: Das Wortproblem für Typ-1-Sprachen (und damit auch für Typ-2- und Typ-3-Sprachen) ist entscheidbar, d.h. es gibt einen Algorithmus, der immer terminiert und zu einer Typ-1-Grammatik G und einem Wort w * entscheidet, ob w L G. Beweisidee: Für w = ε ist nichts zu zeigen. Sei w +. Für jede Ableitung S n =v + gilt: n = v. Da es nur endlich viele Satzformen N * der Länge v gibt, kann man durch systematisches Durchprobieren feststellen, ob w L G oder nicht q.e.d. Damit folgt: L 1 Beweis der echten Inklusion später {L L entscheidbar} L. Halteproblem 0