Typ-3-Sprachen. Das Pumping-Lemma
|
|
- Lilli Giese
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Das Pumping-Lemma Typ-3-Sprachen Um zu zeigen, daß eine Sprache L regulär ist, kannman einen NFA M angeben mit L(M) = L, oder eine rechtslineare Grammatik G angeben mit L(G) =L, oder einen regulären Ausdruck γ angeben mit L(γ) = L, oder zeigen, daß L = L 1 L 2 ist und daß L 1 und L 2 regulär sind, oder zeigen, daß L = L 1 L 2 ist und daß L 1 und L 2 regulär sind, oder... WS 11/12 119
2 Aber wie kann man zeigen, daß eine Sprache nicht regulär ist? Beispiel Betrachte die kontextfreie Grammatik G mit den Produktionen S 0 S 1 S S ε Sie erzeugt z.b. die Wörter ε, 01, 0011, 0101, Die Sprache L(G) =Kl ist die Sprache der korrekten Klammerausdrücke (verstehe 0 als öffnende und 1 als schließende Klammer). Diese kontextfreie Sprache ist nicht regulär. Also gilt L 3 L 2. Aber wie kann man das zeigen? WS 11/12 120
3 Natürlich könnte man zeigen, daß L(M) = Kl für jeden NFA M gilt, oder zeigen, daß L(G) = Kl für jede rechtslineare Grammatik G gilt, oder zeigen, daß L(γ) = Kl für jeden regulären Ausdruck γ gilt, oder eine reguläre Sprache L angeben und zeigen (bzw. schon wissen), daß Kl L nicht regulär ist (denn der Schnitt zweier regulärer Sprachen ist wieder regulär, siehe Folie 98), oder... Z.B. ist a b ein regulärer Ausdruck. Wir werden sehen, daß der Schnitt Kl L(0 1 )={0 m 1 m m N} nicht regulär ist (Folie 126). Daraus folgt dann, daß die Sprache der korrekten Klammerausdrücke Kl nicht regulär ist und damit L 3 L 2. WS 11/12 121
4 größeres Ziel: Ein schönes Verfahren, mit dem man einfach zeigen kann, daß eine Sprache L nicht regulär ist. Idee: Man versucht auszunutzen, daß eine reguläre Sprache von einem Automat mit endlich vielen Zuständen akzeptiert werden muß. Das bedeutet auch: wenn ein Wort x L ausreichend lang ist, so besucht man damit beim Durchlauf durch den Automaten mindestens einen Zustand z zweimal. z WS 11/12 122
5 v u z w Die dadurch entstehende Schleife kann nun mehrfach (oder gar nicht) durchlaufen werden. Dadurch wird das Wort x = uvw aufgepumpt und man stellt fest, daß uw, uv 2 w, uv 3 w,...auchinl liegen müssen. Bemerkung: Es gilt v i = v...v. i-mal WS 11/12 123
6 v u z w Außerdem kann man für u, v, w folgende Eigenschaften verlangen: 1 v 1: Die Schleife ist auf jeden Fall nicht trivial, d.h., sie enthält mindestens einen Übergang. 2 uv n =AnzahlderZustände des NFA: Spätestens nach n Alphabetsymbolen wird der Zustand z das zweite Mal erreicht. WS 11/12 124
7 Pumping Lemma (M. Rabin, D. Scott 1964) Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es n 1derart, daß für alle x L mit x n gilt: es gibt Wörter u, v, w Σ mit (i) x = uvw, (ii) uv n, (iii) v 1 und (iv) uv i w L für alle i 0. Dieses Lemma spricht nicht über Automaten, sondern nur über die Eigenschaften der Sprache. Daher ist es dazu geeignet, Aussagen über Nicht-Regularität zu machen. Wir zeigen zunächst an einem Beispiel, wie dies funktioniert: WS 11/12 125
8 Beispiel L 1 = {0 m 1 m m N} ist nicht regulär. Beweis: indirekt Angenommen, L 1 wäre regulär. Nach dem Pumping-Lemma gibt es ein n 1, so daß die folgende Aussage gilt: Für jedes x L 1, x n, gibt es u, v, w Σ mit (i), (ii), (iii) und (iv). Wir wählen nun x =0 n 1 n. Dann ist x L 1 und x =2n > n. Nach der Aussage (*) gibt es also u, v, w Σ mit (*) (i) x = uvw, (iii) v 1und (ii) uv n, (iv) uv i w L 1 für alle i 0. WS 11/12 126
9 uvw (i) = x = n mal n mal Wegen uv n nach (ii) besteht uv nur aus Nullen. Insbesondere besteht v {0} nur aus Nullen. Also gilt uv 0 w = uw =0 n v 1 n. Aus v 1 nach (iii) folgt n v < n und damit uv 0 w =0 n v 1 n / L 1. Widerspruch zu (iv)! Also ist L 1 nicht regulär. WS 11/12 127
10 Beweis des Pumping-Lemmas: Sei L eine reguläre Sprache. Sei M =(Z, Σ, S,δ,E) einnfamitl = L(M), sein = Z. Sei nun x ein beliebiges Wort mit x L und x n, d.h.x = a 1 a 2 a m mit m n und a 1, a 2,...,a m Σ. Da x L(M), existieren Zustände z 0, z 1,...,z m Z mit z 0 S, z j δ(z j 1, a j )für 1 j m, z m E. Wegen Z = n m existieren nach dem Schubfachprinzip 0 j < k n mit z j = z k. Setze u = a 1 a j, v = a j+1 a k und w = a k+1 a m. WS 11/12 128
11 Dann gilt: (i) x = a 1 a j a j+1 a k a k+1 a m = uvw (ii) uv = a 1 a k = k n (iii) v = k (j + 1) + 1 = k j > 0(daj < k) (iv) Sei i 0 beliebig. Es gelten z j ˆδ(z 0, u), z j = z k ˆδ(z j, v) und z m ˆδ(z k, w) E. Also gilt z j ˆδ(z j, v i )für alle i N. Damit erhält man aber z m ˆδ(z 0, uv i w) E, d.h.,uv i w L(M) =L. WS 11/12 129
12 Beispiel L 2 = {0 m2 m N} ist nicht regulär. Beweis: indirekt Angenommen, L 2 wäre regulär. Nach dem Pumping-Lemma gibt es ein n 1, so daß die folgende Aussage gilt: Für jedes x L 2, x n, gibt es u, v, w Σ mit (i), (ii), (*) (iii) und (iv). Wir wählen nun x =0 n2. Dann ist x L 2 und x = n 2 n. Nach der Aussage (*) gibt es also u, v, w Σ mit (i) x = uvw, (iii) v 1und (ii) uv n, (iv) uv i w L 2 für alle i 0. WS 11/12 130
13 uvw (i) = x = n 2 mal Wegen 1 v nach (iii) und uv n nach (ii) gilt 1 v n. Es gilt uv 2 w =0 u 0 v 0 v 0 w =0 x + v =0 n2 + v. Aus n 2 < n 2 + v n 2 + n < (n + 1) 2 folgt, daß n 2 + v keine Quadratzahl ist, also daß uv 2 w / L 2 gilt. Widerspruch zu (iv)! Also ist L 2 nicht regulär. WS 11/12 131
14 Unsere Beweise, daß L 1 und L 2 nicht regulär sind, folgten dem folgenden Schema: Behauptung: Die Sprache L ist nicht regulär. [0] (wörtlich) Beweis: indirekt. Angenommen, L wäre regulär. Nach dem Pumping-Lemma gibt es ein n 1, so daß die folgende Aussage (*) gilt: Für jedes x L, x n, gibt es u, v, w Σ mit (i)-(iv). [1] (problemspezifisch) Wirwählen ein geeignetes x L mit x n, so daß Schritt [3] ausführbar ist. [2] (wörtlich) Nach der Aussage (*) gibt es u, v, w Σ mit (i) (iv). [3] (problemspezifisch) Wirwählen zu u, v, w ein passendes i 0 und zeigen, daß uv i w nicht in L sein kann. [5] (wörtlich) Widerspruchzu(iv). WS 11/12 132
15 Dieses Beweisschema ist die Umsetzung der folgenden Formulierung des Pumping-Lemmas mit logischen Operatoren: L regulär n x L mit x n u, v, w mit (i iii) i : uv i w L Erinnerung Logische Strukturen : A B B A und xf x F und xf x F. Das Pumping-Lemma ist also logisch äquivalent zu: n x L mit x n u, v, w mit (i-iii) i : uv i w L L ist nicht regulär WS 11/12 133
16 Diese Umformulierung können wir auch in dem folgenden Spielschema fassen: Wir (die Beweiser oder Braven) wollen zeigen, daß die Sprache L nicht regulär ist. Dazu müssen wir das folgende Spiel (gegen den Gegner oder den Gemeinen) gewinnen: Runde 1 G wählt eine Zahl n 1. Runde 2 B wählt ein x L mit x n Runde 3 G wählt u, v, w mit (i) x = uvw, (ii) uv n und (iii) v 1. Runde 4 B wählt ein i und zeigt, daß uv i w / L. Die Sprache L ist nicht regulär, falls B unabhängig von den Wahlen von G in Runden 1 und 3 immer so wählen kann (in Runden 2 und 4), daß schließlich uv i w / L gilt. WS 11/12 134
17 Beispiel L 3 = {0 m m+ m, N} ist nicht regulär. Beweis: wir zeigen, daß B im Spielschema immer so wählen kann, daß uv i w / L 3 gilt: Runde 1 G wählt eine Zahl n 1. Runde 2 B wählt x =0 n 110 n (natürlich gelten x L 3 und x n) Runde 3 G wählt u, v, w mit (i) x = uvw, (ii) uv n und (iii) v 1. Runde 4 B wählt i = 0 und zeigt, daß uv i w / L 3 : x beginnt mit genau n uv Nullen. Also besteht v nur aus Nullen. Damit ergibt sich uv i w =0 n v 110 n / L 3,denn v 1impliziertn v = n. Also kann B so wählen, daß uv i w / L 3,d.h.,L 3 ist tatsächlich nicht regulär. WS 11/12 135
18 Beispiel Typ-3-Sprachen L 4 = {0 p p ist eine Primzahl} ist nicht regulär. Beweis: wir zeigen, daß B im Spielschema immer so wählen kann, daß uv i w / L 4 gilt: Runde 1 G wählt eine Zahl n 1. Runde 2 B wählt x =0 p für eine Primzahl p n +2(natürlich gelten x L 4 und x n) Runde 3 G wählt u, v, w mit (i) x = uvw, (ii) uv n und (iii) v 1. Runde 4 B wählt i = uw und zeigt, daß uv i w / L 4 : Damit erhalten wir uv i w = uw + i v = uw + uw v = uw (1 + v ). Es gelten uw w 2nach(ii)und 1 + v 2nach(iii). Also ist uv i w keine Primzahl, d.h. uv i w / L 4. Also kann B so wählen, daß uv i w / L 4,d.h.,L 4 ist tatsächlich nicht regulär. WS 11/12 136
19 Vorsicht! Das Pumping-Lemma hat die Form Wenn L regulär ist, so gilt..., es handelt sich also nur um eine Implikation. Wir zeigen, daß die umgekehrte Implikation nicht gilt: Beispiel Sei L = {a k b c k 1, N} {b k c k, N}. Dann ist L nicht regulär, es gibt aber n 1, so daß sich jedes x L mit x n in uvw faktorisieren läßt mit (i)-(iv). Beweis: Zunächst zeigen wir indirekt, daß L nicht regulär ist: Angenommen, L wäre regulär. Da L(ab c ) regulär ist, wäre dann auch L L(ab c )={ab c N} regulär (Folie 98). Man zeigt analog zum Beweis auf Folie 126, daß dies nicht der Fall ist. WS 11/12 137
20 Sei n = 1. Sei nun x L beliebig mit x n = 1. Wir faktorisieren x, indemwirsetzen:u = ε, v = erster Buchstabe von x, w = Rest von x. Sei i N beliebig. Wir zeigen uv i w L durch Fallunterscheidung: 1. Fall: v = a. Dann existieren k, N mit x = aa k b c. Es folgt uv i w = a i a k b c L 2. Fall v = b. Dann existieren k, N mit x = bb k c. Es folgt uv i w = b i b k c L 3. Fall v = c. Dann existiert N mit x = cc. Es folgt uv i w = c i c L WS 11/12 138
21 Zusammenfassung Pumping-Lemma Das Pumping-Lemma kann genutzt werden, um zu zeigen, daß eine Sprache nicht regulär ist (z.b. mit Hilfe des Spielschemas). Es gibt aber nichtreguläre Sprachen, deren Nichtregularität andere Argumente verlangt. Insbesondere kann das Pumping-Lemma nicht genutzt werden, um die Regularität einer Sprache L zu zeigen. Hinweis: Jaffe (1978) bzw. Stanat und Weiss (1982) haben die regulären Sprachen im Stile des Pumping-Lemmas charakterisiert (die entsprechenden Arbeiten finden Sie auf der Vorlesungsseite im Netz). WS 11/12 139
Pumping-Lemma. Beispiel. Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen. S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc.
Pumping-Lemma Beispiel Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Sie erzeugt z.b. das Wort aabbcc: S asbc aabcbc aabhbc aabhcc
MehrWS07/08 Automaten und Formale Sprachen 5. Vorlesung
WS7/8 Automaten und Formale Sprachen 5. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 3. November 27 FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/8 3..27 Stichworte Induktive Definitionen: (i) Basisobjekte,
MehrReguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer,
Reguläre Sprachen Reguläre Sprachen (Typ-3-Sprachen) haben große Bedeutung in Textverarbeitung und Programmierung (z.b. lexikalische Analyse) besitzen für viele Entscheidungsprobleme effiziente Algorithmen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Wintersemester 2007 / 2008 Prof. Dr. Heribert Vollmer Institut für Theoretische Informatik 29.10.2007 Reguläre Sprachen Ein (deterministischer) endlicher Automat
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2013
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik Sommersemester 2013 Dr. Sander Bruggink Übungsleitung: Jan Stückrath Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 1 Reguläre Ausdrücke Wozu
MehrDefinition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ.
Reguläre Ausdrücke Definition (Reguläre Ausdrücke) Sei Σ ein Alphabet, dann gilt: (i) ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (ii) ε ist ein regulärer Ausdruck über Σ. (iii) Für jedes a Σ ist a ein regulärer
MehrTheoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt
Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Eigenschaften regulärer Sprachen Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius stefan.milius@fau.de Theoretische Informatik Friedrich-Alexander Universität
MehrDie Nerode-Relation und der Index einer Sprache L
Die Nerode-Relation und der Index einer Sprache L Eine zweite zentrale Idee: Sei A ein vollständiger DFA für die Sprache L. Repäsentiere einen beliebigen Zustand p von A durch die Worte in Σ, die zu p
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen II Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 24. März 24 Pumping Lemma Pumping Lemma: Motivation Man kann zeigen, dass eine Sprache regulär ist, indem man
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 20.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches 1. Teilklausur: Mittwoch, 10.06.2015, D028,
MehrTheoretische Informatik I
(702765) Skript zur Vorlesung am 30.6.2000 Aus der vorherigen Vorlesung: Theoretische Informatik I Satz W: Sei X ein Alphabet. Zu jeder regulären Sprache R X * gibt es ein n N, so daß für alle Wörter z
MehrDas Pumping-Lemma Formulierung
Das Pumping-Lemma Formulierung Sei L reguläre Sprache. Dann gibt es ein n N mit: jedes Wort w L mit w n kann zerlegt werden in w = xyz, so dass gilt: 1. xy n 2. y 1 3. für alle k 0 ist xy k z L. 59 / 162
MehrLösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004
Lösung zur Klausur Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004 1. Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten an, der die Sprache aller Wörter über dem Alphabet {0, 1} akzeptiert,
MehrEndliche Automaten. δ : Z Σ Z die Überführungsfunktion, z 0 Z der Startzustand und F Z die Menge der Endzustände (Finalzustände).
Endliche Automaten Endliche Automaten Definition Ein deterministischer endlicher Automat (kurz DFA für deterministic finite automaton ) ist ein Quintupel M = (Σ, Z, δ, z 0, F), wobei Σ ein Alphabet ist,
Mehr2.2 Reguläre Sprachen Endliche Automaten
2.2.1 Endliche Automaten E I N G A B E Lesekopf endliche Kontrolle Signal für Endzustand Ein endlicher Automat liest ein Wort zeichenweise und akzeptiert oder verwirft. endlicher Automat Sprache der akzeptierten
MehrGrenzen der Regularität
Grenzen der Regularität Um die Mächtigkeit von endlichen Automaten zu verstehen, muss man auch ihre Grenzen kennen. Sei z.b. B = {0 n 1 n n 0} Gibt es einen DEA für B? Es sieht so aus, als müsste sich
MehrTheoretische Informatik Mitschrift
5 Eigenschaften regulärer Sprachen 51: Die Nerode-Relation Theoretische Informatik Mitschrift Definition 51: Sei L * L * * mit L :={u, v * * w *:uw L v w L }heißt Nerode-Relation von L Sei ={0,1}, L= *{00}
MehrDas Pumping Lemma der regulären Sprachen
Das Pumping Lemma der regulären Sprachen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1 Das Pumping Lemma Das Pumping Lemma der regulären Sprachen macht eine Aussage der Art wenn eine Sprache L regulär
MehrÜbungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18 Ausgabe 10. Januar 2018 Abgabe 23. Januar 2018, 11:00 Uhr (im
MehrAutomaten und Formale Sprachen SoSe 2007 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Automaten und Formale Sprachen SoSe 2007 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Automaten und Formale Sprachen Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Endliche Automaten und
MehrFormale Methoden 1. Gerhard Jäger 23. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18
1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 23. Januar 2008 2/18 Das Pumping-Lemma Sein L eine unendliche reguläre Sprache über ein endliches Alphabet
MehrSatz (Abschluß unter der Stern-Operation)
Satz (Abschluß unter der Stern-Operation) Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann ist auch L regulär. Beweis: Es gibt einen NFA M = (Z, Σ, S, δ, S, E) mit L(M) = L. Wir bauen aus diesem NFA nun wie folgt
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Dorothea Wagner 26.10.2010 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 0 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrEin Fragment von Pascal
Ein Fragment von Pascal Wir beschreiben einen (allerdings sehr kleinen) Ausschnitt von Pascal durch eine kontextfreie Grammatik. Wir benutzen das Alphabet Σ = {a,..., z, ;, :=, begin, end, while, do} und
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (IV) 31.05.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
Mehr1. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik
1. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik Ulrich Furbach Christian Schwarz Markus Kaiser Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau
MehrKapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14
Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen
MehrInformatik IV Theoretische Informatik
Informatik IV Theoretische Informatik Kapitel 2 Sommersemester 29 Dozent: Prof. Dr. J. Rothe J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV / 7 Endliche Automaten Beispiel Abbildung: TCP J. Rothe (HHU Düsseldorf)
MehrFORMALE SYSTEME. 10. Vorlesung: Grenzen regulärer Sprachen / Probleme für Automaten. TU Dresden, 14. November 2016.
FORMALE SYSTEME 10. Vorlesung: Grenzen regulärer Sprachen / Probleme für Automaten Markus Krötzsch TU Dresden, 14. November 2016 Rückblick Markus Krötzsch, 14. November 2016 Formale Systeme Folie 2 von
MehrDas Pumping Lemma: Ein Anwendungsbeispiel
Das Pumping Lemma: Ein Anwendungsbeispiel Beispiel: Die Palindromsprache ist nicht regulär. L = { } w {0, 1} w ist ein Palindrom Beweis: Angenommen, L ist doch regulär. Gemäß Pumping Lemma gibt es dann
Mehrq 0 q gdw. nicht (q A) (q A) q i+1 q gdw. q i q oder ( a Σ) δ(q, a) i δ(q, a) L = {a n b n : n N} für a, b Σ, a b
Kap. 2: Endliche Automaten Myhill Nerode 2.4 Minimalautomat für reguläre Sprache Abschnitt 2.4.3 L Σ regulär der Äuivalenzklassen-Automat zu L ist ein DFA mit minimaler Zustandszahl (= index( L )) unter
Mehr4. Übung zur Vorlesung Informatik III am
1 4. Übung zur Vorlesung Informatik III am 16.11.2007 Wiederholung Konkatenation 2 Definition Konkatenation Eine endliche Folge w von Symbolen aus Σ heißt Wort. Die Menge aller Wörter über Σ heißt Σ. Sei
MehrEinführung in die Theoretische Informatik Tutorium V
Einführung in die Theoretische Informatik Tutorium V Michael R. Jung 17. - 19. 11. 2014 EThI - Tutorium V 1 1 Pumping-Lemma 2 Reguläre Grammatiken 3 Beweisansätze für die Aufgaben 20 c,e,f EThI - Tutorium
Mehr2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik
2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik 25. September 2013 Aufgabe 1 Geben Sie jeweils eine kontextfreie Grammatik an, welche die folgenden Sprachen erzeugt, sowie einen Ableitungsbaum
MehrKapitel 1: Endliche Automaten Gliederung 1. Endliche Automaten
Gliederung 0. Grundbegriffe. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechenbarkeitstheorie 4. Komplexitätstheorie.. Grundlagen.2. Minimierungsalgorithmus.3. /3, S. Gibt es Sprachen, die nicht Automatensprachen
MehrMinimalautomaten. Minimalautomaten. Frage: Ist der Äquivalenzautomat A der kleinste Automat ( Minimalautomat ) der die Sprache L(A) erkennt?
Minimalautomaten Frage: Ist der Äquivalenzautomat A der kleinste Automat ( Minimalautomat ) der die Sprache L(A) erkennt? 1 Minimalautomaten Satz: Falls A keine unerreichbaren Zustände hat, ist A der kleinste
MehrFrank Heitmann 2/47. 1 Ein PDA beginnt im Startzustand z 0 und mit im Keller. 2 Ist der Automat
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Über reguläre Sprachen hinaus und (Teil 2) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 21. April 2015 Der Kellerautomat - Formal Definition (Kellerautomat
MehrTheoretische Informatik
Theoretische Informatik Prof. Meer, Dr. Gengler Aufgabenblatt 7 Besprechung in KW 48 / Abgabe in KW 49 Heften Sie unbedingt alle Blätter Ihrer Lösung zusammen und geben Sie oben auf dem ersten Blatt Ihren
MehrGrundlagen der theoretischen Informatik
Grundlagen der theoretischen Informatik Kurt Sieber Fakultät IV, Department ETI Universität Siegen SS 2013 Vorlesung vom 14.05.2013 Analog zu Linksableitungen definiert man Definition 2.45 Ein Ableitungsschritt
MehrTU Berlin Nachklausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2012)
Berlin, 05. Oktober 2012 Name:... Matr.-Nr.:... TU Berlin Nachklausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2012) 1 2 3 4 5 6 7 Σ Bearbeitungszeit: 60 min.
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie WS 11/12 155 Überblick Zunächst einmal definieren wir formal den Begriff
MehrInformatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 8. Vorlesung
Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 8. Vorlesung 17.11.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Prinzip des Kellerautomats Push-Down-Automaton (PDA) Ein Kellerautomat vereinigt
Mehr1. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik
. Übungsblatt 6. VU Theoretische Informatik und Logik 25. September 23 Aufgabe Sind folgende Aussagen korrekt? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. a) Für jede Sprache L gilt: L < L (wobei A die Anzahl
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 17. Januar 2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 18.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der
Mehr1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004. Mit Lösung!
Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 23/4 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 2. Februar 24. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 23/24 Mit Lösung! Beachten Sie:
MehrDie mathematische Seite
Kellerautomaten In der ersten Vorlesung haben wir den endlichen Automaten kennengelernt. Mit diesem werden wir uns in der zweiten Vorlesung noch etwas eingängiger beschäftigen und bspw. Ansätze zur Konstruktion
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 9. März 24 7. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 7. Reguläre Sprachen I Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 9. März 24 7. Reguläre Grammatiken 7.2 DFAs 7.3 NFAs
MehrGrundlagen der theoretischen Informatik
Grundlagen der theoretischen Informatik Kurt Sieber Fakultät IV, Department ETI Universität Siegen SS 2013 Vorlesung vom 30.04.2013 Grenzen regulärer Sprachen Wie beweist man, dass eine Sprache nicht regulär
MehrBeweisidee: 1 Verwende den Keller zur Simulation der Grammatik. Leite ein Wort. 2 Problem: der Keller darf nicht beliebig verwendet werden, man kann
Automaten und Formale prachen alias Theoretische Informatik ommersemester 2011 Dr. ander Bruggink Übungsleitung: Jan tückrath Wir beschäftigen uns ab jetzt einige Wochen mit kontextfreien prachen: Kontextfreie
MehrEndliche Automaten, reguläre Ausdrücke, rechtslineare Grammatiken
1 / 15 Endliche Automaten, reguläre Ausdrücke, rechtslineare Grammatiken Prof. Dr. Hans Kleine Büning FG Wissensbasierte Systeme WS 08/09 2 / 15 Deterministischer endlicher Automat (DEA) Definition 1:
MehrEin deterministischer endlicher Automat (DFA) kann als 5-Touple dargestellt werden:
Sprachen und Automaten 1 Deterministische endliche Automaten (DFA) Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) kann als 5-Touple dargestellt werden: M = (Z,3,*,qo,E) Z = Die Menge der Zustände 3 = Eingabealphabet
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik. Vorlesung am 17. Januar INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Theoretische Grundlagen der Informatik 0 17.01.2019 Torsten Ueckerdt - Theoretische Grundlagen der Informatik KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Evaluation Ergebnisse
MehrFormalismen für REG. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen. Das Pumping Lemma. Abschlusseigenschaften
Formalismen für RE Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Satz Zu jeder regulären Sprache L gibt es einen DFA A mit L(A) =
MehrÜbungsblatt 1. Lorenz Leutgeb. 30. März 2015
Übungsblatt Lorenz Leutgeb 30. März 205 Aufgabe. Annahmen ohne Einschränkungen: P Σ und P Γ. Per Definitionem der Reduktion: P P 2 f : Σ Γ wobei f total und berechenbar, genau so, dass: w Σ : w P f(w)
MehrLösungen zu Übungsblatt 6
Lösungen zu Übungsblatt 6 Aufgabe 1 Um nachzuweisen, dass eine Sprache L nicht kontextfrei ist, genügt es nach dem (starken) Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen zu zeigen: Für jedes n 0 existiert ein
MehrTheoretische Informatik Kap 1: Formale Sprachen/Automatentheorie
Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe. Formale Sprachen/Automatentheorie.. Grammatiken.2..3. Kontext-freie Sprachen 2. Berechnungstheorie 2.. Berechenbarkeitsmodelle 2.2. Die Churchsche These 2.3. Unentscheidbarkeit
Mehr11. Übung Formale Grundlagen der Informatik
Institut für Informatik der Universität Zürich Sommersemester 2002 11. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Verantwortlicher Assistent Bruno Nietlispach (nietli@ifi.unizh.ch)
MehrZentralübung zur Vorlesung Theoretische Informatik
SS 2015 Zentralübung zur Vorlesung Theoretische Informatik Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2015ss/theo/uebung/ 7. Mai 2015 ZÜ THEO ZÜ IV Übersicht: 1.
MehrInformatik 3 Theoretische Informatik WS 2015/16
2. Probeklausur 22. Januar 2016 Informatik 3 Theoretische Informatik WS 2015/16 Prof. Dr. Peter Thiemann Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Institut für Informatik Name: Matrikel-Nr.: Schreiben Sie Ihren
MehrOgden s Lemma: Der Beweis (1/5)
Ogden s Lemma: Der Beweis (1/5) Wir betrachten zuerst die Rahmenbedingungen : Laut dem auf der vorhergehenden Folie zitierten Satz gibt es zur kontextfreien Sprache L eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) in
MehrDiskrete Mathematik. Anna-Lena Rädler Christina Kohl Georg Moser Christian Sternagel Vincent van Oostrom
Diskrete Mathematik Anna-Lena Rädler Christina Kohl Georg Moser Christian Sternagel Vincent van Oostrom Zusammenfassung der letzten LVA Definition Ein ɛ-nea N = (Q, Σ, δ, S, F) ist gegeben durch eine endliche
MehrDank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Erzeugende Grammatiken akzeptierende Automaten.
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs
MehrSei Σ ein endliches Alphabet. Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben werden kann.
Der Satz von Kleene Wir haben somit Folgendes bewiesen: Der Satz von Kleene Sei Σ ein endliches Alphabet. Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben werden
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrGrundbegriffe. Grammatiken
Grammatiken Grammatiken in der Informatik sind ähnlich wie Grammatiken für natürliche Sprachen ein Mittel, um alle syntaktisch korrekten Sätze (hier: Wörter) einer Sprache zu erzeugen. Beispiel: Eine vereinfachte
MehrÜbung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik. Aufgabenblatt 7 Lösungen. Wiederholung: Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik Dennis Peuter 01. Juni 2017 Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik Aufgabenblatt 7 Lösungen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Kontextfreie Grammatiken Definition: Eine Grammatik G
MehrBinärbäume und Pfade
Binärbäume und Pfade Bevor wir uns dem Pumping Lemma für Typ-2 Sprachen widmen, wollen wir einen einfachen Satz über Binärbäume beweisen. Als Binärbaum bezeichnen wir hier einen Baum, bei dem jeder Knoten,
MehrTheoretische Informatik I (Winter 2018/19) Prof. Dr. Ulrich Hertrampf. Das Pumping Lemma
Das Pumping Lemma Bisher haben wir eine Reihe von Charakterisierungen der Typ-3 Sprachen kennengelernt. Das erfüllt mehrere Zwecke: Wenn wir von einer Sprache zeigen wollen, dass sie vom Typ-3 ist, dann
MehrBeweis des Pumping Lemmas
Beweis des Pumping Lemmas Die Sprache L sei eine Typ-2 Sprache, d.h. es gibt eine Typ-2 Grammatik G =(V,, P, S) in CNF, so dass L = L(G) gilt. Wir fixieren eine solche Grammatik G und wählen n = 2 V. Nun
MehrInformatik III - WS07/08
Informatik III - WS07/08 Kapitel 5 1 Informatik III - WS07/08 Prof. Dr. Dorothea Wagner dwagner@ira.uka.de Kapitel 5 : Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Informatik III - WS07/08 Kapitel 5 2 Definition
MehrInformatik IV. Pingo Sommersemester Dozent: Prof. Dr. J. Rothe. J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 1 / 13
Informatik IV Sommersemester 2019 Dozent: Prof. Dr. J. Rothe J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 1 / 13 Website http://pingo.upb.de/ Code: 1869 J. Rothe (HHU Düsseldorf) Informatik IV 2 / 13 Frage
MehrHoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen
Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 18.4. 2012 176 Automatentheorie und formale Sprachen VL 5 Reguläre und nichtreguläre Sprachen Kathrin Hoffmann 18. Aptil 2012 Hoffmann (HAW
MehrF2 Zusammenfassung Letzte Tips zur Klausur
F2 Zusammenfassung Letzte Tips zur Klausur Berndt Farwer FB Informatik, Uni HH F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.1/15 Funktionen vs. Relationen Funktionen sind eindeutig, Relationen brauchen nicht eindeutig
MehrHochschule Bonn-Rhein-Sieg University of Applied Sciences Grantham-Allee Sankt Augustin
Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Uniersity of Applied Sciences Grantham-Allee 20 53757 Sankt Augustin Director b-it Applied Science Institute Fachbereich Informatik Prof. Dr. Kurt-Ulrich Witt Mathematische und
MehrÜbungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 18/19
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 18/19 Ausgabe 8. Januar 2019 Abgabe 22. Januar 2019, 11:00 Uhr (im
MehrDas Halteproblem für Turingmaschinen
Das Halteproblem für Turingmaschinen Das Halteproblem für Turingmaschinen ist definiert als die Sprache H := { T w : T ist eine TM, die bei Eingabe w {0, 1} hält }. Behauptung: H {0, 1} ist nicht entscheidbar.
MehrTyp-1-Sprachen. Satz 1 (Kuroda ( ) 1964)
Typ-1-Sprachen Satz 1 (Kuroda (1934-2009) 1964) Eine Sprache L hat Typ 1 (= ist kontextsensitiv) genau dann, wenn sie von einem nichtdeterministischen LBA erkannt wird. Beweis: Sei zunächst L Typ-1-Sprache.
MehrTheoretische Informatik I (Winter 2017/18) Prof. Dr. Ulrich Hertrampf. Das Pumping Lemma
Das Pumping Lemma Bisher haben wir eine Reihe von Charakterisierungen der Typ-3 Sprachen kennengelernt. Das erfüllt mehrere Zwecke: Wenn wir von einer Sprache zeigen wollen, dass sie vom Typ-3 ist, dann
MehrAutomatentheorie und formale Sprachen rechtslineare Grammatiken
Automatentheorie und formale Sprachen rechtslineare Grammatiken Dozentin: Wiebke Petersen 17.6.2009 Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen - SoSe09 1 Pumping lemma for regular languages
MehrDisMod-Repetitorium Tag 4
DisMod-Repetitorium Tag 4 Endliche Automaten, Reguläre Sprachen und Kontextfreie Grammatiken 22. März 2018 1 Endliche Automaten Definition DFA Auswertungen Äquivalenzrelationen Verschmelzungsrelation und
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre
MehrÜbungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im W 16/17 Ausgabe 17. Januar 2017 Abgabe 31. Januar 2017, 11:00 Uhr (im
MehrBeispiel: A d zum Automaten, der OTTO im Text erkennt. Zur Erinnerung: der nichtdeterministische Automat sieht so aus:
Endliche Automaten Jörg Roth 80 Beispiel: A d zum Automaten, der TT im Text erkennt. Zur Erinnerung: der nichtdeterministische Automat sieht so aus: T T S 1 S 2 S 3 S 4 immer immer δ d (es sind nur S mit
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben
Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekt mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten
MehrSchnitt- und Äquivalenzproblem
Schnitt- und Äquivalenzproblem Das Schnittproblem besteht in der Frage, ob der Schnitt zweier gegebener regulärer Sprachen L 1 und L 2 leer ist. Dabei können die Sprachen durch DEAs oder Typ-3 Grammatiken,
MehrAutomaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier
Automaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 2. Juni 2013 1 Automaten und Formale Sprachen Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Endliche
MehrGrammatiken. Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V. Startsymbol S V. Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S)
Grammatiken Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V Startsymbol S V Produktionen P ( (V Σ) \ Σ ) (V Σ) Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S) Schreibweise für Produktion (α, β) P: α β 67 /
MehrTU8 Beweismethoden. Daniela Andrade
TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2
MehrEinführung in die Logik
Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3
Mehr10 Kellerautomaten. Kellerautomaten
10 Kellerautomaten Bisher hatten wir kontextfreie Sprachen nur mit Hilfe von Grammatiken charakterisiert. Wir haben gesehen, dass endliche Automaten nicht in der Lage sind, alle kontextfreien Sprachen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (I) 3.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches 1. Teilklausur: Mittwoch,
MehrKurz-Skript zur Theoretischen Informatik I
Kurz-Skript zur Theoretischen Informatik I Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Reguläre Ausdrücke 4 3 Endliche Automaten 5 3.1 Vollständige endliche Automaten................................... 6 3.2 ε
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrÜbungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im W 16/17 Ausgabe 17. Januar 2017 Abgabe 31. Januar 2017, 11:00 Uhr (im
Mehr