Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Erzeugende Grammatiken akzeptierende Automaten.

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1 Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal) Institut für Informatik Sommersemester 2007 Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank. Bernhard Beckert, April 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 359 Teil IV Erzeugende Grammatiken akzeptierende Automaten 1 Ableitungsbäume 2 Umformung von Grammatiken 3 Normalformen 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen 5 Pushdown-Automaten (PDAs) 6 Abschlusseigenschaften 7 Wortprobleme Erinnerung: Reguläre Sprachen werden erzeugt von rechtslinearen Grammatiken werden akzeptiert von endlichen Automaten Jetzt: Kontextfreie Sprachen werden erzeugt von kontextfreien Grammatiken werden akzeptiert von Pushdown-Automaten 8 Der CYK-Algorithmus B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359

2 Idee des en Idee des en Beispiel 22.1 Die prototypische cf-sprache {a n b n n N 0 Idee: Wie kann man diese Sprache akzeptieren? Weitere Informationen auf dem Stack sichern Später zurückholen Ähnlich einem Prozeduraufruf Grammatikregel wie S aab entspricht Aufruf einer Prozedur für das A. Endliche Automaten reichen nicht aus. Sie können sich nicht merken, wie oft sie einen Zustand durchlaufen haben. Für a n b n muss man aber mitzählen. Stack, Stapel, Keller Last in, first out Zuletzt gespeicherte Information liegt immer obenauf Beliebig viel Information kann gespeichert werden (Aber kein beliebiger Zugriff!) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 Definition 22.2 () Ein (PDA) ist ein Tupel M = (K,Σ,Γ,,s 0,Z 0,F) (PDA): Informell Wie endlicher Automat, aber zusätzlicher einen Stack Übergangsrelation bezieht das oberste Stacksymbol in den Übergang ein Bei Zustandsübergang: lesen und schreiben auf Stack Dabei ist K Σ Γ s 0 K Z 0 Γ F K eine endliche Menge von Zuständen das Eingabealphabet das Stack- oder Kelleralphabet der Startzustand das Anfangssymbol im Keller eine Menge von finalen Zuständen die Zustandsübergangsrelation, eine endliche Relation: (K (Σ {ε) Γ) (K Γ ) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359

3 Arbeitsschritt eines PDA In Abhängigkeit vom aktuellen Zustand vom nächsten Eingabezeichen (oder auch unabhängig davon) vom obersten Kellersymbol geschieht folgendes nächstes Eingabezeichen wird gelesen oder nicht (bei ε), das oberste Kellersymbol wird entfernt, Notation a,b,c für Buchstaben aus Σ u,v,w für Wörter aus Σ A,B für Stacksymbole aus Γ γ,η für Stackinhalte aus Γ der Zustand wird geändert, es werden null oder mehr Zeichen auf den Keller geschoben Bei neuen Keller-Wort γ = A 1...A n wird A n zuerst auf den Keller geschoben usw., so daß am Schluss A 1 obenauf liegt. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 : Konfiguration : Konfiguration Definition 22.3 (Konfiguration eines PDA, ) Konfiguration eines PDA: Informell Konfiguration beschreibt die aktuelle Situation des PDA komplett Bestandteile: aktueller Zustand noch zu lesendes Restwort kompletter Stackinhalt Für Konfigurationen C 1,C 2 bedeutet Eine Konfiguration C eines PDA M = (K,Σ,Γ,,s 0,Z 0,F) ist ein Tripel (q,w,γ) K Σ Γ. q der aktuelle Zustand w der noch zu lesendes Restwort γ der komplette Stackinhalt C 1 C 2 daß der PDA in einem Schritt von C 1 nach C 2 gelangen kann. Definition 22.4 (Startkonfiguration) Bei Eingabewort w ist die Startkonfiguration: (s 0,w,Z 0 ) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359

4 : Konfiguration : Rechnung Definition 22.5 (Nachfolgekonfiguration) C 2 heißt Nachfolgekonfiguration von C 1, C 1 C 2 falls a Σ A Γ w Σ γ,η Γ so dass entweder C 1 = (q 1,aw,Aγ), C 2 = (q 2,w,ηγ), und (q 1,a,A) (q 2,η), oder C 1 = (q 1,w,Aγ), C 2 = (q 2,w,ηγ), und (q 1,ε,A) (q 2,η), Definition 22.6 (Rechnung eines PDA) Sei A ein. C A C gdw es eine Reihe von Konfigurationen C 0,C 1,...,C n (n 0) so daß C = C 0, C = C n, C i A C i+1 für alle 0 i < n Dann heißt C 0,C 1,...,C n eine Rechnung von A B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 : Akzeptierte Sprache Definition 22.7 (von PDA akzeptierte Sprache) Ein PDA M kann auf zwei verschiedene Arten eine Sprache akzeptieren: über finale Zustände über leeren Keller L f (M) = {w Σ q F γ Γ ( (s 0,w,Z 0 ) M (q,ε,γ)) L l (M) = {w Σ q ( K (s 0,w,Z 0 ) M (q,ε,ε)) Bemerkung Bemerkung Das unterste Symbol im Keller kann gelöscht werden. Dann aber hängt der PDA Er kann nicht mehr weiter rechnen Es gibt keinenachfolgekonfiguration Das zu akzeptierende Wort w muss von M ganz gelesen werden: ist gefordert. (s 0,w,Z 0 ) (q,ε, ) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359

5 : Beispiel : Beispiel Beispiel 22.8 Sprache der Palindrome über {a, b: L = {w {a,b w = w R L wird über leeren Keller akzeptiert von dem PDA M := ({s 0,s 1,{a,b, {Z 0,A,B,,s 0,Z 0, /0) mit... B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 Idee: Ein Palindrom w = w R hat die Form vv R oder vav R oder vbv R für ein v {a,b Der Automat M liest v und merkt sich jeden Buchstaben. Er rät indeterminiert die Wortmitte. Falls das Wort eine ungerade Anzahl von Buchstaben hat, also w = vav R oder w = vbv R, dann muss dabei ein Buchstabe überlesen werden. Der Stack enthält nun v R. M muss jetzt nur noch jeden weiteren gelesenen Buchstaben mit dem jeweils obersten Kellersymbol vergleichen. B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 : Beispiel : Beispiel (s 0,ε,Z 0 ) (s 1,ε) (s 0,a,Z 0 ) (s 0,A) (s 0,a,A) (s 0,AA) (s 0,a,B) (s 0,AB) (s 0,b,Z 0 ) (s 0,B) (s 0,b,A) (s 0,BA) (s 0,b,B) (s 0,BB) ε akzeptieren Stack aufbauen (s 0,ε,A) (s 1,ε) Richtungswechsel für Palindrome (s 0,ε,B) (s 1,ε) mit ungerader Buchstabenanzahl (s 0,a,A) (s 1,ε) Richtungswechsel für Palindrome (s 0,b,B) (s 1,ε) mit gerader Buchstabenanzahl (s 1,a,A) (s 1,ε) Stack abbauen (s 1,b,B) (s 1,ε) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359

6 : Beispiel Für das Eingabewort abbabba rechnet M so: (s 0,abbabba,Z 0 ) (s 0,bbabba,A) (s 0,babba,BA) (s 0,abba,BBA) (s 0,bba,ABBA) (s 1,bba,BBA) (s 1,ba,BA) (s 1,a,A) (s 1,ε,ε) B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Pushdown-Automaten (PDAs) SS / 359