Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

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1 Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

2 Dank Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal) Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank. Bernhard Beckert, April 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

3 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Lemma 5.15 (PDA cf-grammatik) Zu jedem Push-Down-Automaten M gibt es eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L(M) Beweis Sei M ein PDA, der eine Sprache L über leeren Keller akzeptiert. Wir konstruieren aus dem Regelsatz von M eine kontextfreie Grammatik, die L erzeugt. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

4 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beweis (Forts.) Idee: Die Variablen der Grammatik sind 3-Tupel der Form [q,a,p] Bedeutung: Grammatik kann Wort x aus Variablen [q, A, p] ableiten gdw M kann vom Zustand q in den Zustand p übergehen, dabei A vom Keller entfernen (sonst den Keller unveränder lassen) und das Wort x lesen: ( [q,a,p] = x ) gdw ( (q,x,aγ) (p,ε,γ) ) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

5 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beweis (Forts.) Formale Konstruktion: Sei M = (K,Σ,Γ,,s 0,Z 0,F) ein PDA. Daraus konstruiert man die Grammatik G = (V,T,R,S) mit und... V := {[q,a,p] q,p K, A Γ} {S} T := Σ B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

6 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beweis (Forts.)... folgenden Regeln in R: S [s 0,Z 0,q] für alle q K, [q,a,q m+1 ] a [q 1,B 1,q 2 ][q 2,B 2,q 3 ]...[q m,b m,q m+1 ] für jeden -Übergang (q,a,a) (q 1,B 1...B m ) und für jede beliebige Kombination q 2,...,q m+1 K, [q,a,q 1 ] a für jeden -Übergang (q,a,a) (q 1,ε) Dabei ist a Σ {ε}. Siehe Buch für Beweis, dass die Konstruktion das gewünschte Ergebnis liefert: ( [q,a,p] = x ) gdw ( (q,x,a) (p,ε,ε) ) woraus sofort L l (M) = L(G) folgt. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

7 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beispiel 5.16 Sprache: L ab = {a n b n n N 0 } L ab wird über leeren Keller akzeptiert von dem PDA M = ({s 0,s 1 },{a,b},{z 0,A},s 0,Z 0, /0) mit den Regeln 1. (s 0,ε,Z 0 ) (s 0,ε) 2. (s 0,a,Z 0 ) (s 0,A) 3. (s 0,a,A) (s 0,AA) 4. (s 0,b,A) (s 1,ε) 5. (s 1,b,A) (s 1,ε) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

8 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beispiel (Forts.) Die Transformation ergibt folgende Grammatik-Regeln: S [s 0,Z 0,s 0 ] [s 0,Z 0,s 1 ] 1. [s 0,Z 0,s 0 ] ε 2. [s 0,Z 0,s 0 ] a[s 0,A,s 0 ] [s 0,Z 0,s 1 ] a[s 0,A,s 1 ] 3. [s 0,A,s 0 ] a[s 0,A,s 0 ][s 0,A,s 0 ] [s 0,A,s 0 ] a[s 0,A,s 1 ][s 1,A,s 0 ] [s 0,A,s 1 ] a[s 0,A,s 0 ][s 0,A,s 1 ] [s 0,A,s 1 ] a[s 0,A,s 1 ][s 1,A,s 1 ] 4. [s 0,A,s 1 ] b 5. [s 1,A,s 1 ] b B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

9 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beispiel (Forts.) Lesbarer haben wir damit folgende Grammatik: Man sieht jetzt: S A B A ac ε B ad C acc ade D acd adf b F b Variable E ist nutzlos, und damit auch die Variable C. Die Grammatik enthält Kettenproduktionen und nullbare Variablen. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

10 Gleichmächtigkeit: PDAs und kontextfreie Grammatiken Beispiel (Forts.) Nach Entfernung der überflüssigen Elemente: S ε ad D adf b F b Mit dieser Grammatik kann man z.b. folgende Ableitung ausführen: S = ad = aadf = aaadff = aaabff = aaabbf = aaabbb B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 127

11 Teil I 1 Ableitungsbäume 2 Umformung von Grammatiken 3 Normalformen 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen 5 Pushdown-Automaten (PDAs) 6 Abschlusseigenschaften 7 Wortprobleme 8 Der CYK-Algorithmus B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften SS / 127

12 Abschlusseigenschaften Theorem 6.1 (Abschlusseigenschaften von L 2 ) L 2 ist abgeschlossen gegen: Vereinigung Konkatenation Kleene-Stern Beweis Seien G i = (V i,t i,r i,s i ) (i {1,2}) zwei cf-grammatiken mit V 1 V 2 = /0. Sei L i = L(G i ) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften SS / 127

13 Abschlusseigenschaften Beweis (Forts.) zu : (V 1 V 2 {S neu },T 1 T 2,R 1 R 2 {S neu S 1 S 2 },S neu ) zu : erzeugt gerade L 1 L 2 (V 1 V 2 {S neu },T 1 T 2,R 1 R 2 {S neu S 1 S 2 },S neu ) erzeugt gerade L 1 L 2 zu : (V 1 {S neu },T 1,R 1 {S neu S 1 S neu ε},s neu ) erzeugt gerade L 1. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften SS / 127

14 Abschlusseigenschaften Theorem 6.2 (Abschlusseigenschaften von L 2 ) L 2 ist nicht abgeschlossen gegen: Durchschnitt Komplement B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften SS / 127

15 Abschlusseigenschaften Beweis Zu : L 1 = {a n b n c m n,m N} L 2 = {a m b n c n n,m N} wird erzeugt von G i = ({S,S,T },{a,b,c},r i,s) mit R 1 = { S S T S as b ab T ct c} R 2 = { S TS S bs c bc T at a} Sowohl L 1 als auch L 2 sind cf, nicht aber L 1 L 2 = {a n b n c n n N}. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften SS / 127

16 Abschlusseigenschaften Beweis Zu : Angenommen, L 2 wäre abgeschlossen gegen. Wegen L 1 L 2 = ( L 1 L 2 ) wäre L 2 dann auch abgeschlossen gegen Widerspruch B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften SS / 127

17 Teil I 1 Ableitungsbäume 2 Umformung von Grammatiken 3 Normalformen 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen 5 Pushdown-Automaten (PDAs) 6 Abschlusseigenschaften 7 Wortprobleme 8 Der CYK-Algorithmus B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Wortprobleme SS / 127

18 Wortproblem Problem Gegeben: eine cf-grammatik G, so daß L(G) eine Sprache ist über Σ, und ein Wort w Σ Frage: Ist w L(G)? B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Wortprobleme SS / 127

19 Wortproblem Lösung des Wortproblems für L 3 Gegeben eine rechtslineare Grammatik G, so daß L(G) eine Sprache ist über Σ, und ein Wort w Σ. Konstruiere aus G einen ε-ndea A 1. Konstruiere aus A 1 einen NDEA A 2. Konstruiere aus A 2 einen DEA A 3. Probiere aus, ob A 3 das Wort w akzeptiert. Dazu braucht der Automat A 3 genau w Schritte. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Wortprobleme SS / 127

20 Wortproblem Das Wortproblem für L 2 Zu jeder cf-grammatik G kann man einen PDA konstruieren Aber ein Pushdown-Automat kann ε-übergänge machen, in denen er das Wort nicht weiter liest. Wie kann man dann garantieren, daß der Automat in endlich vielen Schritten das Wort w zu Ende gelesen hat? Deshalb: verwende anderes Verfahren: Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus) Auch: Chart-Parsing B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Wortprobleme SS / 127

21 Chart-Parsing Gegeben: Ein Wort w = a 1...a n Idee Prinzip der dynamischen Programmierung 1.: Ermittle woraus sich die einstelligen Teilworte ableiten lassen 2.: Ermittle woraus sich die zweistelligen Teilworte ableiten lassen... n.: Ermittle woraus sich die n-stelligen Teilworte (w selbst) ableiten lassen B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Wortprobleme SS / 127