Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung

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1 Gliederung. Einleitung und Grundbegriffe. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.. Chomsky-Grammatiken 2.2. Reguläre Sprachen Reguläre Grammatiken, ND-Automaten Abgeschlossenheit 2.3. Kontextfreie Sprachen 2/4, Folie 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

2 ( in der Theoretischen Informatik ) Es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet. Einfache reguläre Ausdrücke: Das Zeichen ist ein regulärer Ausdruck. [ Das Zeichen ε ist ein regulärer Ausdruck. ] Jedes Zeichen a Σ ist ein regulärer Ausdruck. ) beliebt, aber durch ( )* ersetzbar. Operatoren zum Bilden komplexerer regulärer Ausdrücke: Es seien α und β reguläre Ausdrücke. Dann ist die Zeichenkette (αβ) ein regulärer Ausdruck ( Verkettung ), die Zeichenkette (α+β) ein regulärer Ausdruck 2 ( Auswahl ), die Zeichenkette α* ein regulärer Ausdruck 3 ( Kleene-Hülle ). 2 ) oft auch (α β). 2/4, Folie 2 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

3 ( in der Praxis ) werden oft abgespeckt: äußerste Klammern weglassen, z.b. (α+β)*β für ((α+β)*β) n-fache simultane Verkettungen, z.b. β*α*β für β*(α*β) Priorität: * vor Verkettung, z.b. αβ* für α(β*)... kommen vor zur Definition von Mustern in: Unix Java PHP Perl Python... 2/4, Folie 3 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

4 Beispiele für reguläre Ausdrücke Es sei Σ = {, } das zugrunde liegende Alphabet. Beispiele (mit induktivem Aufbau): (()) (()) ((+)*()*)* () () ((+)*()*) (+)* ()* ( ) entbehrliche äußerste Klammern ( ) entbehrliche Verkettungsklammern (+) vgl. links 2/4, Folie 4 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

5 Einschub: Operationen über Sprachen (/* später wichtig */) Es seien Σ das zugrunde liegende Alphabet und L, L 2 Σ*. Dann definieren wir: (L L 2 ) = { uv u L, v L 2 } ( Verkettung von L und L 2 ) L * = { ε } { u...u k k, u L,..., u k L } ( Kleene-Hülle von L ) Klammereinsparung wie bei regulären Ausdrücken möglich. 2/4, Folie 5 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

6 Durch reguläre Ausdrücke beschriebene Sprachen Es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet. Zu jedem regulären Ausdruck γ bezeichnet L(γ) die von γ beschriebene Sprache. Einfache reguläre Ausdrücke ( a Σ ): L( ) = L(a) = { a } ( L(ε) = { ε } ) Komplexere regulärer Ausdrücke ( α, β reg. Ausdr. ): L( (αβ) ) = L(α)L(β) ( Verkettung ) L( (α+β) ) = L(α) L(β) ( Auswahl ) L( α* ) = L(α)* ( Hülle ) 2/4, Folie 6 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

7 Beispiele für die durch reguläre Ausdrücke beschriebenen Sprachen Es sei Σ = {, } das zugrunde liegende Alphabet. α = L(α) = { } β = (+)* L(β) = { w w Σ* } γ = (()*()*)* L(γ) = { ε } { u...u k k, u,..., u k {, } }... denn es gilt für γ = ((+))* : L(γ ) = L(γ ). 2/4, Folie 7 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

8 Zwischenbilanz sind ein in der Praxis weit verbreitetes Mittel, um formale Sprachen zu beschreiben. lassen sich oft einfacher notieren als Grammatiken ( ein wenig Übung vorausgesetzt... ). Noch zu klären bleibt... welche formalen Sprachen sich mit Hilfe von regulären Ausdrücken beschreiben lassen; ob man das Wortproblem für diese Sprachen lösen kann und, wenn ja, wie effizient das möglich ist. 2/4, Folie 8 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

9 zentrales Resultat ( die Antwort auf beide Fragen ) Es seien Σ ein endliches Alphabet und L Σ*. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:. L ist eine reguläre Sprache. 2. Es gibt einen regulären Ausdruck α mit L(α) = L. Es handelt sich wieder um zwei Implikationen. 2/4, Folie 9 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

10 Implikation reg. Ausdruck reg. Sprache (Überblick) Das ist der einfachere Teil, da wir beim Beweis davon Gebrauch machen können, dass die Menge der regulären Ausdrücke induktiv definiert ist. Grundidee: Wir zeigen, dass jede durch einen einfachen regulären Ausdruck α definiert Sprache L(α) regulär ist ( trivial, wie wir gleich sehen ). Beim Nachweis, dass die durch einen komplexeren regulären Ausdruck γ = αβ, γ = (α+β) bzw. γ = (α)* definierte Sprache L(γ) regulär ist, benutzen wir dann, dass L(α) und L(β) regulär sind. Es würde genügen, wenn für beliebige reguläre Sprachen L und L 2 die Sprachen L = L L 2, L = L L 2 und L = L * regulär wären. Da wir die Abgeschlossenheit gegenüber Vereinigung bereits gezeigt haben, ist diese letzlich nur noch gegenüber Verkettung und Hüllenoperation zu zeigen. 2/4, Folie 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

11 ... für (einfache) reguläre Ausdrücke nichtdeterministischer endlicher Automat für ε: z : z a mit a Σ: a z z 2/4, Folie 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

12 Verkettung am Beispiel Es seien Σ = {, }, L = { w w Σ* }, die Wörter mit Präfix, und L 2 = { w w Σ* }, die Wörter mit Präfix. Frage: Ist die Sprache L L 2 auch regulär? ( L L 2 enthält alle Wörter aus Σ*, die das Präfix und das Suffix haben. ) 2/4, Folie 2 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

13 Verkettung am Beispiel A mit L(A ) = L nichtdet. endl. Automat B mit L(B) = L L 2 a a, a 2, a a, a 2,, A 2 mit L(A 2 ) = L 2 Was geschieht hier? b b b b 2/4, Folie 3 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

14 Verkettung am Beispiel A mit L(A ) = L nichtdet. endl. Automat B mit L(B) = L L 2 a a, a 2, a a, a 2,, A 2 mit L(A 2 ) = L 2 b b In A wird nicht mehr akzeptiert, in A 2 nicht mehr gestartet. Was in A zum Akzeptieren führte, führt nun auch zum ehemaligen Start von A 2. b b 2/4, Folie 4 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

15 Exkurs: Elegante Alternative A mit L(A ) = L nichtdet. endl. Automat B mit L(B) = L L 2 a a, a 2, a a, a 2, ε A 2 mit L(A 2 ) = L 2 b b sog. ε-automat, macht evtl. spontane Übergänge, ohne ein Zeichen zu verarbeiten b b 2/4, Folie 5 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

16 Exkurs: Beweisidee für die Operation Verkettung Sei A = [Z,Σ,z,F,δ ] ein (deterministischer) endlicher Automat für L Sei A 2 = [Q,Σ,q,F 2,δ 2 ] ein (deterministischer) endlicher Automat für L 2 Es gelte Z Q =. Definiere den nichtdeterministischen endlichen Automaten A = [Z,Σ,z,F, ] wie folgt: Z = Z Q z = z F = F 2 = 2 3 mit: = { (z,a,δ (z,a)) z Z und a Σ } 2 = { (q,a,δ 2 (q,a)) q Q und a Σ } 3 = { (z,a,q ) z Z, a Σ und δ (z,a) F 2 } Man kann sich nun leicht überlegen, dass L(A ) = L(A ) L(A 2 ) gilt. 2/4, Folie 6 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

17 Kleenesche Hülle am Beispiel Es sei Σ = {, }. Es sei L = { 2n- n }, die Wörter aus ungerade vielen Einsen plus einer Null am Ende. Ein Automat für L Für L* würde man gerne evtl. gleich am Start ε akzeptieren (aber nicht im z rechts), z z z 2 evtl. vom akzeptierenden z 2 aus sofort wieder bei z beginnen., z 4, 2/4, Folie 7 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

18 Kleenesche Hülle am Beispiel Es sei Σ = {, }. Es sei L = { 2n- n }, die Wörter aus ungerade vielen Einsen plus einer Null am Ende. Ein ε-automat für L* Jetzt würde man gerne das gleiche ohne ε-übergänge erreichen, wozu man Die ε-übergänge evtl. überspringt. z ε, ε z z z 4, z 2 2/4, Folie 8 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

19 Kleenesche Hülle vom Beispiel zur Konstruktionsvorschrift Es sei Σ = {, }. Es sei L = { 2n- n }, die Wörter aus ungerade vielen Einsen plus einer Null am Ende. Ein ND-Automat für L* Rezept Vom endlichen Automaten A = [Z,Σ,z,F,δ] zum NDA A = [Z,Σ,z,F, ] mit L(A )=L(A)* Z := Z { z } neuer Startzustand := z F := F { z } := 2 3 mit: = { (z,a,δ(z,a)) z Z und a Σ } 2 = { (z,a,δ(z,a)) a Σ } 3 = { (z,a,z ) z Z, a Σ und δ(z,a) F } z, z z z 4, z 2 2/4, Folie 9 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

20 Implikation reg. Sprache reg. Ausdruck Das ist der kompliziertere Teil wenn man nicht bereits aus der Graphentheorie das Zwischenknoten- Lemma für Wege kennt. Trotzdem bleibt die manuelle algorithmische Umsetzung i.a. langwierig. Es sei A eine endlicher Automat für eine reguläre Sprache L. Wir werden zeigen, dass man die Menge der akzeptierten Wörter, die also Pfade vom Anfangszustand zu einem akzeptierenden Zustand markieren, mit Hilfe von regulären Ausdrücken beschreiben kann. 2/4, Folie 2 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

21 Implikation reg. Sprache reg. Ausdruck ( Hilfsbegriff ) Es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet. Es sei A ein endlicher Automat mit der Zustandsmenge Z = {,...,n }, dem Anfangszustand und der Zustandsüberführungsfunktion δ(.,.). Es seien i,j,k mit i,j n und k n R i,j,k = { w Σ* δ*(i,w) = j und bei der Verarbeitung von w wird kein Zwischenzustand > k besucht }... d.h. es gibt in A einen mit w markierten Weg vom Zustand i zum Zustand j, in dem nur die Zwischenzustände,...,k vorkommen also im Falle von k=: gar keiner 2/4, Folie 2 25 Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

22 Implikation a) ( warum der Hilfsbegriff sinnvoll ist ) Es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet. Es sei A ein endlicher Automat mit der Zustandsmenge Z = {,...,n }, dem Anfangszustand und der Zustandsüberführungsfunktion δ(.,.) und F Z als Menge der akzeptierenden Zustände von A. Beobachtung : Es gilt: L(A) = R,j,n. j F Beobachtung 2: Falls es für jede Menge R,j,n auf der rechten Seite einen regulären Ausdruck α mit L(α ) = R,j,n gibt, so gibt es auch einen regulären Ausdruck α mit L(α) = L(A). 2/4, Folie Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

23 Implikation a) ( warum der Hilfsbegriff sinnvoll ist ) Es seien i,j,k mit i,j n und k n-. Beobachtung 3: Es gilt R i,j,k+ = R i,j,k R i,k+,k (R k+,k+,k )* R k+,j,k Wie beim Zwischenknoten-Lemma ist ein Wort von i nach j mit Zwischenzuständen k+ entweder ein Wort von i nach j mit Zwischenzuständen k oder zerlegbar in a) ein Wort von i nach k+ mit Zwischenzuständen k, b) eine (eventuell leere) Folge von Worten von k+ nach k+ mit Zwischenzuständen k und c) ein Wort von k+ nach j mit Zwischenzuständen k. 2/4, Folie Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

24 Implikation a) ( warum der Hilfsbegriff sinnvoll ist ) Es seien i,j,k mit i,j n und k n-. Beobachtung 3: Es gilt R i,j,k+ = R i,j,k R i,k+,k (R k+,k+,k )* R k+,j,k Beobachtung 4: Falls es für jede Menge R auf der rechten Seite einen regulären Ausdruck α mit L(α ) = R gibt, so gibt es auch einen regulären Ausdruck α mit L(α) = R i,j,k+. Beobachtung 5: Wiederholte Anwendung auf die rechten Seiten ( Auflösung ) führt zu elementaren regulären Ausdrücken. 2/4, Folie Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

25 Implikation a) ( Beispiel für Auflösung ) Es sei Σ = { a,b }. Es sei L 3 = L(A 3 ) L(A) = R,2,3 = R,2,2 R,3,2 (R 3,3,2 )*R 3,2,2 = R,2,2 ( da R 3,2,2 =! ) b A 3 a 2 a R,2,2 = R,2, R,2, (R 2,2, )*R 2,2, b b 3 a,b R,2, = R,2, R,, (R,, )*R,2, R 2,2, = R 2,2, R 2,, (R,, )*R,2, 2/4, Folie Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

26 Implikation a) ( Beispiel für Auflösung ) Es sei Σ = { a,b }. Es sei L 3 = L(A 3 ) R,, = { ε } R,2, = { a } R 2,, = { b } R 2,2, = { ε,a } b A 3 a 2 a R,2, = R,2, R,, (R,, )*R,2, = { a } { ε } ({ ε })* { a } = { a } b b a,b R 2,2, = R 2,2, R 2,, (R,, )*R,2, = { ε,a } { b } ({ ε })* {a } = { ε,a,ba } 3 L(A) = R,2,2 = R,2, R,2, (R 2,2, )*R 2,2, = { a } { a }({ ε,a,ba })*{ ε,a,ba } 2/4, Folie Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik

27 Implikation a) ( Beispiel für Auflösung, Vereinfachen, Umwandeln ) Es sei Σ = { a,b }. Es sei L 3 = L(A 3 ) b A 3 a L(A) = R,2,2 = R,2, R,2, (R 2,2, )*R 2,2, = { a } { a }({ ε,a,ba })*{ ε,a,ba } = { a } ({ a,ba })* a 2 Es gilt L(α) = L(A) für α = a ((a + ba))*. b b 3 a,b Beobachtung 6: Ohne die Abkürzungen und Vereinfachungen zwischendurch... Wie viele Folien mehr hätten wir gebraucht? Wie lange wäre der reg. Ausdruck geworden? 2/4, Folie Prof. Steffen Lange, Dr. Bernd Baumgarten - h _da/fbi - Theoretische Informatik