Induktionsprinzipien für andere Bereiche. falscher Induktionsbeweis über N Übung Beispiele. Reguläre Σ-Sprachen Abschnitt 2.

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1 Kap 1: Grundegriffe Induktion Induktionsprinzipien für andere Bereiche Beispiele Bereich M M 0 M erzeugende Operationen N 0} S: n n + 1 Σ ε} ( w wa ) für a Σ, c}-terme c} (t 1, t 2 ) (t 1 t 2 ) endl. Teilmengen von A } ( B B a} ) für a A Kap 1: Grundegriffe Induktion falscher Induktionseweis üer N Üung A(n): jede Gruppe von n Personen esteht aus gleichaltrigen Personen. Induktionsanfang: A(n) wahr für n = 0 und n = 1. Induktionsschritt: A(n) A(n + 1). Sei n 1, P = n + 1; p 1 p 2 elieig aus P ausgewählt. Betrachte P 1 := P \ p 1 } und P 2 := P \ p 2 }. P 1 = P 2 = n. Nach Induktionsannahme A(n) estehen also P 1 und P 2 jeweils aus gleichaltrigen Personen. Jedes p P \ p 1, p 2 } ist in P 1 und in P 2 vorhanden. Also sind alle in P gleichaltrig. Also gilt auch A(n + 1). Also gilt ( n N)A(n)? FGdI I Sommer 2010 M Otto 41/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 42/136 Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Reguläre Σ-Sprachen Aschnitt 2.1 Kapitel 2: Endliche Automaten Reguläre Sprachen Operationen auf Σ-Sprachen Komplement L L := Σ \ L Schnitt (L 1, L 2 ) L 1 L 2 Vereinigung (L 1, L 2 ) L 1 L 2 Boolesche Operationen Konkatenation von Sprachen (L 1, L 2 ) L 1 L 2 := u v : u L 1, v L 2 } L L := u 1... u n : u 1,..., u n L, n N } FGdI I Sommer 2010 M Otto 44/136

2 Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Reguläre Ausdrücke Definition Die Menge REG(Σ) der regulären Ausdrücke üer Σ, wird erzeugt gemäß: (i) ist ein regulärer Ausdruck. (ii) a ist ein regulärer Ausdruck, für a Σ. (iii) für α, β REG(Σ) ist (α + β) REG(Σ). (iv) für α, β REG(Σ) ist (αβ) REG(Σ). (v) für α REG(Σ) ist α REG(Σ). [evtl. auch zugelassen: Σ, Σ, Σ +, ε] Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Reguläre Sprachen Definition Semantik für α REG(Σ): L(α) Σ die durch α ezeichnete reguläre Sprache Induktiv/rekursiv üer α REG(Σ) definiere L(α): (i) L( ) :=. (ii) L(a) := a}. (iii) L(α + β) := L(α) L(β). (iv) L(αβ) := L(α) L(β). (v) L(α ) := ( L(α) ). Definition Die regulären Σ-Sprachen sind genau die L(α) für α REG(Σ) FGdI I Sommer 2010 M Otto 45/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 46/136 Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Endliche Automaten Aschnitt 2.2 Transitionssysteme (mit endl. Zustandsmenge) Die regulären Σ-Sprachen werden erzeugt aus den Ausgangssprachen und a} für a Σ durch die Operationen Vereinigung, Konkatenation und Stern. S = ( Σ, Q, ) mit den Komponenten: Σ: Alphaet (Kanteneschriftungen) Q : Zustandsmenge, endlich, Q Σ Q : Transitionsrelation (q, a, q ) steht für die Transition q a q FGdI I Sommer 2010 M Otto 47/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 48/136

3 Beispiel: Transitionssystem mit Zusatzstruktur, DFA a 0 1 a a 2 Zusatzstruktur: : Initialisierung; modulo-3 Zähler für a, w a mod 3. 2 : ausgezeichneter Zustand, hier für w a 2 (mod 3) deterministisch: eschreiar durch Funktion δ : Q Σ Q FGdI I Sommer 2010 M Otto 49/136 Endliche Automaten, DFA und NFA Idee: Transitionssysteme zur Erkennung von Sprachen deterministische Transitionssysteme/Automaten anstelle der Transitionsrelation Q Σ Q Transitionsfunktion δ : Q Σ Q (q, a) δ(q, a) Q jeweils genau ein eindeutig estimmter Nachfolgezustand kein deadlock, keine Auswahl nicht-deterministische Transitionssysteme/Automaten Transitionsrelation ietet u.u. ei Eingae a in Zustand q kein q mit (q, a, q ). deadlock verschiedene q mit (q, a, q ). Auswahl FGdI I Sommer 2010 M Otto 50/136 Deterministische endliche Automaten, DFA A = ( Σ, Q, q 0, δ, A ) Q endliche, nicht-leere Zustandsmenge q 0 Q Anfangszustand A Q Menge der akzeptierenden Zustände δ : Q Σ Q Üergangsfunktion. Berechnung von A auf w = a 1... a n Σ die eindeutige Zustandsfolge q 0,..., q n mit q i+1 = δ(q i, a i+1 ) für 0 i < n q 0 a 1 q1 a 2 q n 1 a n qn DFA: Läufe und Berechnungen Definition analog zu Berechnung (vom Startzustand q 0 aus) definiere Lauf auf w von q Q aus q a 1 q a 2 führt zu eindeutiger Fortsetzung ˆδ von δ: ˆδ : Q Σ Q (q, w) ˆδ(q, w) Q der (!) Endzustand des Laufs auf w von q aus induktiv definiert Berechnungen sind Läufe von q 0 aus; Endzustand der Berechnung von A auf w: ˆδ(q 0, w) Läufe eschreien auch Teilaschnitte von Berechnungen FGdI I Sommer 2010 M Otto 51/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 52/136

4 erkannte/akzeptierte Sprache Definition DFA: von A erkannte/akzeptierte Sprache w = a 1... a n mit Berechnung q 0,..., q n q n = ˆδ(q 0, w) akzeptiert w falls qn A A verwirft w falls q n A die von A akzeptierte/erkannte Sprache: L(A) := w Σ : A akzeptiert w } = w Σ : ˆδ(q 0, w) A } Nicht-deterministische endliche Automaten, NFA A = ( Σ, Q, q 0,, A ) Q endliche, nicht-leere Zustandsmenge q 0 Q Anfangszustand A Q Menge der akzeptierenden Zustände Q Σ Q Üergangsrelation. Berechnung von A auf w = a 1... a n Σ jede (!) Zustandsfolge q 0,..., q n mit (q i, a i+1, q i+1 ) q 0 a 1 q1 a 2 q n 1 a n q n Vorsicht: i.d.r. nicht eindeutig, nicht notwendig existent! FGdI I Sommer 2010 M Otto 53/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 54/136 erkannte/akzeptierte Sprache Definition Beispiele Σ = a, } NFA: von A erkannte/akzeptierte Sprache DFA A 1 0 a 1 a 2 a 3 L(A 1 ) =? eine Berechnung q 0,..., q n von A auf w = a 1... a n ist eine akzeptierende Berechnung auf w falls q n A die von A akzeptierte/erkannte Sprache: NFA A 2 0 a 1 a 2 a 3 L(A 2 ) =? L(A) := w Σ : A hat eine akzeptierende Berechnung auf w } eachte: Existenz mindestens einer akzeptierenden Berechnung Asymmetrie zgl. akzeptieren/verwerfen NFA A 3 0 a 1 a 4 a 2 a 5 a 3 L(A 3 ) =? FGdI I Sommer 2010 M Otto 55/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 56/136

5 Determinisierung Aschnitt von NFA zu äquivalentem DFA; Determinisierung deterministische Simulation des NFA durch Potenzmengen-Trick Satz Zu NFA A lässt sich ein DFA A det (effektiv) konstruieren, der diesele Sprache erkennt: L(A) = L(A det ). Idee: Zustände von A det geen an, in welchen Zuständen A sein könnte Potenzmengen-Trick deterministische Simulation des NFA in DFA mittels Potenzmengen-Trick A = ( Σ, Q, q 0,, A) A det = ( Σ, ˆQ, ˆq 0, δ, Â ) Zustände q Q S Q Zust.-M. Q ˆQ := P(Q) = S : S Q } Start-Z. q 0 ˆq 0 := q 0 } akz. A Â := S : S A } Trans. Q Σ Q δ : ˆQ Σ ˆQ δ(s, a) = q Q : (q, a, q ) für mindestens ein q S } FGdI I Sommer 2010 M Otto 57/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 58/136 Beispiel: Determinisierung NFA A 2 a 0 1 c DFA 3 A det mit L(A det ) = L(A): (aktive) Zustände: 0}, 0, 1}, 0, 2}, 3}, akzeptierende Zustände: 0, 2} und 3} Σ = a,, c} δ a c 0} 0, 1} 0} 0, 1} 0, 1} 0, 2} 3} 0, 2} 0, 1} 0} 3} L(A) = L((a + ) a( + c)) FGdI I Sommer 2010 M Otto 59/136 Aschlusseigenschaften Aschnitt Aschlusseigenschaften für NFA/DFA erkennare Sprachen Nachweis: Automatenkonstruktionen Lemmata /14 Vereinigung zu DFA A 1, A 2 existiert DFA A mit L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ). Durchschnitt zu DFA A 1, A 2 existiert DFA A mit L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ). Komplement zu DFA A 1 existiert DFA A mit L(A) = L(A 1 ). Konkatenation zu NFA A 1, A 2 existiert NFA A mit L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ). zu NFA A 1 existiert NFA A mit L(A) = ( L(A 1 ) ). FGdI I Sommer 2010 M Otto 60/136

6 Aschlusseigenschaften Durchschnitt und Vereinigung (für DFA) zu A 1 = ( Σ, Q (1), q (1) 0, δ(1), A (1)) A 2 = ( Σ, Q (2), q (2) 0, δ(2), A (2)) Produktautomat A = ( Σ, Q, q 0, δ, A ) mit Q := Q (1) Q (2) q 0 := (q (1) 0, q(2) 0 ) δ ( (q 1, q 2 ), a ) := ( δ (1) (q 1, a), δ (2) (q 2, a) ) simuliert A 1 /A 2 parallel in erster/zweiter Komponente A (1) A (2) für Durchschnitt A := (A (1) Q (2) ) (Q (1) A (2) ) für Vereinigung FGdI I Sommer 2010 M Otto 61/136 Aschlusseigenschaften Konkatenation (für NFA) aus NFA A 1 = ( Σ, Q (1), q (1) 0, (1), A (1)) A 2 = ( Σ, Q (2), q (2) 0, (2), A (2)) mit Q (1) Q (2) = und q (1) 0 A(1) ( ) gewinne Hintereinanderschaltung als NFA A = ( Σ, Q, q 0, δ, A ) Q := Q (1) Q (2) q 0 := q (1) 0 A := A (2) := (1) (2) (1) (2) (1) (2) := (q, a, q (2) 0 ): q Q (1), (q, a, q ) (1) für ein q A (1)} ( ): was ist andernfalls zu tun? FGdI I Sommer 2010 M Otto 62/136 Aschlusseigenschaften Korollar alle regulären Sprachen von NFA/DFA erkannt per Induktion üer reguläre Ausdrücke zeige: ( α REG(Σ) ) L(α) Automaten-erkennar Satz von Kleene Aschnitt 2.3 Satz (Kleene s Theorem) L regulär L DFA/NFA-erkennar Induktionsanfang: α = und α = a für a Σ. L( ) = und L(a) = a} Automaten-erkennar. α 1 + α 2, Induktionsschritte: von α 1, α 2 zu α 1 α 2, α 1 wenn L(α 1 ), L(α 2 ) Automaten-erkennar sind, so auch L(α 1 + α 2 ) = L(α 1 ) L(α 2 ) L(α 1 α 2 ) = L(α 1 L(α 2 ) L(α 1 ) = ( L(α 1 ) ) (Üung!) reguläre Ausdrücke Automaten-Berechnung erzeugen (Sprache) erkennen (Zugehörigkeit) deskriptiv prozedural Syntax Semantik FGdI I Sommer 2010 M Otto 63/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 64/136

7 Üersicht reguläre Σ-Sprachen NFA/DFA erkennare Σ-Sprachen L = L(α): α REG(Σ) L = L(A): Σ-NFA/DFA A L( ) =, L(a) = a},..., a},... ageschlossen unter Vereinigung ja (triv) Konkatenation ja (triv) ja (triv) Durchschnitt? Komplement? ageschlossen unter Vereinigung ja Konkatenation ja ja Durchschnitt ja Komplement ja DFA/NFA erkennare Sprachen sind regulär Aufgae: Idee: zum Beweis vom Satz von Kleene (Satz 2.3.1) gewinne systematisch zu Σ-DFA/NFA A regulären Ausdruck α REG(Σ) mit L(α) = L(A) sukzessive Berechnung von α für Hilfssprachen L so, dass kompliziertere α /L sich einfach aus einfacheren zusammensetzen (algorithmisch vgl. Idee des dynamischen Programmierens) o.b.d.a. etrachte DFA A = (Σ, Q, q 0, δ, A) mit Q = 1,..., n} Satz von Kleene: dies sind alternative Beschreiungen derselen Sprachklasse FGdI I Sommer 2010 M Otto 65/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 66/136 zum Beweis vom Satz von Kleene DFA A = ( Σ, Q, q 0, δ, a ) Q = 1,..., n} zu 0 k n und 1 l, m n sei L k l,m := w Σ A hat Lauf von Zustand l nach Zustand m : auf w üer Zwischenzustände q 1,..., k} } a Σ: δ(l, a) = m L 0 l,m = falls l m ε} a Σ: δ(l, a) = l } falls l = m L k+1 l,m = Lk l,m }} (1) L k l,k+1 }} (2) (L k k+1,k+1 } ) } (3) L k k+1,m }} (4) (1) Läufe ohne Zustand k + 1; (2) Läufe von Zustand l zum ersten k + 1; (3) Schleifen durch Zustand k + 1; (4) Läufe vom letzten k + 1 nach m. } (endlich) FGdI I Sommer 2010 M Otto 67/136 Folgerungen aus dem Satz von Kleene Korollar die Klasse der regulären Sprachen ist ageschlossen unter allen Booleschen Operationen sowie Konkatenation und Stern alle Automaten-erkennaren Sprachen lassen sich allein mit Vereinigung, Konkatenation und Stern aus (einfachsten) endlichen Sprachen gewinnen FGdI I Sommer 2010 M Otto 68/136