Übung zur Vorlesung Theoretische Information. Pumping Lemma

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1 Übung zur Vorlesung Theoretische Information Pumping Lemma Folie

2 Ein Endlicher Automat q q, q 2, Akzeptierte Sprache? Folie 2

3 Ein Endlicher Automat q q, q 2, Akzeptierte Sprache? Am Anfang eine, dannach beliebig oft und am Ende Folie 3

4 Längste Eingabe q q, q 2, Was ist die längste akzeptierte Eingabe, ohne Zustände doppelt zu besuchen? Folie 4

5 Längste Eingabe q q, q 2, Was ist die längste akzeptierte Eingabe, ohne Zustände doppelt zu besuchen? Folie 5

6 Längste Eingabe - Allgemein Gesucht: Automat mit 4 Zuständen und längste Eingabe ohne Zustände doppelt zu besuchen? Z Bsp so:,,,, q q Allg: Doppelter Besuch von Zuständen bei Eingabelänge n spätestens bei n-ten Zustandwechsel Automaten, die lange Worte akzeptieren, besuchen Zustände ab gewisser Eingabelänge doppelt Folie 6 q 2

7 Längste Eingabe Akzeptierte Wörter Automaten, die lange Worte akzeptieren, besuchen Zustände ab gewisser Eingabelänge doppelt Folglich gilt: Bei Abarbeitung eines langen akzeptierten Wort muss mind ein Zustand doppelt besucht werden Folie 7

8 Schleifen Feststellung: Ab einer gewissen Wortlänge Doppelbesuch Beispiel Doppelbesuch von q : Was wäre ein Wort, das uns von q zu q selbst führt? q q, q 2 Folie 8,

9 Schleifen Feststellung: Ab einer gewissen Wortlänge Doppelbesuch Beispiel Doppelbesuch von q : Was wäre ein Wort, das uns von q zu q selbst führt? q q, q 2 Folie 9,

10 Schleifen Feststellung: Ab einer gewissen Wortlänge Doppelbesuch Beispiel Doppelbesuch von q : Was wäre ein Wort, das uns von q zu q selbst führt? Nehmen wir kurz an q statt q wäre Startzustand Wortanfang könnte um ergänzt werden und Akzeptanz bliebe unverändert q q, q 2 Folie,

11 Schleifen Wörter, die von einem Zustand in den selben Zustand führen = Schleifen Entlang unserer Schleife y wird y= gelesen y = q q, q 2 Folie,

12 Schleifen und Position im Wort Mit Schleife y können wir Wörter aufpumpen Aber wo befindet sich die Schleife im Wort? Nehmen wir zwei x und z: x: Teilwort von Startzustand zu Schleife z: Teilwort von Schleife in Endzustand y = x = z = q q, q 2 Folie 2,

13 Idee des Pumping Lemma Zusammenfassung: x: Teilwort von Startzustand zu Schleife y: Teilwort entlang des Schleifendurchlaufes z: Teilwort von der Schleife in einen Endzustand xyz L xyyz L xy i z L L L () i L y = x = z = q q, q 2 Folie 3,

14 Idee des Pumping Lemma Zusammenfassung: x: Teilwort von Startzustand zu Schleife y: Teilwort entlang des Schleifendurchlaufes z: Teilwort von der Schleife in einen Endzustand xyz L xyyz L xy i z L L L () i L y = x = z = q q, q 2 Folie 4,

15 Pumping Lemma Zusammenfassung: x: Teilwort vom Startzustand zur Schleife y: Teilwort entlang des Schleifendurchlaufes z: Teilwort von der Schleife in einen Endzustand Schleifeninhalt darf nicht leer sein Ein Schleifendurchlauf + Teilwort bis zur Schleife darf max n lang k zählt Schleifen Durchläufe Folie 5

16 Pumping Lemma Zusammenfassung: x: Teilwort vom Startzustand zur Schleife y: Teilwort entlang des Schleifendurchlaufes z: Teilwort von der Schleife in einen Endzustand Reguläre Sprache Pumping Lemma Umkehrung gilt nicht Jedes Wort kann untersucht, aber es erst ab einer gewissen (sehr langen) Länge Schleifeninhalt darf nicht leer sein Ein Schleifendurchlauf + Teilwort bis zur Schleife darf max n lang k zählt Schleifen Durchläufe Folie 6

17 Pumping Lemma: Wirklich richtig? Hat wirklich jeder Automat eine Schleife? Erinnerung: Langes akzeptiertes Wort Doppelbesuch Daher muss jeder Automat, der beliebig lange Wörter akzeptiert, über einen Zustand, vom dem aus eine Schleife beginnt, verfügen Sonst gäbe es ja keine Doppelbesuche y = q q, q 2 Folie 7,

18 Pumping Lemma: So geht man vor Sprache von endl Automat akzeptierbar Pumping Lemma Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht PL ist kein Selbstzweck Daher in der Praxis: Pumping Lemma Sprache nicht von endl Automat akzeptierbar D h Aufgabe wird immer sein: PL zum Widerspruch führen Folie 8