Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt

Transkript

1 Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Reguläre Sprachen Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius Theoretische Informatik Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg SS / 82

2 Gliederung 1 Lernziele 2 Grammatiken 3 Reguläre Sprachen 4 Deterministische endliche Automaten 5 Nichtdeterministische endliche Automaten 6 Reguläre Ausdrücke 7 Zusammenfassung 2 / 82

3 Worum geht es in diesem Abschnitt? (I) Erste Formalismen zur endlichen algorithmischen Beschreibung von formalen Sprachen (= Lösung der entsprechenden Entscheidungsprobleme): Automaten und Grammatiken Praktische Anwendungen: Compilerbau: lexikalische Analyse, Parsing, Textprocessing Automatische Systemanalyse: z.b. formale Verifikation von nicht-trivialen Eigenschaften (Modelchecking) Chomsky-Hierarchie: Hierarchie von Klassen von formalen Sprachen und Grammatiken (und Maschinenmodellen) (setzt die verschiedenen Sprachklassen in Beziehung zueinander) 3 / 82

4 Lernziele Grammatiken Reguläre Sprachen DFA NFA Reguläre Ausdrücke Zusammenfassung Noam Chomsky Amerikanischer Linguist, Philosoph, Logiker, Historiker und politischer Aktivist Vater der modernen Linguistik Analytische Philosophie Über 100 Bücher Bekannte Entdeckungen: Chomsky-Hierarchie Chomsky-Schützenberger Satz Noam Chomsky (1928 ) Quelle: Wikipedia Einfluss auf: künstliche Intelligenz, Kognitionswissenschaft, Mathematik, Logik, Informatik, Programmiersprachentheorie, Psychologie und Politikwissenschaft. 4 / 82

5 Worum geht es in diesem Abschnitt? (II) Jetzt als Erstes: Reguläre Sprachen besonders einfach z.b. Suche nach regulären Ausdrücken in Texten Mechanismen zur Erzeugung/Beschreibung regulärer Sprachen: reguläre Grammatiken reguläre Ausdrücke deterministische und nichtdeterministische endliche Automaten 5 / 82

6 Lernziele wissen, wie eine reguläre Sprache erzeugt und akzeptiert werden kann die Chomsky-Hierarchie kennen und Eigenschaften der ihr zugeordneten Grammatik-Typen benennen können 6 / 82

7 Grammatiken 7 / 82

8 Zur Erinnerung: Formale Sprachen Definition Sei Σ ein Alphabet. (d.h. eine nicht leere, endliche Menge) Eine (formale) Sprache L über Σ ist eine beliebige Teilmenge von Σ (= Menge aller Wörter über Σ): L Σ. Die leere Teilmenge heißt leere Sprache. Zu jeder Sprache L über Σ gehört das Entscheidungsproblem: Eingabe: w Σ Aufgabe: entscheide, ob w L gilt. 8 / 82

9 Formale Sprachen Beispiel Σ = {(, ), +,,, /, a} Sprache der korrekt geklammerten arithmetischen Ausdrücke: EXPR Σ (a a) a + a/(a + a) a EXPR (((a))) EXPR ((a+) a( / EXPR (a Platzhalter für beliebige Konstanten oder Variablen) 9 / 82

10 Grammatiken (I) Sprachen enthalten im Allgemeinen unendlich viele Wörter algorithmischer Umgang mit Sprachen erfordert endliche Beschreibung dazu dienen Grammatiken und Automaten Beispiel für Grammatik Satz Subjekt Prädikat Objekt Subjekt Artikel Attribut Substantiv Artikel ε Artikel der Artikel die Artikel das Attribut ε Attribut Adjektiv Attribut Adjektiv Attribut 10 / 82

11 Grammatiken (II) Beispiel für Grammatik (Fortsetzung) Adjektiv kleine Adjektiv bissige Adjektiv große Substantiv Hund Substantiv Katze Prädikat jagt Objekt Artikel Attribut Substantiv in spitzen Klammern : Nicht-Terminale (oder Variable) ohne spitze Klammern: Terminale Frage: Gehört der Satz der kleine bissige Hund jagt die große Katze zu der Sprache, die von der Grammatik erzeugt wird? 11 / 82

12 Syntaxbaum Elternknoten mit linker Seite einer Regel beschriftet Kinder sind Objekte auf der rechten Seite der Regeln mit dieser Grammatik ist unendliche Sprache darstellbar, z.b. der Hund jagt die } kleine kleine {{ kleine} Katze beliebige endliche Anzahl 12 / 82

13 Grammatiken (III) Grammatiken besitzen Regeln der Form linke Seite rechte Seite Links und rechts zwei Typen von Symbolen: Nicht-Terminale (oder Variablen) aus denen noch weitere Wortbestandteile abgeleitet werden sollen Terminale die eigentlichen Symbole Vorheriges Beispiel: Auf der linken Seite befindet sich immer genau ein Nicht-Terminal (sog. kontextfreie Grammatik). Es gibt aber allgemeinere Grammatiken. 13 / 82

14 Definition einer Grammatik Definition Eine Grammatik ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, P, S) mit V endliche Menge der Nicht-Terminale (oder Variablen) Σ Alphabet der Terminale P endliche Menge der Regeln (oder Produktionen): P (V Σ) + (V Σ) S V Startvariable. 14 / 82

15 Schreibweisen Variablen (Elemente aus V ) mit Großbuchstaben: A, B, C,... Terminalsymbole (Elemente aus Σ) oft mit Kleinbuchstaben: a, b, c,... Wörter (Elemente aus Σ ) mit Kleinbuchstaben um w herum :..., u, v, w,... Regeln mit einem Pfeil : u v statt (u, v) P. (d.h. (V Σ) + (V Σ) Relation) 15 / 82

16 Beispiel einer Grammatik Beispiel G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, B, C}, Σ = {a, b, c} und P besteht aus: S asbc S abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc Frage: Wie beschreiben Grammatiken Wörter formaler Sprachen? 16 / 82

17 Ableitungen (I) Definition Seien u, v (V Σ). Definiere die Relation u G v ( G (V Σ) (V Σ )) ( v aus u mit G direkt ableitbar ) falls u = xyz und v = xy z mit x, y (V Σ) und y y Regel in P. G sei die reflexive, transitive Hülle von G, d.h.: u G v falls es w 0, w 1, w 2,..., w n (n N) gibt mit u = w 0 G w 1 G w 2 G G w n = v ( v aus u mit G ableitbar ) (in n = 0, 1, 2,... Schritten) Die Folge w 0, w 1,..., w n heißt Ableitung (von v aus u). Wir schreiben meist: bzw. statt G und G. 17 / 82

18 Ableitungen (II) Beispiel Für G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, B, C}, Σ = {a, b, c} und P: S asbc S abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc Es gilt: S aaabbbccc, denn S asbc aasbcbc aaabcbcbc aaabbccbc aaabbcbcc aaabbbccc aaabbbccc aaabbbccc aaabbbccc aaabbbccc aaabbbccc aaabbbccc Es gilt auch: asbc aaabbbccc. 18 / 82

19 Erzeugte Sprache einer Grammatik (I) Definition Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik. G erzeugt ein Wort w Σ, falls S w gilt. Die von G erzeugte Sprache ist L(G) = {w Σ S w}. (genau alle von G erzeugten Wörter über Σ) 19 / 82

20 Erzeugte Sprache einer Grammatik (II) Beispiel G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, B, C}, Σ = {a, b, c} und P: S asbc S abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc (Ohne Beweis) G erzeugt die Sprache: L(G) = {a n b n c n n 1}. 20 / 82

21 Ableiten und Nichtdeterminismus (I) Bemerkung: Ableiten ist ein nichtdeterministischer Prozess. Für ein Wort u (V Σ) kann es entweder gar kein, ein oder mehrere v geben mit u v. Mit anderen Worten: ist keine Funktion. Dieser Nichtdeterminismus kann durch zwei verschiedene Effekte verursacht werden / 82

22 Ableiten und Nichtdeterminismus (II) Zwei verschiedene Regeln sind anwendbar: In der Beispiel-Ableitung: Eine Regel ist an zwei verschiedenen Stellen anwendbar: In der Beispiel-Ableitung: 22 / 82

23 Weitere Bemerkungen zum Ableiten Es kann beliebig lange Pfade geben, die nie zu einem Wort aus Terminalsymbolen führen: S asbc aasbcbc aaasbcbcbc Pfade können in einer Sackgasse enden, d.h. obwohl noch Variablen vorkommen, ist keine Regel mehr anwendbar: S asbc aabcbc aabcbc aabcbc 23 / 82

24 Die Chomsky-Hierarchie (I) Allgemeine Grammatiken (und auch später Turing-Maschinen) erzeugen genau die sogenannten semi-entscheidbare Sprachen. Entscheidbare Sprachen nur dann, wenn die Erzeugungs- Mächtigkeit der Grammatiken eingeschränkt wird. Im Folgenden: bestimmte eingeschränkte Typen von Grammatiken: 24 / 82

25 Die Chomsky-Hierarchie (II) Definition (Typ 0-, Typ 1-, Typ 2-, Typ 3-Grammatiken) Typ 0: Jede Grammatik ist vom Typ 0. (keine Einschränkungen der Regelform) Typ 1: Eine Grammatik ist vom Typ 1 oder kontextsensitiv, falls alle Regeln in P von einer der folgenden Formen sind: S ε oder uav uwv mit A V, u, v (Σ V ) und w (Σ V ) +. Typ 2: Eine Grammatik ist vom Typ 2 oder kontextfrei, falls alle Regeln in P in der folgenden Form sind: A w mit A V, w (Σ V ). 25 / 82

26 Die Chomsky-Hierarchie (III) Definition (Typ 0-, Typ 1-, Typ 2-, Typ 3-Grammatiken) Typ 3: Eine Grammatik ist vom Typ 3 oder regulär, falls alle Regeln in P in der folgenden Form sind: A ε, A a oder A ab mit A, B V, a Σ. (d.h. rechte Seiten entweder leer oder einzelne Terminalzeichen oder ein Terminalzeichen gefolgt von einer einzelnen Variablen.) Woher kommen die Namen kontextfrei und kontextsensitiv? Bei kontextfreien Grammatiken: Regeln der Form A w: In Ableitungen uav uwv wird A immer unabhängig vom Kontext ersetzt. Bei kontextsensitiven Grammatiken ist uav uwv möglich: A kann nur in Kontexten mit u und v durch w ersetzt werden. 26 / 82

27 Die Chomsky-Hierarchie (IV) Schreibweise: Statt A w 1, A w 2,..., A w n (d.h. gleiche linke Seite) schreibe: A w 1 w 2 w n. Beispiele Typ 2- bzw. kontextfreie Grammatik S acb C C c Cc Typ 3- bzw. reguläre Grammatik S as au U bb b 27 / 82

28 Die Chomsky-Hierarchie (V) Definition (Typ 0-, Typ 1-, Typ 2-, Typ 3-Sprachen) Eine Sprache L Σ heißt vom Typ 0 (Typ 1, Typ 2, Typ 3), falls es eine Typ 0- (Typ 1-, Typ 2-, Typ 3-) Grammatik G gibt mit L(G) = L. Typ-2-Sprachen heißen auch kontextfrei. Typ-3-Sprachen heißen auch regulär. 28 / 82

29 Die Chomsky-Hierarchie (VI) Typ 1-Grammatiken sind vom Typ 0 Typ 2-Grammatiken sind vom Typ 1 (können leicht umgewandelt werden) Typ 3-Grammatiken sind vom Typ 2 = Sprachklassen ineinander enthalten Außerdem: die Inklusionen sind echt. (z.b. gibt es kontextfreie Sprachen, die nicht regulär sind) 29 / 82

30 Reguläre Sprachen 30 / 82

31 Reguläre Grammatiken (I) Definition (Erinnerung) Eine Grammatik G = (V, Σ, P, S) heißt regulär, wenn jede Regel in P von einer der folgenden Formen ist: A ε, A a oder A ab (rechtslineare Regel) mit A, B V und a Σ. Beispiel einer regulären Grammatik Grammatik G 3a mit V = {A, B, C}, Σ = {a, b}, S = A und Regeln A ab ba ε, B ac bb, C aa bc 31 / 82

32 Reguläre Grammatiken (II) Beispiel einer Ableitung Regeln: A ab ba ε, B ac bb, C aa bc Ableitung: A ba bab baac baabc baabaa baaba 32 / 82

33 Reguläre Sprachen (I) Sei nun L 3a = {w {a, b} w a ist durch 3 teilbar}. Behauptung: L 3a ist eine reguläre Sprache, denn es gilt L 3a = L(G 3a ). Beweis: Für alle w {a, b} gilt: a) A w w a ist durch 3 teilbar. b) B w w a + 1 ist durch 3 teilbar. c) C w w a + 2 ist durch 3 teilbar. Aus a) folgt dann L 3a = L(G 3a ). 33 / 82

34 Reguläre Sprachen (II) Beweis durch Induktion über den Aufbau von w: (wir schreiben: t 3 (x) für x ist durch 3 teilbar ): 1.) w = ε: es gilt t 3 ( w a ) und A w, nicht B w und nicht C w. Daher gelten a), b) und c). 2) w ε: dann ist w = aw oder w = bw (w Σ ). 1. Fall: w = aw. Dann gilt (mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf w ): (A w) (B w ) t 3 ( w a + 1) t 3 ( w a ), (B w) (C w ) t 3 ( w a + 2) t 3 ( w a + 1), (C w) (A w ) t 3 ( w a ) t 3 ( w a + 2). 34 / 82

35 Reguläre Sprachen (III) Beweis durch Induktion über den Aufbau von w (Fortsetzung): 2) w ε (Fortsetzung): 2. Fall: w = bw. Dann gilt (mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf w ): (A w) (A w ) t 3 ( w a ) t 3 ( w a ), (B w) (B w ) t 3 ( w a + 1) t 3 ( w a + 1), (C w) (C w ) t 3 ( w a +2) t 3 ( w a +2). In jedem Fall gelten also a), b) und c) für w. 35 / 82

36 Deterministische endliche Automaten (DFA) 36 / 82

37 Deterministische endliche Automaten (I) Bisher: Grammatiken erzeugen Wörter formaler Sprachen aus nichts. Jetzt: Verarbeitung von Wörtern durch abstrakte Maschinen: endliche Automaten verarbeiten (akzeptieren) eingegebene Wörter 37 / 82

38 Deterministische endliche Automaten (II) Arbeitsweise eines endlichen Automaten M: liest die Eingabe von links nach rechts Symbole der Eingabe werden nicht verändert für jedes gelesene Symbol ändert M seinen internen Zustand Zustände zeigen an, ob (bis jetzt) gelesenes Wort akzeptiert/nicht akzeptiert wird 38 / 82

39 Deterministische endliche Automaten (III) Graphische Notation: Beispiel: (Σ = {a, b}) 39 / 82

40 Deterministische endliche Automaten (IV) Definition Ein deterministischer endlicher Automat (deterministic finite automaton, DFA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E) eine endliche Menge Z von Zuständen, ein Eingabealphabet Σ, gegeben durch eine totale Überführungsfunktion δ : Z Σ Z, einen Startzustand z 0 Z, eine Menge E Z von Finalzuständen (auch Endzustände oder akzeptierende Zustände). Warum deterministisch? Weil für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol genau ein Folgezustand existiert. 40 / 82

41 Ablauf eines DFA (I) Beispiel 41 / 82

42 Ablauf eines DFA (II) Beispiel (Fortsetzung) 42 / 82

43 Mehr-Schritt-Übergänge eines DFA (I) Arbeitsweise und akzeptierte Wörter/Sprache eines DFA soll jetzt formalisiert werden. Dazu: Erweiterung der Übergangsfunktion δ : Z Σ Z auf Wörter: ˆδ : Z Σ Z, Definition (Mehr-Schritt-Übergänge) Zu einem gegebenen DFA M = (Z, Σ, δ, z 0, E) definieren wir eine Funktion ˆδ : Z Σ Z induktiv: ˆδ(z, ε) = z, ˆδ(z, aw) = ˆδ(δ(z, a), w) (z Z, a Σ, w Σ ). 43 / 82

44 Mehr-Schritt-Übergänge eines DFA (II) ˆδ(z, w) ist der Zustand, den der Automat erreicht, nachdem er w abgearbeitet hat. Für ˆδ gilt offenbar: a) a Σ ˆδ(z, a) = δ(z, a) b) a 1,..., a n Σ ˆδ(z, a 1 a n ) = δ( δ(δ(z, a 1 ), a 2 ),..., a n ) c) u, v Σ ˆδ(z, uv) = ˆδ(ˆδ(z, u), v) 44 / 82

45 Akzeptierte Sprache eines DFA (I) Definition Sei M = (Z, Σ, δ, z 0, E) ein DFA. M akzeptiert ein Wort w Σ, falls ˆδ(z 0, w) E gilt. Die von M akzeptierte Sprache ist L(M) = {w Σ M akzeptiert w}. Von M akzeptierte Sprache: Menge aller Wörter, die M vom Startzustand in einen Endzustand überführen. 45 / 82

46 Akzeptierte Sprache eines DFA (II) Beispiel 1 Sei Σ = {a, b, c}. DFA, der die folgende Sprache L akzeptiert: L = {w Σ w enthält abc} 46 / 82

47 Akzeptierte Sprache eines DFA (III) Beispiel 2 M 3a = ({z 0, z 1, z 2 }, {a, b}, δ, z 0, {z 0 }) mit δ(z 0, a) = z 1, δ(z 1, a) = z 2, δ(z 2, a) = z 0, δ(z 0, b) = z 0, δ(z 1, b) = z 1, δ(z 2, b) = z 2. Zustandsübergangsgraph 47 / 82

48 Akzeptierte Sprache eines DFA (IV) Beispiel 2 (Fortsetzung) Dann gilt z.b. ˆδ(z 0, ε) = z 0 {z 0 } ˆδ(z 0, abaa) = ˆδ(δ(z 0, a), baa) = ˆδ(z 1, baa) = ˆδ(δ(z 1, b), aa) = ˆδ(z 1, aa) = ˆδ(δ(z 1, a), a) = ˆδ(z 2, a) = ˆδ(δ(z 2, a), ε) = ˆδ(z 0, ε) = z 0 {z 0 } 48 / 82

49 Akzeptierte Sprache eines DFA (V) Beispiel 2 (Fortsetzung) ˆδ(z 0, bba) = ˆδ(z 0, ba) = ˆδ(z 0, a) = z 1 {z 0 } Also: ε L(M 3a ), abaa L(M 3a ), bba L(M 3a ). 49 / 82

50 Akzeptierte Sprache eines DFA (VI) Beispiel 3 DFA, der die folgende Sprache akzeptiert (mit Σ = {a, b}): L b = {w Σ w = bw mit w Σ } Zustandsgraph: Beachte: z 2 ( Fehler- ) Zustand, von dem aus kein akzeptierender Zustand mehr erreichbar ist. 50 / 82

51 Zusammenhang DFA und reguläre Grammatik (I) Konstruktion: DFA reguläre Grammatik Sei M = (Z, Σ, δ, z 0, E) ein DFA. Konstruiere Grammatik G M = (Z, Σ, P, z 0 ) mit Regeln: P : z az für alle z, z Z, a Σ mit δ(z, a) = z, z ε für alle z E. G M ist offenbar regulär. Anschaulich: Zustandsbezeichner z i von M Variablensymbole in G M Zustandsübergänge Regeln 51 / 82

52 Zusammenhang DFA und reguläre Grammatik (II) Beispiel Für den DFA M 3a = ({z 0, z 1, z 2 }, {a, b}, δ, z 0, {z 0 }) mit δ(z 0, a) = z 1 δ(z 0, b) = z 0 δ(z 1, a) = z 2 δ(z 1, b) = z 1 δ(z 2, a) = z 0 δ(z 2, b) = z 2 ist G M3a = ({z 0, z 1, z 2 }, {a, b}, P, z 0 ) mit z 0 az 1 z 0 bz 0 z 1 az 2 z 1 bz 1 z 2 az 0 z 2 bz 2 z 0 ε Beobachtung: G M3a ist die ursprüngliche Grammatik G 3a für L 3a (bis auf Bezeichnung der Variablen (hier: z i )). Es gilt also: L(G M3a ) = L 3a = L(M 3a ). 52 / 82

53 Zusammenhang DFA und reguläre Grammatik (III) Allgemein gilt: Satz 2.1 Für jeden DFA M ist L(G M ) = L(M). Direkt aus diesem Satz folgt insbesondere: Satz 2.2 Jede von einem DFA akzeptierte Sprache ist regulär. 53 / 82

54 Nichtdeterministische endliche Automaten (NFA) 54 / 82

55 Idee nichtdeterministischer endlicher Automaten (I) Nichtdeterminismus: erlaube, dass ein Zustand für ein Eingabesymbol mehrere oder keine Folgezustände hat. Ziel: Vereinfachung/Unterspezifizierung. Führt zu kleineren oder besser verständlichen Automaten. 55 / 82

56 Idee nichtdeterministischer endlicher Automaten (II) Nichtdeterministische Automaten: Zu jedem Paar (z, a) mit z Zustand, a Eingabesymbol gibt es entweder keinen, einen oder mehrere Nachfolgezustände. Nichtdeterministischer Automat wählt aus den möglichen Nachfolgerzuständen immer (nichtdeterministisch) einen aus. akzeptiert ein Wort, falls es bei richtiger Auswahl vom Startzustand in einen Endzustand führt. 56 / 82

57 Nichtdeterministische endliche Automaten Definition Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (nondeterministic finite automaton, NFA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E) Z, Σ, z 0, E wie bei DFA, gegeben durch: eine totale Überführungsfunktion δ : Z Σ (Z). (Z) ist die Potenzmenge der Menge der Zustände: δ bildet jedes Paar (z, a) Z Σ auf eine Teilmenge von Z ab. (die möglichen Folgezustände von z bei Eingabe von a) Alternativ: (und equivalent) δ (Z Σ) Z Relation 57 / 82

58 Ablauf eines NFA (I) Beispiel 58 / 82

59 Ablauf eines NFA (II) Beispiel (Fortsetzung) 59 / 82

60 Mehr-Schritt-Übergänge eines NFA (I) Erweiterung von δ auf ganze Wörter w Σ : Informell: für Zustandsmenge Z Z ist ˆδ(Z, w) die Menge aller Zustände, die von Z aus durch Abarbeitung von w erreicht werden können. Definition (Mehr-Schritt-Übergänge) Zu einem gegebenen NFA M = (Z, Σ, δ, z 0, E) definieren wir eine Funktion ˆδ : (Z) Σ (Z) induktiv wie folgt: ˆδ(Z, ε) = Z für Z (Z), ˆδ(Z, aw) = mit Z Z, w Σ und a Σ. z Z ˆδ(δ(z, a), w) für Z (Z), a Σ, w Σ. 60 / 82

61 Akzeptierte Sprache eines NFA (I) Definition Sei M = (Z, Σ, δ, z 0, E) ein NFA. M akzeptiert ein Wort w Σ, falls ˆδ({z 0 }, w) E gilt. Die von M akzeptierte Sprache ist: L(M) = {w Σ M akzeptiert w}. Von M akzeptierte Sprache: Menge aller Wörter, die M vom Startzustand in einen Endzustand überführen. (Es kann für ein Wort mehrere Überführungspfade geben.) Bemerkung: Jeder DFA ist ein (spezieller) NFA. Die graphische Darstellung von NFA ist analog zu der von DFA. 61 / 82

62 Akzeptierte Sprache eines NFA (II) Beispiel Der NFA M aba sei gegeben durch Es ist z. B. baabab L(M aba ), denn: ˆδ({z 0 }, baabab) = ˆδ({z 0 }, aabab) = ˆδ({z 0, z 1 }, abab) = ˆδ({z 0, z 1 }, bab) = ˆδ({z 0, z 2 }, ab) = ˆδ({z 0, z 1, z 3 }, b) 62 / 82

63 Akzeptierte Sprache eines NFA (III) Beispiel (Fortsetzung) ˆδ({z 0 }, baabab) = = ˆδ({z 0, z 2, z 3 }, ε) = {z 0, z 2, z 3 } und {z 0, z 2, z 3 } E. Allgemeiner gilt (ohne Beweis): L(M aba ) = {w {a, b} aba ist Teilwort von w}. 63 / 82

64 Zusammenhang NFA und reguläre Grammatik (I) Zuvor: Konstruktion DFA reguläre Grammatik Jetzt: Umkehrung der Konstruktion liefert: reguläre Grammatik NFA 64 / 82

65 Zusammenhang NFA und reguläre Grammatik (II) Konstruktion: Sei G = (V, Σ, P, S) eine reguläre Grammatik. Der NFA M G ist gegeben durch M G = (V, Σ, δ, S, E) mit Zustände von M G : V {X} mit X V, V = V Zustandsübergänge von M G : falls P eine Regel der Form A a enthält sonst, B δ(a, a) für Regel A ab in P (für B V ), X δ(a, a) für Regel A a in P, Endzustände von M G : { {A V P enthält A ε} {X}, falls X V E = {A V P enthält A ε} sonst. 65 / 82

66 Zusammenhang NFA und reguläre Grammatik (III) Beispiel Sei G = ({A, B, S}, {a, b}, P, S) mit den Regeln M G ist dann der NFA S aa ab ε, A bs b, B as a. 66 / 82

67 Zusammenhang NFA und reguläre Grammatik (IV) Allgemein gilt: Satz 2.3 Für jede reguläre Grammatik G ist L(M G ) = L(G). Daraus folgt insbesondere: Satz 2.4 Zu jeder regulären Sprache L gibt es einen NFA M mit L(M) = L. Wir haben nun folgende Konstruktionen beschrieben: DFA reguläre Grammatik NFA 67 / 82

68 Zusammenhang NFA und DFA (I) Jetzt: Konstruktion NFA N DFA M N Idee des Verfahrens: (potenzielle) Zustände von M N : jede Teilmenge der Zustandsmenge des NFA N konstruiere die Übergänge eliminiere alle nicht erforderlichen Zustände des DFA M N : nicht erreichbare Teilmengen / Zustände von M N Beachte: Falls N n Zustände hat, hat M N im schlimmsten Fall 2 n Zustände. 68 / 82

69 Zusammenhang NFA und DFA (II) Potenzmenge-Konstruktion: Es sei N = (Z, Σ, δ, z 0, E) NFA. Dann ist M N = ( (Z), Σ, δ, {z 0 }, E ) mit δ (Z, a) = δ(z, a) für alle Z (Z), z Z betrachte alle in Z enthaltenen Zustände z, untersuche welche Zustände N auf Eingabe a von z aus erreicht nimm die Vereinigung aller dieser Zustände. E = {Z (Z) Z E } Menge der Endzustände von M N : alle Teilmengen von Z, die mindestens einen Endzustand aus E enthalten. 69 / 82

70 Zusammenhang NFA und DFA (III) Beispiel q 1 s 1 0,1 0 r 0 t 0,1 δ q r s t {q 0 } {q 0, q 1 } {q 1 } 0 {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } 1 {q 1 } {q 0, q 1 } {q 0, q 1 } final? nein ja ja nein 70 / 82

71 Zusammenhang NFA und DFA (IV) Es gelten: Satz 2.5 Für jeden NFA N ist L(M N ) = L(N). Satz 2.6 Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M mit L(M ) = L(M). 71 / 82

72 Reguläre Grammatiken, DFA und NFA (I) Bisher: drei Formalismen für reguläre Sprachen: reguläre Grammatiken, DFA und NFA. Vor- und Nachteile der Formalismen: Reguläre Grammatiken schaffen Verbindung zur Chomsky-Hierarchie werden zur Erzeugung von Sprachen eingesetzt nichtdeterministisch schwieriger zu entscheiden, ob ein bestimmtes Wort erzeugt wird NFA erlauben oft kleine, kompakte Darstellungen von Sprachen haben intuitive, graphische Notation nichtdeterministisch schwieriger zu entscheiden, ob ein bestimmtes Wort akzeptiert wird 72 / 82

73 Reguläre Grammatiken, DFA und NFA (II) DFA können gegenüber äquivalenten NFA exponentiell größer werden erlauben eine effiziente Lösung des Wortproblems (einfach Übergänge des Automaten durchführen und überprüfen, ob ein Endzustand erreicht wird) Alle Modelle: relativ viel Schreibaufwand und Platz für die Notation. Gesucht: kompaktere syntaktische Repräsentation reguläre Ausdrücke. 73 / 82

74 Reguläre Ausdrücke 74 / 82

75 Syntax regulärer Ausdrücke Definition (induktiv) Menge Reg Σ der regulären Ausdrücke über Σ (für ein gegebenes Alphabet Σ): 1 Reg Σ, ε Reg Σ und a Reg Σ für alle a Σ. 2 Falls r, s Reg Σ, dann (r s), (r + s), r Reg Σ. Bemerkungen: Beispiele Schreibe: (r s) statt (r + s) und (rs) statt (r s) Anschaulich: (r s) bzw. (r + s) bedeutet Alternative, (r s) bzw. (rs) bedeutet Verkettung und ( ) bedeutet beliebig oft. (ab ba) (ab ba) (ab ba)c (a b c) abc(a b c) 75 / 82

76 Durch regulärer Ausdrücke beschriebene Sprache (I) Nach Syntax jetzt Semantik regulärer Ausdrücke. (d.h. Bedeutung: welche Sprache beschreibt ein regulärer Ausdruck?) Definition Für r Reg Σ ist die durch r beschriebene Sprache L(r) rekursiv definiert wie folgt: 1 L( ) =, L(ε) = {ε}, L(a) = {a} für a Σ. 2 L(r s) = L(r) L(s), L(r + s) = L(r) L(s), L(r ) = L(r). 76 / 82

77 Durch regulärer Ausdrücke beschriebene Sprache (II) Beispiele für reguläre Ausdrücke über dem Alphabet Σ = {a, b} Beispiel 1: Sprache aller Wörter, die mit a beginnen und mit bb enden. α = a(a b) bb Beispiel 2: Sprache aller Wörter, die das Teilwort aba enthalten. α = (a b) aba(a b) Beispiel 3: Sprache aller Wörter, die eine gerade Anzahl des Zeichens a enthalten. α = (b ab a) b 77 / 82

78 Durch regulärer Ausdrücke beschriebene Sprache (III) Konventionen: (zur Klammereinsparung) Bindungsregel: vor +. r s t statt (r s) t oder r (s t) (da ) assoziativ) analog für + bzw.. Beispiele Sei Σ = {a, b}. Dann gilt: L(a b) = Σ L((a b) ) = Σ L((ab) a) = {(ab) n a Σ n N} L(a(a b) b b) = {w Σ w = aw b mit w Σ oder w = b} 78 / 82

79 Reguläre Sprache und regulärer Ausdruck Satz 2.7 (Satz von Kleene) Sei Σ ein Alphabet. Eine Sprache L über Σ ist genau dann regulär, wenn es einen regulären Ausdruck r Reg Σ gibt mit L(r) = L. Bemerkung: der Beweis liefert zwei Konstruktionen: DFA regulärer Ausdruck DFA 79 / 82

80 Stephen Cole Kleene Amerikanischer Mathematiker einer der Begründer der Rekursionstheorie wichtige Beiträge zur Theoretischen Informatik Theorie der berechenbaren Funktionen Bekannte Entdeckungen: Erfinder der regulären Ausdrücke Kleene scher Fixpunktsatz Kleene scher Rekursionssatz Stephen Cole Kleene ( ) Quelle: Außerdem nach Kleene benannt: Kleene Stern, Kleene Algebra, Kleene Hierarchie 80 / 82

81 Zusammenhang reguläre Grammatik, DFA, NFA, regulärer Ausdruck Satz 2.8 Sei L eine Sprache. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: a) L wird von einer regulären Grammatik erzeugt (d.h. L ist regulär). b) L wird von einem DFA akzeptiert. c) L wird von einem NFA akzeptiert. d) L wird durch einen regulären Ausdruck beschrieben. 81 / 82

82 Zusammenfassung 1 Lernziele 2 Grammatiken 3 Reguläre Sprachen 4 Deterministische endliche Automaten 5 Nichtdeterministische endliche Automaten 6 Reguläre Ausdrücke 7 Zusammenfassung 82 / 82