Beweisidee: 1 Verwende den Keller zur Simulation der Grammatik. Leite ein Wort. 2 Problem: der Keller darf nicht beliebig verwendet werden, man kann

Transkript

1 Automaten und Formale prachen alias Theoretische Informatik ommersemester 2011 Dr. ander Bruggink Übungsleitung: Jan tückrath Wir beschäftigen uns ab jetzt einige Wochen mit kontextfreien prachen: Kontextfreie Grammatiken und eindeutigkeit Wortproblem für kontextfeien prachen: der CYK-Algorithmus Pumping-Lemma für kontextfreien prachen Automatenmodell für kontextfreien prachen: und Entscheidungsverfahren Deterministische kontextfreie prachen ander Bruggink Automaten und Formale prachen 1 Wir müssen nun noch zeigen, dass man mit wirklich genau die kontextfreien prachen akzeptieren kann. Kontextfreie Grammatiken (atz) Zu jeder kontextfreien Grammatik G gibt es einen M mit L(G) = N(M). Beweisidee: 1 Verwende den Keller zur imulation der Grammatik. Leite ein Wort der prache auf dem Keller ab (nicht-deterministisches Raten) und überprüfe dann, ob dieses Wort mit dem Wort in der Eingabe übereinstimmt. 2 Problem: der Keller darf nicht beliebig verwendet werden, man kann immer nur das oberste Kellersymbol ersetzen. Lösung: Entferne die bereits fertig abgeleiteten Teile des Wortes auf dem Keller, indem sie mit der Eingabe verglichen und bei Übereinstimmung weggenommen werden. 3 Damit kann man erreichen, dass immer wieder eine Variable zuoberst auf dem Keller liegt und abgeleitet werden kann. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 249 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 250

2 Formaler: sei G = (V, Σ, P, ) eine kontextfreie Grammatik. Dann definieren wir einen M = ({z}, Σ, V Σ, δ, z, ) mit einem und Kelleralphabet V Σ. Das tartsymbol ist das Kellerbodenzeichen. Überführungsfunktion δ: Für jede Produktion (A α) P mit α (V Σ) nehme (z, α) in die Menge δ(z, ε, A) auf. (Ableitungsschritt auf dem Keller ohne Lesen der Eingabe) Außerdem nehme (z, ε) in δ(z, a, a) auf. (Vergleichen von Kellerinhalt und Eingabe) Wir betrachten folgende kontextfreie Grammatik mit dem zweielementigen Alphabet Σ = {, }, die korrekte Klammerstrukturen erzeugt: ε Aufgabe: wandle diese Grammatik in einen um und akzeptiere damit das Wort. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 251 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 252 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z,, ) (z,, ) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253

3 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z,, ) (z,, ) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z,, ) (z,, ) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253

4 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z,, ) (z,, ) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z,, ) (z,, ) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253

5 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z,, ) (z,, ) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 imulation des KA auf dem Wort imulation des KA auf dem Wort (z, ε, ) (z, ε, ε) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 253

6 Beweisidee: Nun geht es darum zu zeigen, dass es zu jedem eine entsprechende kontextfreie Grammatik gibt. Kontextfreie Grammatiken (atz) Zu jedem M gibt es eine kontextfreie Grammatik G mit N(M) = L(G). 1 Wir wollen beschreiben, welche Wörter man durch Abbauen eines bestimmten Kellersymbols akzeptieren kann. Die vom Automaten akzeptierte prache besteht nämlich aus allen Wörtern, die man durch Abbauen von # erzeugen kann. Abbauen bedeutet: zwischendurch dürfen weitere ymbole auf den Keller gelegt werden, aber zuletzt muss der Keller um dieses eine ymbol kürzer geworden sein. 2 Die zu erstellende kontextfreie Grammatik besitzt Variablen der Form (z 1, A, z 2 ) mit der Bedeutung: Aus (z 1, A, z 2 ) kann man genau die Wörter ableiten, die der einliest, wenn er im 1 startet, A vom Keller abbaut und im 2 aufhört. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 254 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 255 Höhe des Kellers Bedeutung der ymbole (z 1, A, z 2 ): A liegt auf dem Keller (KA im 1 ) Erstes Unterschreiten der ursprünglichen Kellerhöhe (KA im 2 ) (z 1, A, z 2 ) x (z 1, x, A) (z 2, ε, ε) Gegeben sei ein M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0, #). Wir definieren eine Grammatik G = (V, Σ, P, ) wie folgt: Eingelesenes Teilwort (kann aus (z 1, A, z 2 ) abgeleitet werden) Eingelesene Eingabesymbole Variablen: V = {} Z Γ Z (Eigene tartvariable und Variablen der Form (z 1, A, z 2 )) Zwischendurch kann A durch ein anderes ymbol ersetzt werden. Die ursprüngliche Kellerhöhe wird jedoch nicht unterschritten. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 256 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 257

7 Produktionen folgender Form: (z 0, #, z) für alle z Z (Anfang) (z, A, z ) a falls (z, ε) δ(z, a, A) (ymbol A kann bei Einlesen von a sofort entfernt werden) (z, A, z ) a(z 1, B 1, z 2 )(z 2, B 2, z 3 )... (z k, B k, z ) falls (z 1, B 1... B k ) δ(z, a, A), z 2,..., z k Z (ymbol A wird durch B 1... B k ersetzt, diese müssen über Zwischenzustände z 1,..., z k entfernt werden) Beispiel: Wir betrachten den M = ({z 1, z 2 }, {a, b}, {A, #}, δ, z 1, #) mit folgender Überführungsfunktion δ: (z 1, a, #) (z 1, A#) (z 1, a, A) (z 1, AA) (z 1, b, A) (z 2, ε) (z 2, b, A) (z 2, ε) (z 2, ε, #) (z 2, ε) Es gilt: N(M) = {a n b n n 1}. Aufgabe: Umwandlung von M in eine kontextfreie Grammatik. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 258 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 259 Einschub: mit Endzuständen Bemerkung zu den Umwandlungen Kontextfreie Grammatik : Zu jedem gibt es immer einen Äquivalenten mit nur einem Zustand. Dazu wandelt man ihn in eine kontextfreie Grammatik um und dann wieder zurück in einen. Es wird ausgenutzt, dass bei der Umwandlung in immer nur Automaten mit einem Zustand konstruiert werden. In der Fachliteratur werden auch manchmal so definiert, dass sie Endzustände haben und nicht mit leerem Keller akzeptieren. mit Endzuständen (Definition) En mit Endzuständen M ist ein 7-Tupel M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0, #, E), wobei (Z, Σ, Γ, δ, z 0, #) ein ist, E Z die Menge von Endzuständen ist ander Bruggink Automaten und Formale prachen 260 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 261

8 Einschub: mit Endzuständen Einschub: mit Endzuständen Akzeptierte prache bei mit Endzuständen (Definition) atz Eine prache wird von einem mit Endzustände akzeptiert, gdw. eine prache von einem akzeptiert wird. (Ohne Beweis) ei M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0, #, E) ein mit Endzuständen. Dann ist die von M akzeptierte prache: N(M) = {x Σ (z 0, x, #) (z, ε, γ) für ein z E, γ Γ }. Es gibt folgende Unterschiede: Der erreichte muss ein Endzustand sein. Es darf ein Kellerinhalt γ übrigbleiben. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 262 Einschub: mit Endzuständen ander Bruggink Automaten und Formale prachen 263 L = {a 1 a 2... a n a n... a 2 a 1 a i {a, b}}. M = ({z 1, z 2, z 3 }, {a, b}, {A, B, #}, δ, z 1, #, {z 3 }), wobei δ gegeben ist durch: (z 1, a, #) (z 1, A#) (z 1, a, A) (z 1, AA) (z 1, a, B) (z 1, AB) (z 1, b, #) (z 1, B#) (z 1, b, A) (z 1, BA) (z 1, b, B) (z 1, BB) (z 1, ε, #) (z 2, #) (z 1, a, A) (z 2, ε) (z 1, b, B) (z 2, ε) (z 2, a, A) (z 2, ε) (z 2, b, B) (z 2, ε) (z 2, ε, #) (z 3, #) Abgeschlossenheit ind die kontextfreien prachen abgeschlossen unter den folgenden Operationen? Vereinigung (L 1, L 2 kontextfrei L 1 L 2 kontextfrei)? Produkt/Konkatenation (L 1, L 2 kontextfrei L 1 L 2 kontextfrei)? tern-operation (L kontextfrei L kontextfrei)? chnitt (L 1, L 2 kontextfrei L 1 L 2 kontextfrei)? Komplement (L kontextfrei L = Σ \L kontextfrei)? ander Bruggink Automaten und Formale prachen 264 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 265

9 Abschluss unter Vereinigung Abschluss unter Produkt/Konkatenation Wenn L 1 und L 2 kontextfreie prachen sind, dann ist auch L 1 L 2 kontextfrei. Begründung: Gegeben zwei kontextfreie Grammatiken G 1 = (V 1, Σ, P 1, 1 ) und G 2 = (V 2, Σ, P 2, 2 ) (mit V 1 V 2 = ) für L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ). Die Grammatik G = (V 1 V 2 {}, Σ, P 1 P 2 { 1, 2 }, ) wobei / V 1 V 2, ist eine kontextfreie Grammatik für L 1 L 2. Wenn L 1 und L 2 kontextfreie prachen sind, dann ist auch L 1 L 2 kontextfrei. Begründung: G 1 = (V 1, Σ, P 1, 1 ) und G 2 = (V 2, Σ, P 2, 2 ) (mit V 1 V 2 = ) für L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ). Dann ist G = (V 1 V 2 {}, Σ, P 1 P 2 { 1 2 }, ) wobei / V 1 V 2, eine kontextfreie Grammatik für L 1 L 2. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 266 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 267 Abschluss unter der tern-operation Wenn L eine kontextfreie prache ist, dann ist auch L kontextfrei. Begründung: Gegeben sei eine kontextfreie Grammatik G 1 = (V 1, Σ, P 1, 1 ) für L = L(G 1 ). Dann ist G = (V 1 {}, Σ, P 1 { ε, 1 }, ) eine kontextfreie Grammatik für L. Kein Abschluss unter chnitt Wenn L 1 und L 2 kontextfreie prachen sind, dann ist L 1 L 2 nicht notwendigerweise kontextfrei. Gegenbeispiel: Die prachen L 1 = {a j b k c k j 0, k 0} L 2 = {a k b k c j j 0, k 0} sind beide kontextfrei. Für ihren chnitt gilt jedoch L 1 L 2 = {a k b k c k k 0} und diese prache ist nicht kontextfrei. ander Bruggink Automaten und Formale prachen 268 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 269

10 Abschluss unter chnitt mit regulären prachen ei L eine kontextfreie prache und R eine reguläre prache. Dann gilt, dass L R eine kontextfreie prache ist. Idee: Ähnlich zur Konstruktion eines Kreuzproduktautomaten zweier endlichen Automaten können wir den Kreuzproduktautomaten eines endlichen Automaten und eines konstruieren, der den chnitt beider prachen akzeptiert. Beweisidee: Konstruktion eines M für L R aus einem (mit Endzuständen) M = (Z 1, Σ, Γ, δ 1, z 1 0, #, E 1) für L und einem deterministischen endlichen Automaten A = (Z 2, Σ, δ 2, z 2 0, E 2) für R: M = (Z 1 Z 2, Σ, Γ, δ, (z 1 0, z 2 0 ), #, E 1 E 2 ) mit ((z 1, z 2 ), B 1... B k ) δ((z 1, z 2 ), a, A), falls (z 1, B 1... B k ) δ 1 (z 1, a, A) und δ 2 (z 2, a) = z 2 ((z 1, z 2), B 1... B k ) δ((z 1, z 2 ), ε, A), falls (z 1, B 1... B k ) δ 1 (z 1, ε, A) ander Bruggink Automaten und Formale prachen 270 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 271 Kein Abschluss unter Komplement Wenn L eine kontextfreie prache ist, dann ist L = Σ \L nicht notwendigerweise kontextfrei. Begründung: Nehmen wir an, die kontextfreien prachen wären unter Komplement abgeschlossen. Wegen L 1 L 2 = L 1 L 2 wären sie dann auch unter chnitt abgeschlossen, was aber nicht der Fall ist. D.h., wir erhalten einen Widerspruch. Abgeschlossenheit (Zusammenfassung) Die kontextfreien prachen sind abgeschlossen unter: Vereinigung (L 1, L 2 kontextfrei L 1 L 2 kontextfrei) Produkt/Konkatenation (L 1, L 2 kontextfrei L 1 L 2 kontextfrei) tern-operation (L kontextfrei L kontextfrei) chnitt mit einer regulären prache (L kontextfrei, R regulär L R kontextfrei) Die kontextfreien prachen sind nicht abgeschlossen unter: chnitt Komplement ander Bruggink Automaten und Formale prachen 272 ander Bruggink Automaten und Formale prachen 273