Beispiele für Wortverarbeitung durch NEA. Beispiele für NEA (1) Beispiele für NEA (2) Beispiele für NEA (3) 1.) 1 q 2. q 5. q 1 1 0,1,2. 0 q 2.

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1 Beispiele für Wortverarbeitung durch NA q, q q 3 q q 4 Wort Weg q, q, q q, q, q, q, q, nicht akzeptierend Weg q, q, q nicht fortsetzbar Weg q, q, q, q, q 3, q 5 nicht fortsetzbar Weg q, q, q, q, q, q q 3 q 6 nicht akzeptierend Weg q, q, q, q, q, q q 3 q 5 akzeptierend Für ein Wort sind Berechnungen möglich, die zu undefiniertem Verhalten führen, zu nicht akzeptieren Zuständen führen oder zu akzeptierenden Zuständen führen. ine einzige Folge von Zustandsübergängen, die zu einem akzeptierenden Zustand führt, reicht für L(A). Für den oben angegebenen NA ist die akzeptierte Sprache L(A) = (+) + ( + ) + ( + ) + ( + ) = (+) ( + )+ ( + ) ( + ) = (+) ( + )( + ) q 5 q 6.) q Beispiele für NA (),,, q, q 3 Der Automat akzeptiert die Sprache..) q q q,, Der Automat akzeptiert die Sprache ( + ) ( + ). 3.) q q q 3 q Der Automat akzeptiert die Sprache, die aus allen Wörtern besteht, die genau ein Paar aufeinanderfolgender Nullen enthalten. in regulärer Ausdruck,der diese Sprache darstellt, ist ( ) ( ) q 4 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-33 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-34 Beispiele für NA () 4.) Die Sprache () wird akzeptiert von q' q' q' q' 3 5.) Die Sprache ( () ) wird akzeptiert von q q' q' q' oder kürzer durch q' q' q' q' 3 q' 3 Beispiele für NA (3) 8.) Die Sprache ( () ) +( () ) + wird akzeptiert von q' q' q' q' 3 q q" q" q" q" 3 6.) Die Sprache () wird akzeptiert von 9.) Die Sprache ( () ) ( () ) + wird akzeptiert von q" q" q" q" 3 7.) Die Sprache ( () ) + wird akzeptiert von q' q' q' q' 3 q q" oder kürzer durch q" q" q" 3 q" q" q" q" 3 q" q" q" q" 3 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-35 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-36

2 Verhältnis von DA und NA Offenbar ist jeder DA ein NA. Die Automaten akzeptieren die gleiche Sprache: Äquivalenz von DA und NA Sei L eine Sprache. s gibt einen NA, der L akzeptiert, genau dann, wenn es einen DA gibt, der L akzeptiert. q q,,, q, q 3 q q 3 Sei A N =(Q N, Σ,δ N,q N,,F N ) ein NA. Wir konstruieren einen DA A D =(Q D, Σ,δ D,q D,,F D ) durch Q D = P(Q N ) δ D (U, s) = q U δ N(q, s) für U P(Q N ),s Σ q D, = {q N, } F D = {U P(Q N ) U F N } Frage Kann man zu jedem NA einen DA angeben, der die gleiche Sprache akzeptiert? Der Automat A D verfolgt also quasi gleichzeitig alle Wege in A N, die für ein ingabewort möglich sind. Der Zustand, der in A D erreicht wird, entspricht der Menge der Zustände von A N, die in A N erreicht werden können. Für diesen Automaten A D gilt L(A D )=L(A N ) ( durch nduktion über Aufbau von Σ ) Bei der konkreten Konstruktion eines DA A D zu einem NA A N beschränkt man sich auf die Zustandsmengen, die man für die Wörter aus Σ in A N erreichen kann. Dies ist nicht unbedingt die ganze Menge P(Q N ). c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-37 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-38 Beispiel Äquivalenz von DA und NA q, q q, q δ N (q, ) δ N (q, ) q {q } {q,q } q {q } q {q } {q } Wir bestimmen im Transitionsdiagramm des Automaten A D wie im zuvor die Zusammenhangskomponente von {q }. Verhältnis von DA/NA und reguläre Sprachen Wir wissen bereits: Wenn eine Sprache L Σ von einem DA akzeptiert wird, dann läßt sich L durch einen regulären Ausdruck beschreiben. ilt dies auch umgekehrt? ibt es zu jeder regulären Sprache einen DA, der sie akzeptiert? Aufgrund der Äquivalenz von DA und NA zeigen wir dies für NA. q δ D (q, ) δ D (q, ) {q } {q } {q,q } {q,q } {q } {q,q,q } {q,q,q } {q,q } {q,q,q } {q,q } {q,q } {q,q,q } Wir müssen nur diese 4 Zustände für den Automaten A D verwenden! { q } { q, q } { q, q, q } { q, q } c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-39 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-4

3 Äquivalenz von NA und regulären Sprachen () Äquivalenz von NA und regulären Sprachen () Für jede reguläre Sprache L Σ gibt es einen NA, der sie akzeptiert. Der wird durch nduktion über den Aufbau regulärer Sprachen geführt. Wir geben hier nur jeweils die Automaten an ohne explizit zu zeigen, dass diese die jeweilige Sprache akzeptieren..) L = wird akzeptiert durch A =({q }, Σ,δ,q, ) mit δ(q, s) = für alle q {q },s Σ..) L = {ε} wird akzeptiert durch A ε =({q }, Σ,δ,q, {q }) mit δ(q, s) = für alle q {q },s Σ. 3.) L = {a} mit a Σ wird akzeptiert durch A a =({q,q }, Σ,δ,q, {q }) mit δ(q,a)=q und δ(q, s) = für q = q und alle s Σ und q = q und alle s Σ,s a. 4.) Die Sprache L Σ werde durch den Automaten A =(Q, Σ,δ,q,F ) akzeptiert und L Σ durch A =(Q, Σ,δ,q,F ) und es gelte Q Q =. Wie in den Beispielen für NA definieren wir jetzt NA für L L,L L und (L ). (Fortsetzung) 4.) a.) Die Sprache L L wird akzeptiert von A =(Q, Σ,δ,q,F) mit Q = Q Q {q } mit q Q Q { F F falls q F,q F F = F F {q } sonst δ (q, s) falls q Q δ(q, s) = δ (q, s) falls q Q δ (q,s) δ (q,s) sonst, also q = q b.) Die Sprache L L wird akzeptiert von A =(Q, Σ,δ,q,F) mit Q = Q Q { F {q F = } falls q F,q F F sonst δ (q, s) falls q Q \ F,δ (q, s) F = δ (q, s) {q δ(q, s) = } falls q Q \ F,δ (q, s) F δ (q, s) falls q Q δ (q, s) δ (q,s) sonst, also q F c.) Die Sprache (L ) wird akzeptiert von A =(Q, Σ,δ,q,F) mit Q = Q {q } mit q Q F = F {q } δ (q, s) falls q Q,δ (q, s) F = δ(q, s) = δ (q, s) {q } falls q Q,δ (q, s) F δ (q,s) sonst, also q = q c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-4 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-4 rweiterungen endlicher Automaten ndliche Automaten können als Read-Once-Turingmaschinen ohne Arbeitsband aufgefasst werden: ingabe-band... a b b b a b b... Lesekopf ndliche Kontrolle Leserichtung Typische Fragestellungen für endliche Automaten Vervollständigen Sie einen partiellen DA. eben Sie für eine reguläre Sprache (gegeben als Menge oder regulärer Ausdruck) einen endlichen Automaten (NA/DA) an, der diese Sprache akzeptiert. eben Sie zu einem endlichen Automaten (NA/DA) die von ihm akzeptierte Sprache an (als Menge oder regulärer Ausdruck). Konstruieren Sie zu einem NA einen äquivalenten DA. rweiterungsmöglichkeiten: Mehrfaches Lesen, Arbeitsband, Ausgabeband,... ε-übergänge ndliche Automaten mit Ausgabeverhalten: Jeder Zustand sorgt für eine bestimmte Ausgabe. Moore-Automaten A =(Q, Σ,,δ,λ,q ) Ausgabealphabet und λ : Q Ausgabefunktion Jeder Zustandsübergang sorgt für eine bestimmte Ausgabe. Mealy-Automaten A =(Q, Σ,,δ,λ,q ) Ausgabealphabet und λ : Q Σ Ausgabefunktion Mealy- und Moore-Automaten sind äquivalent: Die Mengen der Sprachen, die aus den durch die ingabewörter erzeugten Ausgabewörtern der Automaten bestehen, sind gleich abgesehen von dem ersten Buchstaben der Ausgabewörter bei Moore-Automaten. c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-43 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-44

4 rzeugen von Sprachen Kontextfreie rammatiken Beschreibung arithmetische Ausdrücke mit den Operationen +, Jede Variable ist arithmetischer Ausdruck. expr x Jede Zahl ist arithmetischer Ausdruck. expr n Arithmetische Ausdrücke können mit Operationen geschachtelt werden. expr expr + expr expr expr expr Anwendung der Regeln zur Produktion von arithmetischen Ausdrücken: expr expr + expr expr + expr expr 7+y 3 rsetzungen durch Regelanwendung erfolgen unabhängig vom Kontext! Anwendung der Regeln zur Analyse von arithmetischen Ausdrücken: ine (kontextfreie) rammatik =(V,T,P,S) besteht aus einem endlichen Alphabet V von Variablen (Nicht-Terminalzeichen), einem endlichen Alphabet T von Terminalzeichen mit V T =, einer endlichen Menge P von Produktionen, P V (V T ),und einem ausgezeichneten Startsymbol S V. Schreibweisen: Variablen S, A, B, C,... roßbuchstaben Terminale a, b, c,... Kleinbuchstaben Produktionen A abacs Kürzere Darstellungen von Produktionen A ab AA ε statt A ab A AA A ε Die Anwendung von Produktionen auf Wörter in (V T ) ist analog zur Anwendung von Axiomen auf Terme in abstrakten Algebren. 7+y 3 expr + expr expr expr expr expr c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-45 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-46 Ableitungen und Sprachen Ableitungsbäume Sei =(V,T,P,S) eine kontextfreie rammatik. Man kann anhand der Produktionen eine Ableitungsrelation w v auf den Wörtern (V T ) definieren. Für eine kontextfreie rammatik =(V,T,P,S) definieren wir die Ableitungsrelation induktiv durch: Beispiel Sei =(V,T,P,) die kontextfreie rammatik mit. V = {,}. T = {,,..., 9, +, } 3. P = { +,... 9,... 9}. α α gilt für alle α (V T ). Zur erzeugten Sprache gehören +3*4, 3+4+5, 67,..., * αaβ αγβ gilt für α, β, γ (V T ) und A V mit (A γ) P. Ableitungsbaum 3. Falls α n βaγfür α, β, γ (V T ) und A V gilt und (A δ) P ist, so gilt auch α n+ βδγ. + * Wir schreiben α β, falls es ein k N gibt mit α k β. + 4 Für eine kontextfreie rammatik =(V,T,P,S) ist die von erzeugte Sprache. L() ={w T S w} 3 Knotenmarkierung aus V T {ε} nnere Knoten haben Markierungen aus V, Blätter aus T {ε} nnere Knoten und ihre unmittelbaren Nachfolger entsprechen Produktionen aus P Knoten mit Label ε sind Blätter und einziger unmittelbarer Nachfolger eines Knotens c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-47 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-48

5 Beispiel einer kontextfreien rammatik Reguläre rammatiken Sei =({S}, {a, b}, {S asb ε},s), dann ist eine kontextfreie rammatik. Offensichtlich gehören zu L() die Wörter ε ab aabb aaabbb aaaabbbb... s gilt L() ={a n b n n N} wobei a n die Konkatenation von n Buchstaben a bezeichnet. ine rechtslineare rammatik =(V,T,P,S) besteht aus einem endlichen Alphabet V von Variablen (Nicht-Terminalzeichen), einem endlichen Alphabet T von Terminalzeichen mit V T =, einer endlichen Menge P von Produktionen, P V (T V T ), und einem ausgezeichneten Startsymbol S V. ine rechtslineare rammatik ist also eine rammatik mit einer eingeschränkten Form von Produktionen, nämlich nur sind erlaubt. A wb und A w Analog definierte rammatiken mit Produktionen der Form A Bw und A w heißen linkslineare rammatiken. L() ist KN reguläre Sprache. Rechtslineare und linkslineare rammatiken heißen reguläre rammatiken. c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-49 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-5 Beispiele regulärer rammatiken () Wir setzen das Alphabet Σ={, } voraus und geben nur die Produktionen an..) Die Sprache {w w Σ } wird erzeugt von P = { S S S }.) Die Sprache () wird erzeugt von P = { S S A, A A ε } 3.) Die Sprache ( () ) + wird erzeugt von S Startsymbol P 3 = { S S, S S A, A A ε S } 4.) Die Sprache ( () ) wird erzeugt von S Startsymbol P 4 = { S ε S, S S A, A A S } 5.) Die Sprache () + () wird erzeugt von P 5 = { S S S, S ε S, S ε S } Äquivalenz von regulären rammatiken und regulären Sprachen () Für jede reguläre Sprache L Σ gibt es rechtslineare rammatik, die diese Sprache L erzeugt. Der wird durch nduktion über den Aufbau regulärer Sprachen geführt. Wir geben hier nur jeweils die rammatiken an ohne explizit zu zeigen, dass diese die jeweilige Sprache erzeugen..) L = wird erzeugt durch =({S}, Σ,,S)..) L = {ε} wird erzeugt durch ε =({S}, Σ, {(S ε)},s). 3.) L = {a} mit a Σ wird erzeugt durch a =({S}, Σ, {(S a)},s). 4.) Die Sprache L Σ werde durch den Automaten =(V, Σ,P,S ) erzeugt und L Σ durch =(V, Σ,P,S ) und es gelte V V =. a.) Die Sprache L L wird erzeugt von =(V,Σ,P,S) mit V = V V {S} mit S V V P = P P {(S S ), (S S )} b.) Die Sprache L L wird erzeugt von =(V,Σ,P,S ) mit V = V V P = {(A ws ) (A w) P } {(A wb) P } P c.) Die Sprache (L ) wird erzeugt von =(V,Σ,P,S ) mit V = V {S} mit S V P = {(A ws) (A w) P } {(A wb) P } {(S ε S )} c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-5 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-5

6 Beispiele regulärer rammatiken () Wir setzen das Alphabet Σ={, } voraus. egeben sei der vollständige deterministische Automat A q q q L(A) wird erzeugt von der folgenden rammatik V = {Q,Q,Q,Q 3 } T = {, } P = { Q Q Q, Q Q Q, Q Q Q 3, Q 3 Q Q, Q 3 ε } Q Startsymbol q 3 Äquivalenz von regulären rammatiken und regulären Sprachen () Für jeden vollständigen DA A gibt es eine rechtslineare rammatik, die die von A akzeptierte Sprache L erzeugt. Sei A =(Q, Σ,δ,q,F) ein DA. Wir definieren die rammatik =(V,T,R,S) durch: V = Q Die Nicht-Terminalzeichen der rammatik sind die verschiedenen Zustände des Automaten. Zur Verdeutlichung schreiben wir sie groß: Q i statt q i. T =Σ Terminalzeichen sind die Buchstaben des Alphabets. S = Q Als Startsymbol wählen wir das dem Anfangszustand des Automaten entsprechende Nicht-Terminal. P Für jeden Zustand q und jeden Buchstaben s Σ wird eine Regel Q sq mit q = δ(q, s) erzeugt. Für jedes q F erzeugen wir zusätzlich eine Regel Q ɛ. Diese rammatik erzeugt die gewünschte Sprache L() =L(A) c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-53 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-54 Beispiele regulärer rammatiken (3) Wir setzen das Alphabet Σ={, } voraus. Die Sprache () + () wird erzeugt von P = { S S S, S ε S, S ε S } Die rammatik können wir umformen in P = { S S S, S ε X,X X,X S, S ε Y,Y Y,Y S } und weiter in P = { S ε X Y, S ε X,X X,X S, S ε Y,Y Y,Y S } Die von dieser rammatik erzeugte Sprache wird von diesem Automaten akzeptiert: S X X Äquivalenz von regulären rammatiken und regulären Sprachen (3) Für jede rechtslineare rammatik gibt es einen NA A, der die von erzeugte Sprache L akzeptiert. Sei =(V,Σ,P,S) eine rechtslineare rammatik und L() die erzeugte Sprache. O.. können wir annehmen, dass alle Regeln in P die estalt A sb mit s Σ,A,B V oder A ε hat. Allgemein ersetzen wir eine Regel A s...s k durch (A s X ),..., (X k s k X k ), (X k ε) mit neuen paarweise verschiedenen Nicht-Terminalen X,..., X k, A s...s k B durch (A s Y ),..., (Y k s k B) mit neuen paarweise verschiedenen Nicht-Terminalen Y,..., Y k, ergänzen eine Regel A sa, falls Regeln (A A ),..., (A k A k ), (A k sa) mit paarweise verschiedenen A,..., A k existiert, B ε, falls Regeln (B B ),..., (B j B j ), (B j ε) mit paarweise verschiedenen B,..., B j existieren, und eliminieren dann alle Regeln A B mit A, B V. S S Y Y Fassen wir jedes Nicht-Terminal A V als Zustandsbezeichner auf, jede Regel A sb als Zustandsübergang von Zustand A nach Zustand B bei ingabesymbol s und für jede Regel A ε den Zustand A als ndzustand, dann erhalten wir einen NA A mit L(A) =L() c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-55 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-56

7 Typische Fragestellungen für reguläre rammatiken eben Sie zu Wörtern einer durch eine rechtslineare rammatik erzeugten Sprache Ableitungsbäume an. eben Sie für eine reguläre Sprache (gegeben als Menge oder regulärer Ausdruck oder NA/DA) eine rechtslineare rammatik an, die diese Sprache erzeugt. eben Sie zu einer rechtslinearen rammatik die von ihr erzeugte Sprache an (als Menge oder regulärer Ausdruck). Konstruieren Sie zu einer rechtslinearen rammatik einen NA, der genau die erzeugte Sprache der rammatik akzeptiert. Abgeschlossenheit regulärer Mengen Die Menge der regulären Mengen ist abgeschlossen gegen. Vereinigung, Konkatenation und Kleene scher Hüllenbildung. Komplementbildung st L Σ eine reguläre Menge, so ist auch Σ \ L eine reguläre Menge. 3. Schnittbildung Sind L und L reguläre Mengen, so ist auch L L eine reguläre Menge.. Siehe Folien V-4 und V-4.. Wenn wir einen DA A =(Q, Σ,δ,q,F ) haben mit L = L(A ) können wir A an das Alphabet Σ anpassen und A vervollständigen. Sei also A =(Q, Σ,δ,q,F) ein vollständiger DA mit L = L(A). Setzte A C =(Q, Σ,δ,q,Q\ F ), dann gilt L(A C )=Σ \ L(A) 3.) Seien L,L Σ reguläre Sprachen. Seien o.. A i =(Q i, Σ,δ i,q i,,f i ) für i =, vollständige DA mit L(A )=L und L(A )=L. Setzte A =(Q Q, Σ,δ,(q,,q, ),F F ) mit δ((q,i,q,j ),s)=δ(q,i,s) δ(q,i,s) Dann gilt L L = L(A) c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-57 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-58 renzen regulärer Mengen Modellierungsaspekte Lemma (Pumping-Lemma) Sie L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Konstante n N, so dass für jedes Wort w L mit w n gilt w läßt sich darstellen als w = v v v 3 mit v v nund v und v vv i 3 L für alle i N. n ist dabei kleiner oder gleich der Anzahl der Zustände des kleinsten (bzgl. Q) Automaten, der L akzeptiert. dee: s q j = q k Reguläre Ausdrücke: Beschreiben von Sprachen durch einfache Operationen auf einfachen elementaren Sprachen ndliche Automaten: Verarbeiten von Sprachen (nput = Symbol), Modellieren von Abläufen (nput = Aktion) Reguläre oder kontextfreie rammatiken: rzeugen von Sprachen (z.b. Programmiersprachen) durch Angabe von Syntaxdiagrammen (Zusammenfassung von Produktionen), Analysieren von Sprachen (z.b. Programmiersprachen) durch rstellen von Ableitungsbäumen q q j q k- s q k q m v v 3 v Wenn wir im Transitionsdiagramm auf einem akzeptierenden Weg für ein Wort w einen Zyklus haben, so können wir diesen Zyklus beliebig oft durchlaufen! Die Sprache L() ={a n b n n N} kann daher von keinem endlichen Automaten akzeptiert werden, da n größer als die Anzahl seiner Zustände sein kann, so dass im Weg für a n ein Zyklus sein muss und auch im Weg für b n, so dass die Folge der a und die Folge der b unabhängig voneinander aufgepumpt werden können. Die Folgen sind dann aber i.a. nicht mehr gleich lang. c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-59 c LTTMANN 3/4 Modellierung Reguläre Sprachen V-6