Theoretische Grundlagen der Informatik

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1 Theoretische Grundlagen der Informatik Dorothea Wagner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 0 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Entfernen von ɛ-übergängen Satz: Zu jedem NEA A mit ε-übergängen gibt es einen NEA Ã ohne ε-übergänge, der dieselbe Sprache akzeptiert und nicht mehr Zustände hat. 1

3 Entfernen von ɛ-übergängen Satz: Zu jedem NEA A mit ε-übergängen gibt es einen NEA à ohne ε-übergänge, der dieselbe Sprache akzeptiert und nicht mehr Zustände hat. Beweis: Sei A := (Q, Σ, δ, s, F) ein NEA mit ε Übergängen. Wir konstruieren à := ( Q, Σ, δ, s, F) wie folgt: Q := (Q\F) F s := s δ(q, a) = F := {q E(q) F = } { {q} falls a = ε δ(e(q), a) sonst Damit akzeptiert à dieselbe Sprache wie A, und Q Q. 1

4 EA Regularität Satz: Jede Sprache, die von einem endlichen Automaten erkannt wird, ist regulär. 2

5 Beweis: EA Regularität Sei DEA A = (Q, Σ, δ, s, F) gegeben. Es ist zu zeigen, dass L(A) regulär ist. Es gilt: L = {w Σ A endet nach Abarbeitung von w in einem Zustand aus F} Die Abarbeitung eines Wortes w = a 1... a k bewirkt das Durchlaufen einer Folge von Zuständen s, q 1,..., q k, wobei nicht notwendig q i = q j für i = j gilt. Wir suchen die Wörter, so dass der letzte Zustand in F ist. Betrachte für jeden Zustand f F getrennt die Wörter, deren Abarbeitung in f endet. 3

6 Beweis: EA Regularität Sei DEA A = (Q, Σ, δ, s, F) gegeben. Es ist zu zeigen, dass L(A) regulär ist. Es gilt: L = {w Σ A endet nach Abarbeitung von w in einem Zustand aus F} Zu f F definiere: L f := {w Σ A endet nach Abarbeitung von w in f } = {w Σ w überführt s in f (im Automaten A)} Damit ist L = f F L f. Wenn wir zeigen können, dass für alle f F die Sprache L f regulär ist, so ist auch L regulär. 3

7 Beweis: EA Regularität L f := {w Σ w überführt s in f (im Automaten A)} Ab jetzt sei Q = {q 1,..., q n }. Wir definieren zu q r, q t Q : L qr,q t := {w Σ w überführt q r in q t }. Insbesondere gilt also: L f = L s,f. Unterteile L qr,q t : L qr,i,q t := { w Σ Abarbeitung von w aus q r nach q t hat nur Zwischenzustände {q 1,..., q i } } (also w bewirkt: q r }{{} {q 1,...,q i } q t.) Damit gilt L qr,q t = L qr,n,q t. 3

8 Beweis: EA Regularität L qr,i,q t := { w Σ Abarbeitung von w aus q r nach q t hat nur Zwischenzustände {q 1,..., q i } } Wir zeigen, dass L qr,i,q t für q r, q t Q und 1 i n regulär sind: Zunächst betrachten wir direkte Überführungen, also i = 0: { L qr,0,q t := w Σ Abarbeitung von w führt von q r nach q t ohne Zwischenzustand } Falls r = t und somit q r = q t ist, ist L qr,0,q t = {a Σ δ(q t, a) = q t } {ε}. w Andernfalls betrachten wir alle w mit q r qt, ohne Zwischenzustände, also L qr,0,q t = {a Σ δ(q r, a) = q t }. 3 Diese Sprachen sind jeweils regulär.

9 Beweis: EA Regularität Betrachte nun i = 1: { L qr,1,q t := w Σ } w überführt q r in q t entweder direkt oder unter Benutzung nur von q 1 Es gilt dann: ) L qr,1,q t = L qr,0,q t (L qr,0,q 1 L q1,0,q1 L q1,0,q t Also ist L qr,1,q t auch wieder regulär. Es gilt allgemein: ) ) L qr,i+1,q t = L qr,i,q t (L qr,i,q i+1 (L qi+1,i,q Lqi+1 i+1,i,q t 3

10 Beweis: EA Regularität Es wurden für L,i+1, nur die Sprachen L,i, und,, verwendet. Damit ist gezeigt (per Induktion), dass L,i+1, regulär ist für beliebiges i (1 i + 1 n) und alle Zustandspaare aus Q 2. Damit ist gezeigt, dass insbesondere L f = L s,n,f regulär ist für jedes f F. 3

11 Beispiel Sei (Q, Σ, δ, s, F) mit Q := {q 1 := s, q 2 := q}, Σ := {0, 1}, F := {s} ¼ ½ Õ ¼ ½ Gesucht: L(Q, Σ, δ, s, F). Es gilt L = L q1,2,q 1. 4

12 Beispiel ¼ ½ Õ ¼ ½ Gesucht: L(Q, Σ, δ, s, F). Es gilt L = L q1,2,q 1. Dann ist L qi,0,q i = ε L qi,0,q j = (0 1) für i, j {1, 2}, i = j L q1,1,q 1 = L q1,0,q 1 L q1,0,q 1 ( Lq1,0,q 1 ) Lq1,0,q 1 = ε L q1,1,q 2 = L q1,0,q 2 L q1,0,q 1 ( Lq1,0,q 1 ) Lq1,0,q 2 = (0 1) εε (0 1) = 0 1 L q2,1,q 1 = (0 1) (0 1)ε ε = 0 1 L q2,1,q 2 = ε (0 1)ε (0 1) = ε (0 1)(0 1) 4 L = L q1,2,q 1 = L q1,1,q 1 (L q1,1,q 2 (L q2,1,q 2 ) L q2,1,q 1 ) = ε (0 1) ((0 1)(0 1)) (0 1) = ((0 1)(0 1))

13 Satz von Kleene Wir haben gezeigt, dass die von endlichen Automaten akzeptierten Sprachen genau die regulären Sprachen sind. Dies wird auch als der Satz von Kleene bezeichnet. Satz (Satz von Kleene): Die von endlichen Automaten akzeptierten Sprachen sind genau die regulären Sprachen. 5

14 6 Frage: Was können endliche Automaten nicht?

15 Frage: Was können endliche Automaten nicht? Beispiel: Die Sprache L der korrekten Klammerausdrücke über Σ = {(, )}. Etwa ( ( ) ( ()(), ()() ()) ) L ((()), (()))()( L 6

16 Frage: Was können endliche Automaten nicht? Beispiel: Die Sprache L der korrekten Klammerausdrücke über Σ = {(, )}. Etwa ( ( ) ( ()(), ()() ()) ) L ((()), (()))()( L Die Klammerung ist genau dann korrekt, wenn w gleich viele öffnende wie schließende Klammern enthält, und wenn man w von links nach rechts liest, so gibt es nie mehr ) als ( bis dahin. Ein Automat, der L erkennen kann, muss in der Lage sein, sich für ein beliebiges Wort w L die Anzahl von ( gegenüber ) zu merken. Dies kann aber beliebig groß werden, und der Automat müsste über unendliche viele Zustände verfügen. Die Sprache der Klammerausdrücke ist also zwar simpel, aber wohl nicht regulär. 6

17 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w > n eine Darstellung w = uvx mit uv n, v = ε, existiert, bei der auch uv i x L ist für alle i N 0. 7

18 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w > n eine Darstellung w = uvx mit uv n, v = ε, existiert, bei der auch uv i x L ist für alle i N 0. Beweis: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert ein endlicher Automat, der L akzeptiert. Sei Q dessen Zustandsmenge und n := Q. Sei w L mit w > n, etwa w = a 1... a n... a m mit m > n. 7

19 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen Beweis: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert ein endlicher Automat, der L akzeptiert. Sei Q dessen Zustandsmenge und n := Q. Sei w L mit w > n, etwa w = a 1... a n... a m mit m > n. Bei der Abarbeitung von w werden dann die Zustände q 0,..., q m durchlaufen mit q m F. Dann gibt es i, j mit 0 i, j n und i = j, so dass q i = q j. Œ gelte i < j. ½ Õ½... Õ Õ ½ ÕÑ ½ Õ ½ Õ ½... 7

20 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w > n eine Darstellung w = uvx mit uv n, v = ε, existiert, bei der auch uv i x L ist für alle i N 0. ½ Õ½... Õ Õ ½ ÕÑ ½ Õ ½ Õ ½ 7... Dann kann der Zykel q i, q i+1,..., q j = q i auch gar nicht oder beliebig oft bei der Abarbeitung eines Wortes aus L durchlaufen werden so dass der Zustand q m F erreicht wird.

21 Pumping-Lemma für reguläre Sprachen Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w > n eine Darstellung w = uvx mit uv n, v = ε, existiert, bei der auch uv i x L ist für alle i N 0. ½ Õ½... Õ Õ ½ ÕÑ ½ Õ ½ Õ ½ 7... Also gibt es eine Zerlegung w = (a 1... a i ) (a ) }{{} i+1... a j (a ) j+1... a m }{{}}{{} u v x mit uv n und v = ε, so dass auch uv i x L für alle i N 0.

22 Bemerkung Das Pumping-Lemma liefert nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Regularität von Sprachen. 8

23 Beispiel (1) zum PL Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w > n eine Darstellung w = uvx mit uv n, v = ε, existiert, bei der auch uv i x L ist für alle i N 0. 9 Gegeben sei Σ = {0, 1} L = {w Σ w enthält 10 nicht als Teilwort } = 0 1 Betrachte n = 1, w = uvx, u = ε Dann entspricht v also dem ersten Buchstaben von w kann uv i x auch 10 nicht als Teilwort besitzen.

24 Beispiel (2) zum PL Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w > n eine Darstellung w = uvx mit uv n, v = ε, existiert, bei der auch uv i x L ist für alle i N 0. Sei Σ = {0, 1} und L = { 0 i 1 i i 0 }. Wir zeigen: L ist nicht regulär. Für ein n wähle w = 0 n 1 n Dann ist w > n Für jede Darstellung w = uvx mit uv n und v = ε ist aber uv 0 x = 0 l 1 n L (l < n) 10

25 Beispiel (3) zum PL Sei Σ = {0, 1} und L = { w Σ w = 1 k (k > 0) oder w = 0 j 1 k2 (j 1, k 0) }. Dann erfüllt L die Darstellung des PL: Sei n = 1 und w L mit w > 1. w habe eine Darstellung w = uvx mit uv n und v = ε. Setze u = ε und v = 1 das erste Symbol von w. Falls w = 1 k, so ist auch uv i x vom Typ 1 l L. Falls w = 0 j 1 k2, so ist auch uv 0 x L (für j = 1 ist uv 0 x = x = 1 k2 ). Für i 1 gilt uv i x = 0 j+i 1 k2 L. Trotzdem ist L nicht regular. Dies lässt sich mit dem verallgemeinertem Pumping Lemma zeigen. 11

26 Verallgemeinertes PL für reguläre Sprachen Satz: Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert eine Zahl n N, so dass für jedes Wort w L mit w n und jede Darstellung w = tyx mit y = n gilt: Für das Teilwort y existiert eine Darstellung y = uvz mit v = ε bei der auch tuv i zx L ist für alle i N 0. 12

27 Zusammenfassung Zu jedem NEA A mit ε-übergängen gibt es einen NEA Ã ohne ε-übergänge, der dieselbe Sprache akzeptiert und nicht mehr Zustände hat. Jede Sprache, die von einem endlichen Automaten erkannt wird, ist regulär. Zusammen mit den Resultaten aus der letzten Vorlesung: Die von endlichen Automaten akzeptierten Sprachen sind genau die regulären Sprachen (Satz von Kleene) Mit dem Pumping-Lemma wurde eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Regularität von Sprachen gezeigt Das Pumping-Lemma kann benutzt werden, um für manche Sprachen zu zeigen, dass diese nicht regulär sind 13