Teil VI. Anwendungen, Teil 1: XML und deterministische reguläre Ausdrücke
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- Klemens Gerhardt
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1 Teil VI Anwendungen, Teil 1: XML und deterministische reguläre Ausdrücke
2 XML anhand von Beispielen... Anwendungen XML 1 / 10
3 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen werden. Anwendungen XML 2 / 10
4 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen werden. Validierung: Entscheiden, ob ein XML-Dokument korrekt ist. Anwendungen XML 2 / 10
5 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen werden. Validierung: Entscheiden, ob ein XML-Dokument korrekt ist. Wie spezifiziert man korrekte XML-Dokumente? Anwendungen XML 2 / 10
6 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen werden. Validierung: Entscheiden, ob ein XML-Dokument korrekt ist. Wie spezifiziert man korrekte XML-Dokumente? Lösung XML-Schema: Gibt an, welche XML-Dokumente erlaubt sind. Anwendungen XML 2 / 10
7 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen werden. Validierung: Entscheiden, ob ein XML-Dokument korrekt ist. Wie spezifiziert man korrekte XML-Dokumente? Lösung XML-Schema: Gibt an, welche XML-Dokumente erlaubt sind. verfasst in Schema-Sprache: DTD, XSD, Relax NG Anwendungen XML 2 / 10
8 XML-Schema In vielen Anwendungen sollen nur bestimmte XML-Dokumente zugelassen werden. Validierung: Entscheiden, ob ein XML-Dokument korrekt ist. Wie spezifiziert man korrekte XML-Dokumente? Lösung XML-Schema: Gibt an, welche XML-Dokumente erlaubt sind. verfasst in Schema-Sprache: DTD, XSD, Relax NG Wir betrachten eine stark eingeschränkte Variante von DTDs. Anwendungen XML 2 / 10
9 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. Anwendungen XML 3 / 10
10 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. XML-Baum Gerichteter endlicher Baum, Knotenbeschritung aus Σ D. Innere Knoten: Σ, kein DATA. Verallgemeinerte DTD über Σ (Σ, ρ, τ), Anwendungen XML 3 / 10
11 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. XML-Baum Gerichteter endlicher Baum, Knotenbeschritung aus Σ D. Innere Knoten: Σ, kein DATA. Verallgemeinerte DTD über Σ (Σ, ρ, τ), Wurzelelement ρ Σ, Anwendungen XML 3 / 10
12 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. XML-Baum Gerichteter endlicher Baum, Knotenbeschritung aus Σ D. Innere Knoten: Σ, kein DATA. Verallgemeinerte DTD über Σ (Σ, ρ, τ), Wurzelelement ρ Σ, Elementtypfunktion τ: von Σ zu regulären Ausdrücken über Σ D Anwendungen XML 3 / 10
13 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. XML-Baum Gerichteter endlicher Baum, Knotenbeschritung aus Σ D. Innere Knoten: Σ, kein DATA. Verallgemeinerte DTD über Σ (Σ, ρ, τ), Wurzelelement ρ Σ, Elementtypfunktion τ: von Σ zu regulären Ausdrücken über Σ D XML-Baum T gültig unter DTD D = (Σ, ρ, τ): Wurzel von T ist mit ρ beschriftet. Kinder von Knoten a bilden Wort aus L(τ(a)). Anwendungen XML 3 / 10
14 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. XML-Baum Gerichteter endlicher Baum, Knotenbeschritung aus Σ D. Innere Knoten: Σ, kein DATA. Verallgemeinerte DTD über Σ (Σ, ρ, τ), Wurzelelement ρ Σ, Elementtypfunktion τ: von Σ zu regulären Ausdrücken über Σ D XML-Baum T gültig unter DTD D = (Σ, ρ, τ): Wurzel von T ist mit ρ beschriftet. Kinder von Knoten a bilden Wort aus L(τ(a)). T = D Anwendungen XML 3 / 10
15 XML-Bäume und DTDs Definitionen Sei Σ Alphabet (Elementnamen). Sei DATA Buchstabe, DATA / Σ. Sei Σ D := Σ {DATA}. XML-Baum Gerichteter endlicher Baum, Knotenbeschritung aus Σ D. Innere Knoten: Σ, kein DATA. Verallgemeinerte DTD über Σ (Σ, ρ, τ), Wurzelelement ρ Σ, Elementtypfunktion τ: von Σ zu regulären Ausdrücken über Σ D XML-Baum T gültig unter DTD D = (Σ, ρ, τ): Wurzel von T ist mit ρ beschriftet. Kinder von Knoten a bilden Wort aus L(τ(a)). T = D L(D) := {T ist XML-Baum T = D} Anwendungen XML 3 / 10
16 Beispiele Beispiele für XML-Bäume und DTDs. Anwendungen XML 4 / 10
17 Beispiele Beispiele für XML-Bäume und DTDs. Beispiele für Nicht-Ausdrückbarkeit. Anwendungen XML 4 / 10
18 Beispiele Beispiele für XML-Bäume und DTDs. Beispiele für Nicht-Ausdrückbarkeit. Beobachtung Durch reguläre Ausdrücke werden viele Entscheidungsprobleme für DTDs schwer. Anwendungen XML 4 / 10
19 Beispiele Beispiele für XML-Bäume und DTDs. Beispiele für Nicht-Ausdrückbarkeit. Beobachtung Durch reguläre Ausdrücke werden viele Entscheidungsprobleme für DTDs schwer. Lösung: DTDs einschränken, indem die regulären Ausdrücke eingeschränkt werden. Anwendungen XML 4 / 10
20 Deterministische reguläre Ausdrücke Sei Σ Alphabet, n N >0. n-indizierung von Σ: Σ (n) := {a i 1 i n}. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 5 / 10
21 Deterministische reguläre Ausdrücke Sei Σ Alphabet, n N >0. n-indizierung von Σ: Σ (n) := {a i 1 i n}. Indizierung von α Sei α regulärer Ausdruck über Σ. Indizierung α: Für alle a Σ, alle i: Ersetze i-tes Vorkommen von a in α durch a i. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 5 / 10
22 Deterministische reguläre Ausdrücke Sei Σ Alphabet, n N >0. n-indizierung von Σ: Σ (n) := {a i 1 i n}. Indizierung von α Sei α regulärer Ausdruck über Σ. Indizierung α: Für alle a Σ, alle i: Ersetze i-tes Vorkommen von a in α durch a i. Deterministische reguläre Ausdrücke Sei Σ ein Alphabet. Ein regulärer Ausdruck α über Σ ist ein deterministischer regulärer Ausdruck, wenn: Für alle Wörter x, y, z Σ (n) und alle a i, a j Σ (n) gilt: Aus xa i y L( α) und xa j z L( α) folgt i = j. Hierbei sei n := max{ α a a Σ}. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 5 / 10
23 Glushkov-Automaten Alternatives Konstruktionsverfahren, um regulären Ausdruck in NFA umzuwandeln. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 6 / 10
24 Glushkov-Automaten Alternatives Konstruktionsverfahren, um regulären Ausdruck in NFA umzuwandeln. Verwendet keine ε-übergänge. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 6 / 10
25 Glushkov-Automaten Alternatives Konstruktionsverfahren, um regulären Ausdruck in NFA umzuwandeln. Verwendet keine ε-übergänge. Deterministische reguläre Ausdrücke werden zu DFAs. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 6 / 10
26 Glushkov-Automaten Alternatives Konstruktionsverfahren, um regulären Ausdruck in NFA umzuwandeln. Verwendet keine ε-übergänge. Deterministische reguläre Ausdrücke werden zu DFAs. A G ( ) A G (ε) A G (a) a Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 6 / 10
27 Konkatenation q 0,1 AG (β 1 ). q 0,2 AG (β 2 ). Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 7 / 10
28 Konkatenation q 0,1 AG (β 1 ). q 0,2 AG (β 2 ). Jeder akzeptierende Zustand von A G (β 1 ) erhält die gleichen Ausgänge wie q 0,2, q 0,2 wird gelöscht. Zustände von A G (β 1 ) sind nur akzeptierend, wenn q 0,2 akzeptierend. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 7 / 10
29 Vereinigung q 0,1 AG (β 1 ). q 0,2 AG (β 2 ). Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 8 / 10
30 Vereinigung q 0,1 AG (β 1 ). q 0,2 AG (β 2 ). q 0,1 und q 0,2 werden verschmolzen. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 8 / 10
31 Kleene-Stern a q 0,1 AG (β 1 ). b Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 9 / 10
32 Kleene-Stern a a b q 0,1 AG (β 1 ). b a b Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 9 / 10
33 Eigenschaften von Glushkov-Automaten Lemma Sei α ein regulärer Ausdruck, sei A G (α) der Glushkov-Automat von α. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 10 / 10
34 Eigenschaften von Glushkov-Automaten Lemma Sei α ein regulärer Ausdruck, sei A G (α) der Glushkov-Automat von α. 1 Der Startzustand von A G (α) hat keine eingehenden Kanten. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 10 / 10
35 Eigenschaften von Glushkov-Automaten Lemma Sei α ein regulärer Ausdruck, sei A G (α) der Glushkov-Automat von α. 1 Der Startzustand von A G (α) hat keine eingehenden Kanten. 2 Wenn α (für n N) n Vorkommen von Terminalsymbolen enthält, dann hat A G (α) insgesamt n + 1 Zustände. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 10 / 10
36 Eigenschaften von Glushkov-Automaten Lemma Sei α ein regulärer Ausdruck, sei A G (α) der Glushkov-Automat von α. 1 Der Startzustand von A G (α) hat keine eingehenden Kanten. 2 Wenn α (für n N) n Vorkommen von Terminalsymbolen enthält, dann hat A G (α) insgesamt n + 1 Zustände. 3 Für jeden Zustand in A G (α) sind alle eingehenden Kanten mit dem gleichen Terminal beschriftet. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 10 / 10
37 Eigenschaften von Glushkov-Automaten Lemma Sei α ein regulärer Ausdruck, sei A G (α) der Glushkov-Automat von α. 1 Der Startzustand von A G (α) hat keine eingehenden Kanten. 2 Wenn α (für n N) n Vorkommen von Terminalsymbolen enthält, dann hat A G (α) insgesamt n + 1 Zustände. 3 Für jeden Zustand in A G (α) sind alle eingehenden Kanten mit dem gleichen Terminal beschriftet. 4 Kein Zustand von A G (α) ist eine Sackgasse. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 10 / 10
38 Eigenschaften von Glushkov-Automaten Lemma Sei α ein regulärer Ausdruck, sei A G (α) der Glushkov-Automat von α. 1 Der Startzustand von A G (α) hat keine eingehenden Kanten. 2 Wenn α (für n N) n Vorkommen von Terminalsymbolen enthält, dann hat A G (α) insgesamt n + 1 Zustände. 3 Für jeden Zustand in A G (α) sind alle eingehenden Kanten mit dem gleichen Terminal beschriftet. 4 Kein Zustand von A G (α) ist eine Sackgasse. Lemma Ein regulärer Ausdruck α ist genau dann ein deterministischer regulärer Ausdruck, wenn A G (α) als DFA interpretiert werden kann. Anwendungen Deterministische reguläre Ausdrücke 10 / 10
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