Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

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1 Automaten und formale prachen Notizen zu den Folien 10 Kontextfreie Grammatiken Beispiele für kontextfreien Grammatiken ei Σ = {a, b}. Beispiel 1 (Folie 211, oben) Geben ie eine kontextfreie Grammatik G 1 an, so dass L(G 1 ) = {a n b n n 0}. Lösung: G 1 = (V, Σ, P, ), wobei V = {, X} und P die folgenden Produktionen enthält: Beispiel 2 (Folie 211, unten) X ɛ X axb ab Geben ie eine kontextfreie Grammatik G 2 an, so dass LG 2 = {a k b n a m b n n, m, k 1}. Bemerke, dass die zwei equenzen von b s gleich lang sein müssen, die zwei equenzen von a s aber nicht. Lösung: G 2 = (V, Σ, P, ), wobei V = {, A, X} und P die folgenden Produktionen enthält: Erklärung: AX A aa a X bxb bab A erzeugt a-equenzen beliebiger Länge (die aber mindestens ein a enthalten). X erzeugt Wörter der Form b n a m b n (wobei n, m 1). Dabei wird die Variable A verwendet um den mittleren Teil des Wortes zu erzeugen. setzt Wörter erzeugt von A und X zusammen um Wörter aus der prache zu erzeugen. Beispiel 3: Geben ie eine kontextfreie Grammatik G 3 an, so dass L(G 3 ) = {a k b w Σ }, wobei w R das Inverse von w bezeichnet. Lösung: G 3 = (V, Σ, P, ), wobei V = {, X} und P die folgenden Produktionen enthält: ɛ X X axa bxb aa bb ɛ-produktionen entfernen (Folien 212 und 213) Dieser atz bedeutet, dass man ɛ-produktionen beliebig verwenden darf. ie verändern nichts an der Ausdrucksmächtigkeit kontextfreier Grammatiken. Beispiel 1: (ehe Folie 214) 1

2 ei G = (V, Σ, P, ), wobei V = {, X, Y, Z}, Σ = {a, b} und P aus den folgenden Produktionen besteht: XZ X ay b ɛ Y bxa bb Z ɛ aa Die Menge der Variablen, aus denen sich das leere Wort ableiten lässt, ist V 1 = {, X, Z}. Überall wo eine dieser Variablen auf der rechten eite einer Produktion vorkommt müssen wir auch das leere Wort erlauben. Wir bekommen die folgende Grammatik: XZ X Z ɛ X ay b ɛ Y bxa bb ba Z ɛ aa aa Alle Produktion der Form Q ɛ werden entfernt: XZ X Z X ay b Y bxa bb ba Z aa aa Weil ɛ Teil der prache der ursprünglichen Grammatik ist, müssen wir eine neue tartvariable hinzufügen. Die endgültige Grammatik ist G = (V, Σ, P, ), wobei V = {, X, Y, Z, } und P aus den folgenden Produktionen besteht: ɛ XZ X Z X ay b Y bxa bb ba Z aa aa Beispiel 2: ei Σ = {a, b, c}. Gegeben sei die Grammatik G = (V, Σ, P, ), wobei V = {, C} und P die folgenden Produktionen enthält: CabC C cc ɛ Die Menge der Variablen, aus denen sich das leere Wort ableiten lässt, ist V 1 = {C}. Überall wo C auf der rechten eite einer Produktion vorkommt, müssen wir also auch das leere Wort erlauben. Die Ergebnis-Grammatik besteht deswegen aus den folgenden Produktionen: CabC Cab abc ab C c cc Beispiel 2: ei Σ = {<, >}. Gegeben sei die Grammatik G = ({}, Σ, P, ), wobei P die folgenden Produktionen enthält: <> ɛ 2

3 Aus kann man das leere Wort, ableiten. Wir müssen also überall wo auf der rechten eite steht, auch erlauben, dass das leere Wort erzeugt wird. Außerdem sorgen wir dafür, dass die neue Grammatik das leere Wort erzeugt, indem wir eine neue tartvariable hinzufügen. Die resultierende Grammatik ist G = ({, }, Σ, P, ), wobei P die folgenden Produktionen enthält: ɛ <> <> <> <> Mehrdeutige Grammatik (Folie 220) Ein Beispiel einer mehrdeutigen Grammatik ist G = ({}, {a, b}, P, ), wobei P die folgenden Produktionen enthält: a b. Dann gibt es folgende (verschiedene) yntaxbäume für das selbe Wort (aba): a b a a b a Es gibt aber eine zu dieser Grammatik äquivalente Grammatik, die die gleiche prache erzeugt: ax bxx ax bx ɛ Dies ist aber nicht im allgemeinen der Fall: es gibt kontextfreie prachen, für die es keine eindeutige Grammatiken gibt. Beispiele Chomsky-Normalform (Folien ) Beispiel 1: ei G = ({, A}, {a, b, c}, P, ), wobei P die folgenden Produktionen enthält: aab A aac B ɛ B A b Nach jedem chritt des Umwandlungsverfahrens werden die Produktionen angegeben. (Fettgedruckte Buchstaben geben Änderungen an.) chritt 1: ɛ-produktionen entfernen Wir benutzen das Verfahren von Folien 212/213: aab ab A aac B B A b chritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es gibt einen Zyklus A B A. Wir ersetzen also A und B durch eine einzelne Variable A und löschen die Kettenproduktionen A B und B A: aab ab A aac b 3

4 Es gibt nun noch eine Kettenproduktion, A. Diese wird gelöscht und für jede Produktion ( w) P wird eine neue Produktion A w eingefügt. aab ab A aab ab aac b chritt 3: Alphabetsymbole aus den rechten eiten entfernen Wenn eine rechte eite zwei oder mehr ymbolen hat, werden die Alphabetsymbolen durch Variablen ersetzt: U a AU b U a U b A U a AU b U a U b U a U a U c b chritt 4: Lange rechte eiten aufteilen U a C U a U b C AU b A U a C U a U b U a D b D U a E E U c Beispiel 2: ei die Grammatik G = (V, Σ, P, ) gegeben, wobei V = {, A, B, C, D, E, F }, Σ = {a, b, c} und P die folgende Produktionen enthält: ABC A B DAD B C EBE C A F CF D E a E F bb Nach jedem chritt des Umwandlungsverfahrens sind die Produktionen: chritt 1: ɛ-produktionen entfernen Es gibt keine ɛ-produktionen in der Grammatik. Die Grammatik muss also nicht geändert werden. chritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es gibt zwei Ketten: den Zyklus A B C A und die zyklenfreie Kette D E F. Der Zyklus kann entfernt werden, indem wir alle Variablen des Zyklus überall in der Grammatik durch eine neue Variable G ersetzen, und die Kettenproduktionen löschen: GGG D E a E F bb 4

5 Um die zyklenfreie Kette zu entfernen, löschen wir die letzte Produktion der Kette (E F ) und fügen für jede Produktion (F w) P eine neue Produktion E w ein. GGG D E a E bf c aa bb Das gleiche machen wir, von hinten nach vorne, für alle Produktionen der Kette. In diesem Fall gibt es nur noch die erste Produktion, D E, und das ergibt: GGG D bf c aa bb a E bf c aa bb chritt 3: Alphabetsymbole aus den rechten eiten entfernen GGG D U b F U c U a U a U b U b a E U b F U c U a U a U b U b F U b F U c U a U a chritt 4: Lange rechte eiten aufteilen GW W GG G DX X GD G EY Y GE G F Z Z GF D U b V U a U a U b U b a E U b V U a U a U b U b F U b V U a U a V F U c 11 Der CYK-Algorithmus Zu Folien 234/235 (Notationbeispiel) ei Σ = {a, b}. Wir betrachten die Grammatik G = (V, Σ, P, ) wobei V = {, A, B, C, D, E} und P die folgenden Produktionen enthält: AC a A a B DE C B D b E c 5

6 ei x = aabcbc. Es gilt: x 1,1 = a T 1,1 = {, A} x 1,2 = aa T 1,2 = x 1,4 = aabc T 1,4 = {} x 5,2 = bc T 5,2 = {B} CYK-Beispiele Beispiel 1 (Folie 240) Die Grammatik ist schon in Chomsky-Normalform. Wir wenden den CYK-Algorithmus an und das Ergebnis ist die folgende Tabelle: a a b c b c j = 1 A, F A, F B, G C B, G C j = 2 F E, D G E, D j = 3, H G j = 4 H j = 5 D, H j = 6, H Das tartsymbol kommt im untersten Kästchen vor, das heißt, dass das Wort aabcbc in der von der Grammatik erzeugte prache liegt. 6