Automaten, Spiele, und Logik

Transkript

1 Automaten, Spiele, und Logik Woche April 2014

2 Inhalt der heutigen Vorlesung 1. Reguläre Ausdrücke 2. der Satz von Kleene 3. Brzozowski Methode 4. grep und perl

3 Reguläre Ausdrücke Rekursive Definition, ɛ, und a sind reguläre Ausdrücke wenn e, e 1, e 2 reguläre Ausdrücke sind, dann sind es auch e, e 1.e 2 und e 1 + e 2 Die Sprache L(e), die von einem regulären Ausdruck e beschrieben wird L( ) =, L(ɛ) = {ɛ}, L(a) = {a} L(e ) = L(e), L(e 1.e 2 ) = L(e 1 ).L(e 2 ), L(e 1 + e 2 ) = L(e 1 ) L(e 2 ) Übung: Geben Sie einen regulären Ausdruck an, der die Sprache aller Wörter die mit a beginnen und enden beschreibt.

4 Reguläre Ausdrücke Rekursive Definition, ɛ, und a sind reguläre Ausdrücke wenn e, e 1, e 2 reguläre Ausdrücke sind, dann sind es auch e, e 1.e 2 und e 1 + e 2 Die Sprache L(e), die von einem regulären Ausdruck e beschrieben wird L( ) =, L(ɛ) = {ɛ}, L(a) = {a} L(e ) = L(e), L(e 1.e 2 ) = L(e 1 ).L(e 2 ), L(e 1 + e 2 ) = L(e 1 ) L(e 2 ) Übung: Geben Sie einen regulären Ausdruck an, der die Sprache aller Wörter die mit a beginnen und enden beschreibt. a + a.(σ).a

5 Der Satz von Kleene Satz: Die regulären Sprachen sind genau die Sprachen, die sich durch einen regulären Ausdruck beschreiben lassen. Es gibt mehrere Algorithmen, die: aus einem Automaten einen regulären Ausdruck berechnen aus einem regulären Ausdruck einen Automaten konstruieren

6 Der Satz von Kleene Satz: Die regulären Sprachen sind genau die Sprachen, die sich durch einen regulären Ausdruck beschreiben lassen. Es gibt mehrere Algorithmen, die: aus einem Automaten einen regulären Ausdruck berechnen aus einem regulären Ausdruck einen Automaten konstruieren

7 Arden sche Lemma und Elimination Arden sche Lemma Satz: Seien U, V, L Σ Sprachen, so dass ɛ U und L = U.L V. Dann gilt L = U V.

8 Arden sche Lemma und Elimination Arden sche Lemma Satz: Seien U, V, L Σ Sprachen, so dass ɛ U und L = U.L V. Dann gilt L = U V. Elimination a 1 2 b a a 3 X 1 = ax 2 + ax 3 X 2 = ax 3 X 3 = bx 2 + ɛ

9 Arden sche Lemma und Elimination Arden sche Lemma Satz: Seien U, V, L Σ Sprachen, so dass ɛ U und L = U.L V. Dann gilt L = U V. Elimination a 1 2 b a a 3 X 1 = ax 2 + ax 3 X 2 = ax 3 X 3 = bax 3 + ɛ

10 Arden sche Lemma und Elimination Arden sche Lemma Satz: Seien U, V, L Σ Sprachen, so dass ɛ U und L = U.L V. Dann gilt L = U V. Elimination a 1 2 b a a 3 X 1 = ax 2 + ax 3 X 2 = ax 3 X 3 = (ba)

11 Arden sche Lemma und Elimination Arden sche Lemma Satz: Seien U, V, L Σ Sprachen, so dass ɛ U und L = U.L V. Dann gilt L = U V. Elimination a 1 2 b a a 3 X 1 = aa(ba) + a(ba) X 2 = a(ba) X 3 = (ba)

12 Der Satz von Kleene Satz: die regulären Sprachen sind genau die Sprachen, die sich durch einen regulären Ausdruck beschreiben lassen. Es gibt mehrere Algorithmen, die: aus einem Automaten einen regulären Ausdruck berechnen aus einem regulären Ausdruck einen Automat konstruieren

13 Der Satz von Kleene Satz: die regulären Sprachen sind genau die Sprachen, die sich durch einen regulären Ausdruck beschreiben lassen. Es gibt mehrere Algorithmen, die: aus einem Automaten einen regulären Ausdruck berechnen aus einem regulären Ausdruck einen Automat konstruieren

14 die Methode von Brzozowski Ziel: aus einem regulären Ausdruck, einen Automaten konstruieren. Unterschied zum Algorithmus von McNaughton-Yamada / Thomson der Automat ist deterministisch er kann auch on the fly berechnet werden (gut z.b. für das Wortproblem) der Algorithmus funktioniert auch mit erweiterten regulären Ausdrücken aber keine Garantie, dass das Wortproblem in linearer Zeit gelöst wird

15 Erweiterte reguläre Ausdrücke Definition ein regulärer Ausdruck ist ein erweiterter regulärer Ausdruck wenn e, e 1, e 2 erweiterte reguläre Ausdrücke sind, dann sind es auch c e (Komplement) und e 1 e 2 (Schnitt). Beispiel: ( a.(a + b) ) c( (a + b).b ) Satz: Für jeden erweiterten regulären Ausdruck gibt es einen klassischen äquivalenten regulären Ausdruck Übung: Beweisen Sie das.

16 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) =

17 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) =

18 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) =

19 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ

20 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) =

21 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) =

22 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = ɛ (e 1 + e 2 ) =

23 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst

24 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e 1.e 2 ) =

25 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst

26 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e ) =

27 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e ) = ɛ

28 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e ) = ɛ ɛ (e 1 e 2 ) =

29 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e ) = ɛ ɛ (e 1 e 2 ) = ɛ (e 1.e 2 )

30 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e ) = ɛ ɛ (e 1 e 2 ) = ɛ (e 1.e 2 ) ɛ ( c e) =

31 Leerwortschnitt Ziel: für jeden (erweiterten) regulären Ausdruck e, einen regulären Ausdruck ɛ (e) berechnen, so dass { ɛ wenn ɛ L(e) ɛ (e) = sonst ɛ ( ) = ɛ (ɛ) = ɛ ɛ (a) = { wenn ɛ (e ɛ (e 1 + e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst { ɛ wenn ɛ (e ɛ (e 1.e 2 ) = 1 ) = ɛ (e 2 ) = ɛ sonst ɛ (e ) = ɛ ɛ (e 1 e 2 ) = ɛ (e 1.e 2 ) { ɛ wenn ɛ ( c ɛ (e) = e) = sonst

32 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... ))

33 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) =

34 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) =

35 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) =

36 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) =

37 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) =

38 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst

39 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) =

40 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 )

41 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) =

42 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 )

43 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 ) D a (e 1 e 2 ) =

44 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 ) D a (e 1 e 2 ) = D a (e 1 ) D a (e 2 )

45 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 ) D a (e 1 e 2 ) = D a (e 1 ) D a (e 2 ) D a ( c e) =

46 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 ) D a (e 1 e 2 ) = D a (e 1 ) D a (e 2 ) D a ( c e) = c D a (e)

47 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 ) D a (e 1 e 2 ) = D a (e 1 ) D a (e 2 ) D a ( c e) = c D a (e) D a (e ) =

48 Ableitungen Ziel: für jeden regulären Ausdruck und jedes Wort u, einen regulären Ausdruck D u (e) berechnen, so dass L(D u (e)) = {v : uv L(e)} D a1 a 2...a k (e) = D ak (D ak 1 (... D a1 (e)... )) D a ( ) = D a (ɛ) = D a (e) = ɛ wenn e = a, sonst D a (e 1 + e 2 ) = D a (e 1 ) + D a (e 2 ) D a (e 1.e 2 ) = D a (e 1 ).e 2 + ɛ (e 1 ).D a (e 2 ) D a (e 1 e 2 ) = D a (e 1 ) D a (e 2 ) D a ( c e) = c D a (e) D a (e ) = D a (e)e

49 Ähnliche reguläre Ausdrücke Definition Zwei regulären Ausdrücke e 1, e 2 sind ähnlich (e 1 e 2 ), wenn e 1 e 2 sich durch diese Axiome beweisen lässt: e 1 + (e 2 + e 3 ) (e 1 + e 2 ) + e 3 e 1 + e 2 e 2 + e 1 e 1 + e 1 e 1 e + + e e e..e e.ɛ ɛ.e e Beispiel: D a ( (a + b) ) = D a (a + b).(a + b) = ( D a (a) + D a (b) ).(a + b) = (ɛ + ).(a + b) (a + b)

50 Algorithmus alle Ableitungen berechnen jede neue Ableitung, die keine ähnliche, bereits berechnete Ableitung ist, ist ein neuer Zustand e ist akzeptierend, wenn ɛ (e) = ɛ e a e genau dann, wenn D a (e) e

51 Algorithmus alle Ableitungen berechnen jede neue Ableitung, die keine ähnliche, bereits berechnete Ableitung ist, ist ein neuer Zustand e ist akzeptierend, wenn ɛ (e) = ɛ e a e genau dann, wenn D a (e) e Übung: den Algorithmus auf a.(a + b) c( (a + b).b) benutzen.

52 Beobachtungen der Algorithmus terminiert immer das heißt: {D w (e) : w Σ }/ ist eine endliche Menge der Algorithmus ist korrekt wenn der Algorithmus äquivalente statt ähnliche Ausdrücke identifiziert, dann berechnet er den minimalen Automaten

53 Reguläre Ausdrücke und (Perl/POSIX) regex Einige Anwendungen Kompilierung (parsing) Texteditoren (Suche, Ersetzung, Syntaxmarkierung), Systemadministrierung (Routing, Loganalysen) Textextraktion: partial Matching (siehe: Greediness) Einige Erweiterungen von regex gezählte Wiederholungen, z.b. e{3,5} Assertionen, z.b Zeilenanfang, Zeilenende, usw. Backreferences, z.b. [a,b]*\1 Übung: welche Erweiterungen sind noch regulär?

54 grep und perl Frage: Ist das Wort in der durch gestellten Sprache? aa... a }{{} n Mal (a + ɛ)(a + ɛ)... (a + ɛ) aa }{{}}{{... a} n Mal n Mal Quelle: Russ Cox