Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 9 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

Transkript

1 Prof aa Dr J Giesl M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Hausaufgaben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden aus dem gleichen Tutorium bearbeitet werden Die Lösungen der Hausaufgaben müssen bis Mi, im Tutorium abgegeben werden Alternativ ist es bis 17 Uhr möglich, diese in den Kasten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etage) Namen und Matrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Übungsgruppe sind auf jedes Blatt der Abgabe zu schreiben Heften bzw tackern Sie die Blätter! Die Tutoraufgaben werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsam besprochen und bearbeitet Tutoraufgabe 1 ((Deterministische) Kellerautomaten): Geben Sie für die folgenden kontextfreien Sprachen L i einen PDA M i an, so dass L i = L(M i ) Wenn möglich, soll M i ein deterministischer PDA sein a) L 1 = {a n b 2m n N 0, m N >0 } b) L 2 = {a n b n n N >0 } {a n b 2n n N >0 } a) Der folgende deterministische PDA erkennt L 1 : 0 0 a, Γ 0 Γ 0 q 0 q 1 q 2 b, Γ Γ b, Γ 0 Γ 0 b, Γ 0 Γ 0 b) Der folgende nicht-deterministische PDA erkennt L 2 : a, Γ 0 Γ 0 a, q 0 q 1 ɛ, Γ 0 ɛ b, b, Γ 0 Γ 0 q 2 q 3 q 4 ɛ, Γ 0 ɛ 1

2 Hausaufgabe 2 ((Deterministische) Kellerautomaten): (2 + 3 = 5 Punkte) Geben Sie für die folgenden kontextfreien Sprachen L i einen PDA M i an, so dass L i = L(M i ) Wenn möglich, soll M i ein deterministischer PDA sein a) L 1 = {a n b n+3k n N >0, k N 0 } b) L 2 = {(ab) n c m d l n, m, l N >0 (n = m n = l)} a) Der folgende deterministische PDA erkennt L 1 : a, Γ 0 Γ 0 a, b, Γ 0 Γ 0 q 4 q 0 q ɛ, Γ 0 Γ 0 1 q 2 b, Γ 0 Γ 0 b, Γ 0 Γ 0 q 3 b) Der folgende nicht-deterministische PDA erkennt L 2 : c, ɛ d, Γ 0 Γ 0 q 1 q d, Γ 0 Γ 0 2 q 3 a, Γ 0 Γ 0 a, b, c, ɛ q 0 c, c, d, ɛ q d, ɛ 4 q ɛ, Γ 0 Γ 0 5 q 6 2

3 Tutoraufgabe 3 (Akzeptanzbedingungen von Kellerautomaten): Gegeben sei der PDA A = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Γ 0 ) a, Γ 0 Γ 0 a, q 0 q 1 ɛ, Γ 0 Γ 0 ɛ, b, Γ 0 Γ 0 b, q 2 c, ɛ Verwenden Sie das Verfahren aus der Vorlesung, um einen PDA B zu konstruieren, so dass N(B) = L(A) gilt q 0 ɛ, Γ 0 Γ 0 Γ 0 a, Γ 0 Γ 0 a, q 0 q 1 ɛ, Γ 0 Γ 0 ɛ, q 2 b, Γ 0 Γ 0 b, ɛ, Γ 0 Γ 0 ɛ, ɛ, Γ 0 ɛ q ɛ, Γ0 ɛ ɛ, ɛ c, ɛ 3

4 Hausaufgabe 4 (Akzeptanzbedingungen von Kellerautomaten): (3 Punkte) Gegeben sei der PDA A = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Γ 0 ) a, X ax b, X bx q 0 q 1 ɛ, X X a, a ɛ b, b ɛ ɛ, X X q 2 a, b ɛ b, a ɛ ɛ, Γ 0 ɛ Hierbei steht X abkürzend für a oder b Verwenden Sie das Verfahren aus der Vorlesung, um einen PDA B zu konstruieren, so dass L(B) = N(A) gilt q 0 ɛ, Γ 0 Γ 0 Γ 0 ɛ, X X a, X ax b, X bx q 0 q 1 a, a ɛ b, b ɛ ɛ, X X a, b ɛ b, a ɛ ɛ, Γ 0 ɛ q 2 ɛ, Γ 0 Γ 0 ɛ, Γ 0 Γ 0 ɛ, Γ 0 Γ 0 q f 4

5 Tutoraufgabe 5 (CFGs und Kellerautomaten): Überführen Sie die folgende Grammatik G mit dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren in einen Kellerautomaten M mit L(G) = N(M) S ab ba ABc B A SSa B cs bb b Links ist die direkte Lösung zu sehen, rechts eine Lösung, in der Terminalsymbole direkt konsumiert werden, statt sie auf den Keller zu legen Das Kellerbodensymbol ist jeweils S: a, a ɛ b, b ɛ c, c ɛ ɛ, S ab ɛ, S ba ɛ, S ABc q ɛ, S B 0 ɛ, A SSa ɛ, B cs ɛ, B bb ɛ, B b a, a ɛ c, c ɛ a, S B b, S A ɛ, S ABc q ɛ, S B 0 ɛ, A SSa c, B S b, B B b, B ɛ Hausaufgabe 6 (CFGs und Kellerautomaten): (2 Punkte) Überführen Sie die folgende Grammatik G mit dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren in einen Kellerautomaten M mit L(G) = N(M) S asbs C C cc c Links ist die direkte Lösung zu sehen, rechts eine Lösung, in der Terminalsymbole direkt konsumiert werden, statt sie auf den Keller zu legen Das Kellerbodensymbol ist jeweils S: 5

6 a, a ɛ b, b ɛ c, c ɛ b, b ɛ q 0 ɛ, S asbs ɛ, S C ɛ, C cc ɛ, C c q 0 a, S SbS ɛ, S C c, C C c, C ɛ Tutoraufgabe 7 (Kellerautomaten und CFGs): Betrachten Sie den folgenden Kellerautomaten M über dem Eingabealphabet {a, b, c} und dem Kelleralphabet {,, Γ 0 }: b, a, a, Γ 0 Γ 0 c, ɛ c, ɛ c, ɛ ɛ, Γ 0 ɛ q 0 q 1 a, Γ 0 Γ 0 a) Geben Sie die Sprachen L(M) und N(M) (ohne Beweis) an b) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G an, so dass L(G) = N(M) gilt Verwenden Sie hierzu das Verfahren aus der Vorlesung Geben Sie zu jeder Transition δ(q, a, X) = {(p, Y )} die daraus entstehenden Grammatikregeln an c) Geben Sie für das Wort abcc einen Lauf durch den Automaten M an, dh eine Folge von Konfigurationen, die mit (q 0, abcc, Γ 0 ) beginnt und mit (p, ɛ, ɛ) für ein p {q 0, q 1 } endet Geben Sie außerdem einen Ableitungsbaum für abcc auf Basis der Grammatik G aus Teil (b) an a) N(M) = ({(ab) n c 2n n N >0 }) + L(M) = ({(ab) n c 2n n N >0 }) {(ab) n c m n, m N >0 m 2n} b) Wir benötigen zuerst die Menge N der Nonterminale {[q, Z, r] q, r Q, Z Γ } Diese ist in unserem Falle {[q 0,, q 0 ], [q 0,, q 1 ], [q 0,, q 0 ], [q 0,, q 1 ], [q 0, Γ 0, q 0 ], [q 0, Γ 0, q 1 ], [q 1,, q 0 ], [q 1,, q 1 ], [q 1,, q 0 ], [q 1,, q 1 ], [q 1, Γ 0, q 0 ], [q 1, Γ 0, q 1 ]} Wir müssen nun die Regelmenge P erzeugen Dafür betrachten wir nun jede der Transitionen in M Im Folgenden sind jeweils die Zusammenhänge zwischen den Teilen der erzeugenden Transition und der erzeugten Regel farblich dargestellt: 6

7 δ(q 0, a, Γ 0 ) = {(q 0, Γ 0 )}: [q 0, Γ 0, q 0 ] a[q 0,, q 0 ][q 0, Γ 0, q 0 ] [q 0, Γ 0, q 0 ] a[q 0,, q 1 ][q 1, Γ 0, q 0 ] [q 0, Γ 0, q 1 ] a[q 0,, q 0 ][q 0, Γ 0, q 1 ] [q 0, Γ 0, q 1 ] a[q 0,, q 1 ][q 1, Γ 0, q 1 ] δ(q 0, a, ) = {(q 0, )}: [q 0,, q 0 ] a[q 0,, q 0 ][q 0,, q 0 ] [q 0,, q 0 ] a[q 0,, q 1 ][q 1,, q 0 ] [q 0,, q 1 ] a[q 0,, q 0 ][q 0,, q 1 ] [q 0,, q 1 ] a[q 0,, q 1 ][q 1,, q 1 ] δ(q 0, b, ) = {(q 0, )}: [q 0,, q 0 ] b[q 0,, q 0 ][q 0,, q 0 ] [q 0,, q 0 ] b[q 0,, q 1 ][q 1,, q 0 ] [q 0,, q 1 ] b[q 0,, q 0 ][q 0,, q 1 ] [q 0,, q 1 ] b[q 0,, q 1 ][q 1,, q 1 ] δ(q 0, c, ) = {(q 1, ɛ)}: [q 0,, q 1 ] c δ(q 1, c, ) = {(q 1, ɛ)}: [q 1,, q 1 ] c δ(q 1, c, ) = {(q 1, ɛ)}: [q 1,, q 1 ] c δ(q 1, ɛ, Γ 0 ) = {(q 1, ɛ)}: [q 1, Γ 0, q 1 ] ɛ δ(q 1, a, Γ 0 ) = {(q 0, Γ 0 )}: [q 1, Γ 0, q 0 ] a[q 0,, q 0 ][q 0, Γ 0, q 0 ] [q 1, Γ 0, q 0 ] a[q 0,, q 1 ][q 1, Γ 0, q 0 ] [q 1, Γ 0, q 1 ] a[q 0,, q 0 ][q 0, Γ 0, q 1 ] [q 1, Γ 0, q 1 ] a[q 0,, q 1 ][q 1, Γ 0, q 1 ] Die gewünschte Grammatik ist nun (N {S}, Σ, P {S [q 0, Γ 0, q 0 ], S [q 0, Γ 0, q 1 ]}, S) c) Zuerst der gewünschte Konfigurationslauf: (q 0, abcc, Γ 0 ) (q 0, bcc, Γ 0 ) (q 0, cc, Γ 0 ) (q 1, c, Γ 0 ) (q 1, ɛ, Γ 0 ) (q 1, ɛ, ɛ) Der Ableitungsbaum: 7

8 S [q 0, Γ 0, q 1 ] a [q 0,, q 1 ] [q 1, Γ 0, q 1 ] b [q 0,, q 1 ] [q 1,, q 1 ] ɛ c c Hausaufgabe 8 (Kellerautomaten und CFGs): ( = 10 Punkte) Betrachten Sie den folgenden Kellerautomaten M über dem Eingabealphabet {a, b} und dem Kelleralphabet {, Γ 0 }: a, a, Γ 0 Γ 0 ɛ, Γ 0 ɛ q 0 q 1 a) Geben Sie die Sprachen L(M) und N(M) (ohne Beweis) an b) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G an, so dass L(G) = N(M) gilt Verwenden Sie hierzu das Verfahren aus der Vorlesung Geben Sie zu jeder Transition δ(q, a, X) = {(p, Y )} die daraus entstehenden Grammatikregeln an c) Geben Sie für das Wort aabb einen Lauf durch den Automaten M an, dh eine Folge von Konfigurationen, die mit (q 0, aabb, Γ 0 ) beginnt und mit (p, ɛ, ɛ) für ein p {q 0, q 1 } endet Geben Sie außerdem einen Ableitungsbaum für aabb auf Basis der Grammatik G aus Teil (b) an a) Es gilt L(M) = {a n b m n, m N >0 1 m n} und N(M) = {a n b n n N >0 } 8

9 b) Wir benötigen zuerst die Menge N der Nonterminale {[q, Z, r] q, r Q, Z Γ } Diese ist in unserem Falle {[q 0,, q 0 ], [q 0,, q 1 ], [q 0, Γ 0, q 0 ], [q 0, Γ 0, q 1 ], [q 1,, q 0 ], [q 1,, q 1 ], [q 1, Γ 0, q 0 ], [q 1, Γ 0, q 1 ]} Wir müssen nun die Regelmenge P erzeugen Dafür betrachten wir nun jede der Transitionen in M Im Folgenden sind jeweils die Zusammenhänge zwischen den Teilen der erzeugenden Transition und der erzeugten Regel farblich dargestellt: δ(q 0, a, Γ 0 ) = {(q 0, Γ 0 )}: [q 0, Γ 0, q 0 ] a[q 0,, q 0 ][q 0, Γ 0, q 0 ] [q 0, Γ 0, q 0 ] a[q 0,, q 1 ][q 1, Γ 0, q 0 ] [q 0, Γ 0, q 1 ] a[q 0,, q 0 ][q 0, Γ 0, q 1 ] [q 0, Γ 0, q 1 ] a[q 0,, q 1 ][q 1, Γ 0, q 1 ] δ(q 0, a, ) = {(q 0, )}: [q 0,, q 0 ] a[q 0,, q 0 ][q 0,, q 0 ] [q 0,, q 0 ] a[q 0,, q 1 ][q 1,, q 0 ] [q 0,, q 1 ] a[q 0,, q 0 ][q 0,, q 1 ] [q 0,, q 1 ] a[q 0,, q 1 ][q 1,, q 1 ] δ(q 0, b, ) = {(q 1, ɛ)}: [q 0,, q 1 ] b δ(q 1, b, ) = {(q 1, ɛ)}: [q 1,, q 1 ] b δ(q 1, ɛ, Γ 0 ) = {(q 1, ɛ)}: [q 1, Γ 0, q 1 ] ɛ Die gewünschte Grammatik ist nun (N {S}, Σ, P {S [q 0, Γ 0, q 0 ], S [q 0, Γ 0, q 1 ]}, S) c) Zuerst der gewünschte Konfigurationslauf: Der Ableitungsbaum: (q 0, aabb, Γ 0 ) (q 0, abb, Γ 0 ) (q 0, bb, Γ 0 ) (q 1, b, Γ 0 ) (q 1, ɛ, Γ 0 ) (q 1, ɛ, ɛ) 9

10 S [q 0, Γ 0, q 1 ] a [q 0,, q 1 ] [q 1, Γ 0, q 1 ] a [q 0,, q 1 ] [q 1,, q 1 ] ɛ b b Tutoraufgabe 9 (Abschlusseigenschaften kontextfreier Sprachen): Sei Σ = {a, b, c} ein Alphabet Zu welchen der drei Klassen deterministisch kontextfrei kontextfrei, aber nicht deterministisch kontextfrei nicht kontextfrei gehören folgende Sprachen über Σ? Beweisen Sie Ihre Antwort ausschließlich mit Hilfe der Abschlusseigenschaften (deterministisch) kontextfreier Sprachen, dh Sie dürfen nicht das Pumping-Lemma, CFGs oder Automaten verwenden Sie dürfen jedoch verwenden, dass folgende Sprachen zu folgenden Klassen gehören: L 1 = {a m b m c n m, n 0} deterministisch kontextfrei L 2 = {a l b m c n l, m, n 0} regulär L 3 = {a m b n a m b n m, n 0} nicht kontextfrei L 4 = {a k b l a m b n k, l, m, n 0} regulär Außerdem dürfen Sie verwenden, dass deterministisch kontextfreie Sprachen unter Schnitt mit regulären Sprachen abgeschlossen sind a) L x = {a l b m c n l, m, n 0 l m} Beispielsweise gilt: abbc L x aabc L x ac L x abcc / L x ab / L x 10

11 b) L y = {a l c m b n a l b n c m l, m, n 0} Beispielsweise gilt: acbabc L y aa L y cbbc L y a / L y abcabc / L y a) Es gilt L x = L 1 L 2 Aufgrund der Abgeschlossenheit deterministisch kontextfreier Sprachen unter Komplement und Schnitt mit regulären Sprachen ist L x damit deterministisch kontextfrei b) Es gilt L 3 = L y L 4 Aufgrund der Abgeschlossenheit kontextfreier Sprachen unter Schnitt mit regulären Sprachen ist L y damit nicht kontextfrei Hausaufgabe 10 (Abschlusseigenschaften kontextfreier Sprachen): ( = 9 Punkte) Sei Σ = {a, b, c} ein Alphabet Zu welchen der drei Klassen deterministisch kontextfrei kontextfrei, aber nicht deterministisch kontextfrei nicht kontextfrei gehören folgende Sprachen über Σ? Beweisen Sie Ihre Antwort ausschließlich mit Hilfe der Abschlusseigenschaften (deterministisch) kontextfreier Sprachen, dh Sie dürfen nicht das Pumping-Lemma, CFGs oder Automaten verwenden Sie dürfen jedoch verwenden, dass folgende Sprachen zu folgenden Klassen gehören: L 1 = {a m b m c n m, n 0} deterministisch kontextfrei L 2 = {a m b n c n m, n 0} deterministisch kontextfrei L 3 = {a l b m c n l, m, n 0} regulär L 4 = {a n b n c n n 0} nicht kontextfrei L 5 = {w Σ a (w) ist gerade} regulär Außerdem dürfen Sie verwenden, dass deterministisch kontextfreie Sprachen unter Schnitt mit regulären Sprachen abgeschlossen sind a) L a = {w Σ w enthält mindestens eines der Teilwörter ba, cb, ac, ca a (w) b (w)} Beispielsweise gilt: aababb L a abb L a 11

12 caabb L a cc / L a aabbc / L a b) L b = {w Σ a (w) ist ungerade a (w) = b (w) = c (w)} Beispielsweise gilt: acab L b bb L b abccababc L b acc / L b abbcc / L b c) L c = {w Σ w enthält mindestens eines der Teilwörter ba, cb, ac, ca a (w) b (w) b (w) c (w)} Beispielsweise gilt: caabb L c cc L c aabbc L c aabbcc / L c a) Es gilt L a = L 1 Aufgrund der Abgeschlossenheit deterministisch kontextfreier Sprachen unter Komplement ist L a damit deterministisch kontextfrei b) Es gilt L 4 = (L b \ L 5 ) L 3 Aufgrund der Abgeschlossenheit kontextfreier Sprachen unter Schnitt und Differenz mit regulären Sprachen ist L b damit nicht kontextfrei c) Es gilt L 4 = L c Aufgrund der Abgeschlossenheit deterministisch kontextfreier Sprachen unter Komplement ist L c damit nicht deterministisch kontextfrei Weiterhin gilt L c = L 1 L 2 Aufgrund der Abgeschlossenheit deterministisch kontextfreier Sprachen unter Komplement sind L 1 und L 2 deterministisch kontextfrei Damit ist dann auch aufgrund der Abgeschlossenheit kontextfreier Sprachen unter Vereinigung L c kontextfrei Insgesamt ist L c also kontextfrei, aber nicht deterministisch kontextfrei 12