Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung

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1 Gliederung 0. Motivation und Einordnung 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.1. Chomsky-Grammatiken 2.2. Reguläre Sprachen /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

2 u Anmerkungen es geht immer noch darum formale Sprachen mit Hilfe von Regeln (Chomsky-Grammatiken) zu beschreiben und zu verstehen, wie man das Wortproblem für so beschriebene Sprache lösen kann bisher haben wir uns vor allem mit regulären Grammatiken (Typ-3) und den durch sie beschriebenen Sprachen (regulären Sprachen) beschäftigt in diesem Kapitel schauen wir uns einen komplizierten Typ von Grammatiken (kontextfreien Grammatiken bzw. Typ-2 Grammatiken) und die durch sie beschriebene Sprachen (kontextfreie Sprachen) genauer an 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

3 u Warum machen wir das? es gibt Sprachen, die man nicht mit regulären Grammatiken beschreiben kann beispielsweise sind die folgenden Sprachen über dem Alphabet Σ = { 0,1 } keine regulären Sprachen L = { 0 n 1 n n N } L = { w Σ* w enthält genauso viele Nullen wie Einsen } Warum stimmen diese Behauptungen? 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

4 u Warum machen wir das? (cont.) u Anmerkung wir interessieren uns für Sprachen die man nicht mit regulären Grammatiken beschreiben kann die man aber mit kontextfreien Grammatiken beschreiben kann Vorteil: das Wortproblem für diese Sprachen ist effizient lösbar und man kann anhand der Grammatik einen effizienten Lösungsalgorithmus für das Wortproblem konstruieren wir könnten im Prinzip auch kontextsensitive Grammatiken (Typ-1) verwenden, um diese Sprachen zu beschreiben Nachteil: es ist unklar, wie man anhand einer solcher Grammatik einen effizienten Lösungsalgorithmus für das Wortproblem konstruieren soll 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

5 u Warum machen wir das? (cont.) neben den rein akademischen Argumenten gibt es noch ein praktisches Argument die meisten Sprachen, denen wir als Informatiker begegnen sind kontextfreie Sprachen (zumindest in ihrem Kern) einige Beispiel für solche Sprachen sind, die Mengen: aller Programme einer Programmiersprache, die ein Compiler übersetzen können sollte alle Dokumente, die ein Internet-Browser darstellen können sollte alle Dokumente, die ein Textverarbeitungssystems verarbeiten können sollte... 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

6 u Ein kleines Beispiel wir schauen uns eine einfache Programmiersprache genauer an, die in der Theoretischen Informatik (konkret in der Berechnungstheorie) eine wichtige Rolle spielt; das liegt daran, dass gilt: für jede berechenbare Funktion (über der Menge der natürlichen Zahlen) kann man ein Programm in dieser Programmiersprache angeben, das diese Funktion berechnet in dieser Programmiersprache gibt es nur die folgenden Sprachkonstrukte: Programmvariablen (/* x0,x1,x2,... */) Konstante (/* 0,1,2,... */) Wertzuweisungen (/* x0 := x1 + 0, x2:= x2-1,... */) While-Schleifen (/* while x2 0 do x0:= x0 + 1; x2 = x2-1 end */) 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

7 u Ein kleines Beispiel (cont.) das folgende Programm in dieser Programmiersprache addiert zwei Zahlen (/* diese Zahlen werden den Variablen x1 und x2 vor dem Programmstart zugewiesen; das Ergebnis steht nach Ende der Programmausführung in der Variablen x0 */) x0 := x1 + 0; while x2 0 do x0 = x0 + 1; x2 = x2-1; end 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

8 u Ein kleines Beispiel (cont.) mit der folgenden kontextfreien Grammatik, kann man genau alle Programme dieser Programmiersprache erzeugen <P> <A> und <P> <A> ; <P> <A> <V> := <V> + <K> und <A> <V> := <V> - <K> <A> while <V> 0 do <P> end <V> x<k> <K> 0,..., <K> 9 und <K> 1<K >,..., <K> 9<K > <K > 0,..., <K > 9 und <K > <K ><K > Anmerkung: die Variable <P> steht für Programm und ist die Startvariable; die Variable <A> steht für Anweisung, <V> für Programmvariable und <K> für Konstante 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

9 u Anmerkung es gibt Programmiersprachen (/* dazu gehören auch C++ und Java */) für die gilt: es gibt keine kontextfreie Grammatik, mit der man genau alle Programme dieser Programmiersprache erzeugen kann man kann aber eine kontextfreie Grammatik angeben, für die gilt: mit dieser Grammatik kann man eine echte Obermenge aller Programme dieser Programmiersprache erzeugen man kann sehr effizient überprüfen, ob ein mit dieser Grammatik erzeugtes Wort ein Programm dieser Programmiersprache ist oder nicht... auf diesen Aspekt bezog sich der Hinweis, dass die meisten Sprachen, die uns als Informatiker begegnen, im Kern kontextfreie Sprache sind 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

10 u Ein Beispiel anhand der folgenden Programmiersprache kann man den eben diskutierten Aspekt ganz gut illustrieren (/* für C++ und Java würde diese Diskussion mehr Zeit brauchen */) stammt auch aus der theoretischen Informatik (ist genauso leistungsfähig wie die zuvor betrachtete Programmiersprache) in dieser Programmiersprache werden (wie in Assembler) die Anweisungen durchnummeriert die zugehörigen Nummern werden verwendet, um die Programmabarbeitung zu steuern 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

11 u Ein Beispiel (cont.) das folgende Programm dieser Programmsprache kann benutzt werden, um zwei Zahlen zu addieren: (a0) x0 := x1 + 0 (a1) if x2 = 0 goto (a5) (a2) x0 := x0 + 1 (a3) x2 := x2-1 (a4) goto (a1) (a5) ende 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

12 u Ein Beispiel (cont.) eine geeignete Obermenge aller Programme dieser Programmiersprache kann man mit folgender kontextfreien Grammatik erzeugen: <P> <P > <E> <E> <AN> ende <P > <A> und <P > <A> <P > <A> <AN> <V> := <V> + <K> und <A> <AN> <V> := <V> - <K> <A> <AN> goto <AN> und <A> <AN> if <V> = 0 goto <AN> <AN> (a<k>) <V> x<k> <K> 0,..., <K> 9 und <K > 1<K >,..., <K> 9<K > <K > 0,..., <K > 9 und <K > <K ><K > 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

13 u Ein Beispiel (cont.) mit der angegebenen kontextfreien Grammatik kann man auch folgendes Wort erzeugen: (a3) x0 := x1 (a1) if x2 = 0 goto (a27) (a0) x0 := x0 + 1 (a3) x2 := x2-1 (a4) goto (a0) (a5) end dass dieses Wort kein korrektes Programm ist, kann man recht einfach rauskriegen (/* allgemein überprüft man, ob die Anweisungen in aufsteigender Reihenfolge durchnummeriert sind und ob die Nummer hinter jedem goto mit einer definierten Anweisung verknüpft ist */) 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

14 u Anmerkungen mit ähnlichen Problemen ist man konfrontiert, wenn man alle C++- bzw. Java-Programme mit einer kontextfreien Grammatik beschreiben will diese Probleme ergeben sich, weil in C++ bzw. Java alle Variablen und Funktionen vor ihrer Verwendung deklariert worden sein müssen und nur typ- bzw. signaturkonform verwendet werden dürfen vor der eigentlichen Übersetzung wird deshalb wie folgt vorgegangen: es werden alle verwendeten Variablen und Funktionen bestimmt es finden Prüfungen zur Typ- und Signaturkonformität statt es wird geprüft, ob das Programm mit Hilfe der zugrunde liegenden kontextfreien Grammatik erzeugt werden kann 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

15 u Zur Erinnerung: Begriff kontextfreie Grammatik (Typ-2 Grammatik) sei G = [Σ,V,S,R] eine Chomsky-Grammatik dann definieren wir: G ist genau dann eine kontextfreie Grammatik, wenn für alle Regeln l r in R gilt: die linke Seite l ist eine Variable aus V die rechte Seite r ist ein nichtleeres Wort aus (Σ V)* 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

16 u Zur Erinnerung: Begriff kontextfreie Sprache sei L Σ* dann definieren wir: L ist genau dann eine kontextfreie Sprache, wenn gilt: es gibt eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L \ { ε }. 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

17 u erstes Beispiel Palindrome ein Palindrom ist ein Wort, das von links nach rechts gelesen und von rechts nach links gelesen dasselbe Wort ergibt einige Beispiel: Reliefpfeiler (reliefpfeiler) Ein Esel lese nie (einesellesenie) /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

18 u erstes Beispiel Palindrome (cont.) wir interessieren uns für alle Palindrome über dem Alphabet Σ = { a,b,c } zugrunde liegende induktive Definition: Die Wörter a,b,c,aa,bb und cc sind Palindrome. Es sei w ein Palindrom. Dann sind auch die folgenden drei Wörter Palindrome: a w a, b w c und c w c. abgeleitete kontextfreie Grammatik für die Sprache, die alle Palindrome über den Alphabet Σ = { a,b,c } enthält folgende Regeln: S a b c und S aa bb cc S asa, S bsb und S csc Hinweis: S a b c steht für die drei Regel S a, S b und S c 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

19 u zweites Beispiel Σ = { a,b,c } L = { a i b c j i,j N und i j } zugrunde liegende induktive Definition der Sprache L: Das Wort abc gehört zur Sprache L. Es sei w ein Wort aus L. Dann gehören auch die folgenden zwei Wörter zur Sprache L: a w c und w c. abgeleitete kontextfreie Grammatik für die Sprache L, mit der Startvariablen S und zwei weiteren Variablen A und B: S A und S AB A abc und A aac B c und B cb 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

20 u drittes Beispiel sei Σ = { 0,1 } sei L = { 0 i 1 j 0 k i,j,k N und (i = j oder j = k) } kontextfreie Grammatik für die Sprache L, mit der Startvariablen S und drei weiteren Variablen A, B und C: S AB CA A 0 0A B 10 1B0 C 01 0C1 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

21 u.. und nun zum algorithmischen Aspekt sei L Σ* mit ε L es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik mit L(G) = L wir suchen einen Algorithmus, mit dem man für jedes Wort w Σ* entscheiden kann, ob w L gilt dazu benötigen wir den Begriff Ableitungsbaum und den Begriff kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform... um den Fall, dass die Sprache L das leere Wort enthält, müssen wir uns nicht ernsthaft kümmern 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

22 u zentraler Begriff: Ableitungsbaum es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik es sei w L(G) Ein Ableitungsbaum für w ist ein Baum, für den gilt: seine Wurzel ist mit S markiert jeder innere Knoten ist mit einer Variablen A V markiert die Söhne eines inneren Knotens mit der Variablen A ergeben von links nach rechts gelesen die rechte Seite einer Regel zum Ersetzen von A die Blätter sind jeweils mit einem Buchstaben aus Σ markiert (/ *die Blätter von links nach rechts gelesen ergeben das Wort w */) 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

23 u Ableitungsbäume (/* Beispiele */) S AB CA A 0 0A B 10 1B0 C 01 0C1 w = S S C A A B 0 C 1 0 A 0 A 1 B /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

24 u Anmerkung es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik es sei w L(G) und B ein Ableitungsbaum für w... in B finden sich mehrere Ableitungen des Wortes w 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

25 u Illustration S AB CA A 0 0A B 10 1B0 C 01 0C1 w = S S G CA G 0C1A G 0011A G 00110A G C A S G CA G 0C1A G 0C10A G 0C100 G C 1 0 A S G CA G C0A G C00 G 0C100 G /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

26 u Anmerkung es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik es sei w L(G) es gibt in der Regel mehrere Ableitungsbäume für w in jedem Ableitungsbaum finden sich mehrere Ableitungen von w in jedem Ableitungsbaum findet sich eine eindeutig festgelegte Linksableitung von w (/* es wird jeweils die am weitesten links stehende Variable ersetzt */) in jedem Ableitungsbaum findet sich eine eindeutig festgelegte Rechtsableitung von w (/* es wird jeweils die am weitesten rechts stehende Variable ersetzt */) 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

27 u Anmerkung um herauszukommen, ob ein gegebenes Wort w aus der Startvariablen einer gegebenen kontextfreien Grammatik G ableitbar ist (d.h. zur Sprache L(G) gehört), versucht man eine Rechts- bzw. Linksableitung für das Wort w zu konstruieren oder nachzuweisen, dass es keine Links- bzw. Rechtsableitung für das Wort w gibt... das geht einfach, wenn die gegebene Grammatik bestimmte Eigenschaften hat (d.h. in Chomsky-Normalform ist) 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

28 u Chomsky-Normalform für kontextfreie Grammatik es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik G ist in Chomsky-Normalform, falls für alle Regeln l r von G gilt: l V r = x mit x Σ oder r = AB mit A,B V u Einordnung Es sei L eine kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine Grammatik G = [Σ,V,S,R] in Chomsky-Normalform, so dass L(G) = L \ { ε } gilt. 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

29 u Vorteile von kontexfreien Grammatiken in Chomsky-Normalform (Teil 1) es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik in Chomsky-Normalform es sei w L(G) mit w = n Jede Ableitung des Worts w benötigt genau 2n-1 viele Ableitungsschritte. u Hintergrund... jeder Ableitungsbaum für w ist mit Ausnahme der letzten Ebene ein Binärbaum... ein Binärbaum mit n Blättern hat n-1 viele innere Knoten 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

30 u Beispiel Σ = { 0,1 } V = { S,A,B,C } S w = 0011 S AC S AB C SB A 0 B 1 S A C 0 S B A B /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

31 u Vorteile von Grammatiken in Chomsky-Normalform (/* Teil 2 */) es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik in Chomsky-Normalform es sei w Σ* mit w = x 1...x n es sei A V Das Wort w ist aus der Variablen A ableitbar (/* d.h. A G * w */) gdw. es tritt einer der folgenden beiden Fälle ein: Fall 1: falls n = 1 gilt, muß es die Regel A x 1 in G geben Fall 2: falls n > 1 gilt, muß es ein z { 1,...,n-1 }, Variablen B,C V und eine Regel A BC in G geben, so daß gilt: B G * x 1...x z C G * x z+1...x n... kann man benutzen, um unter Verwendung des Paradigmas der dynamischen Programmierung einen effizienten Algorithmus zur Lösung des Wortproblems für L(G) zu konzipieren 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

32 u Cocke-Younger-Kasami Algorithmus es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik in Chomsky-Normalform es sei w Σ* mit w = x 1... x n verwendete Datenstruktur: Tabelle der Größe n n Zelle t[i][k] enthält Informationen, die das Teilwort x i x i+1... x i+k-1 betreffen (/* d.h. das Teilwort betreffen, welches in w an der Position i beginnt und aus k Zeichen besteht */) t[i][k] enthält die Variable A V, falls A G * x i x i+1... x i+k-1 gilt 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

33 u Cocke-Younger-Kasami Algorithmus (cont.) Berechnungsvorschrift (/* jede Zelle auf und über der Nebendiagonalen enthält nach der Berechnung eine (eventuell leere) Menge von Variablen */): Eingabe: ein Wort w = x 1... x n (1) falls k = 1 ist, so gilt für eine Variable A genau dann A t[i][k], wenn es die Regel A x i in G gibt (2) falls k > 1 ist, so gilt für eine Variable A genau dann A t[i][k], wenn es eine Regel A BC in G gibt und für ein z { 1,...,k-1 } gilt, dass B t[i][z] und C t[i+z][k-z] gilt 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

34 u Beispiel Σ = { 0,1 } V = { S,A,B,C } S w = 0011 S AC S AB C SB A 0 B 1 i k /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

35 u Beispiel (cont.) Σ = { 0,1 } V = { S,A,B,C } S w = 0011 S AC S AB C SB A 0 B 1 i k 1 { A } { A } { B } { B } 1 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

36 u Beispiel (cont.) Σ = { 0,1 } V = { S,A,B,C } S w = 0011 S AC S AB C SB A 0 B 1 i k 1 { A } { A } { B } 2 { S } { B } 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

37 u Beispiel (cont.) Σ = { 0,1 } V = { S,A,B,C } S w = 0011 S AC S AB C SB A 0 B 1 i k 1 { A } { A } { B } 2 { S } 3 { C } { B } 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

38 u Beispiel (cont.) Σ = { 0,1 } V = { S,A,B,C } S w = 0011 S AC S AB C SB A 0 B 1 i k 1 { A } { A } { B } 2 { S } 3 { C } 4 { S } { B } S G AC G 0C G 0SB G 0ABB G 00BB G 001B G /5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

39 CYK-Algorithmus u Cocke-Younger-Kasami Algorithmus es sei G = [Σ,V,S,R] eine Grammatik in Chomsky-Normalform es sei w Σ* mit w = x 1... x n für i = 1,...,n: setze t[i][1] := { A A x i } für k = 2,...,n: für i = 1,...,n - k + 1: setze t[i][k] := für z = 1,...,k - 1: füge ein A V zu t[i][z] hinzu, falls es B,C V mit folgenden Eigenschaften gibt: - B t[i][z] - C t[i+ z][k-z] - die Regel A BC gehört zu R falls S t[1][n], gib 1 aus; sonst gib 0 aus 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

40 u Cocke-Younger-Kasami Algorithmus löst das Wortproblem für eine kontextfreie Sprache L = L(G), falls die Grammatik G in Chomsky-Normalform ist der CYK-Algorithmus benötigt O(n 3 ) viele Schritte, um für ein Wort w der Länge n zu entscheiden, ob w L(G) oder w L(G) gilt (/* die Größe von G ist in der O-Notation versteckt */) der CYK- Algorithmus basiert auf dem Paradigma der dynamischen Programmierung... es gelte o.b.d.a. wieder ε L 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

41 u zurück zu Chomsky-Normalformen Es sei L eine kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine kontextfreie Grammatik G = [Σ,V,S,R] in Chomsky-Normalform mit L(G) = L \ { ε }. es sei G = [Σ,V,S,R] eine kontextfreie Grammatik dann kann man aus G eine Grammatik G = [Σ,V,S,R ] in Chomsky- Normalform konstruieren, so dass L(G ) = L(G) gilt... der CYK-Algorithmus löst das Membership-Problem für alle kontextfreien Sprachen... bevor man den CYK-Algorithmus anwenden kann, ist ein Art pre-processing erforderlich (/* man muss zu G erst eine äquivalente Grammatik G in Chomsky-Normalform konstruieren */) 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

42 u Zur Erinnerung die Regeln einer kontextfreien Grammatik in Chomsky-Normalform dürfen nur die Form u Typen von Regeln X x bzw. X YZ haben um eine kontextfreie Grammatik G, die nicht in Chomsky-Normalform ist, in eine äquivalente kontextfreie Grammatik G in Chomsky-Normalform zu überführen, klassifizieren wir die Regeln von G wie folgt: Typ A: Regeln die schon in Chomsky-Normalform sind Typ B: Regeln, deren rechte Seiten mindestens zwei Zeichen enthalten Typ C: alle anderen Regeln, also genau die Regeln der Form X Y 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

43 u Zum Umgang mit Regeln vom Typ A hier ist nichts zu tun (die Regeln werden einfach in G übernommen) u Zum Umgang mit Regeln vom Typ B jede Regel von diesem Typ kann separat behandelt werden für jede Regel l r in G werden endlich viele äquivalente Regeln l 1 r 1,..., l k r k in Chomsky-Normalform in G aufgenommen 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

44 u Details für den Umgang mit Regeln vom Typ B Regel in G: A ab anstatt der Regel A ab fügt man die folgenden Regeln zu G hinzu: H a a und H b b A H a H b... die Regel A ab entspricht der Regel A H a H b... offenbar kann man mit diesen drei neuen Regeln nicht mehr (und nicht weniger) tun, als mit der gegebenen Regel 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

45 u Details für den Umgang mit Regeln vom Typ B (cont.) Regel in G: A cxcy anstatt der Regel A cxcy fügt man die folgenden Regeln zu G hinzu: H c c A H c H 1, H 1 XH 2 und H 2 H c Y... die Regel A cxcy entspricht der Regel A H c XH c Y, deren rechte Seite aus vier Variablen besteht... offenbar kann man mit diesen vier neuen Regeln nicht mehr (und nicht weniger) tun, als mit der gegebenen Regel 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

46 u Schritte des pre-processing Schritt 0: Schritt 1: Schritt 2: Schritt 3: Die Regeln von G werden in drei Gruppen R A, R B und R C aufgeteilt (/* R A enthält alle Regeln vom Typ A; R B alle vom Typ B; R C alle vom Typ C */). Alle Regeln aus R A in die Regelmenge von G übernommen. Für jede Regel aus R B werden äquivalente Regeln in Chomsky- Normalform in die Regelmenge von G aufgenommen. Es wird sich um die Regeln in R C gekümmert. 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

47 u Beispiel (/* Schritt 0 bis Schritt 2 */) Σ = { a,b } V = { S } Σ = { a,b } V = { S,H a,h b,v 1 } S asb S ab S H a V 1 V 1 SH b S H a H b H a a H b b 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

48 u Anmerkungen zu Schritt 3 da wir wissen, wie man kontextfreie Regeln vom Typ B äquivalent durch kontextfreie Regeln in Chomsky-Normalform ersetzt, müssen wir nur noch den folgenden Fall betrachten gegeben ist eine kontextfreie Grammatik G, die nur Regeln vom Typ A (also Regeln in Chomsky-Normalform) und Regeln vom Typ C (also Regeln der Form X Y) enthält Regeln vom Typ C kann man nicht separat ersetzen, d.h. man muss beachten, welche anderen Regeln in G vorkommen 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

49 u generelle Idee sei X Y eine Regel vom Typ C seien Y l 1,..., Y l k alle Regeln vom Typ A mit der linken Seite Y dann gehe wie folgt vor: streiche die Regel X Y nimm die Regeln X l 1,..., X l k auf da die Regeln Y l 1,..., Y l k in Chomsky-Normalform sind, sind die neuen Regeln X l 1,..., X l k auch in Chomsky-Normalform 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

50 u Beispiel Σ = { a,b } V = { S,A,B} S AA S AB S A A BB A a B b Σ = { a,b } V = { S,A,B } S AA S AB A BB A a B b S BB S a 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

51 u Anmerkungen es geht nicht immer so einfach... S AA und S B A a und A B B b und B A falls wir uns um die Regel S B kümmern, so erhalten wir: S AA, S b und S A A a und A B B b und B A falls wir uns jetzt um die Regel S A kümmern, so erhalten wir: S AA, S b, S a und S B A a und A B B b und B A... das Spiel können wir beliebig iterieren 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

52 u Anmerkungen (cont.) besser ist es wie folgt vorzugehen S AA und S B A a und A B B b und B A wir schauen uns nur die Regeln vom Typ C an S A, A B und B A da sie einen Zyklus enthalten, können wir die Variablen A und B in jeder Regel von G durch eine neue Variable H ersetzen S AA und S H H a und H H H b und H C... jetzt können wir die Regeln H H streichen und wie gehabt weitermachen 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

53 u Verallgemeinerung (/* Schritt 3 */) betrachte in G alle Regeln vom Typ C gemeinsam, d.h. alle Regeln der Form X Y überprüfe, ob diese Regeln zyklenfrei sind falls ja, wähle eine neue Variable H und ersetze in jeder Regel von G jeder Variable X, die in diesem Zyklus vorkommt, durch die neue Variable H und streiche alle neuen Regeln der Form H H falls nein, verfahre mit den verbliebenden Regeln der Form X Y wie bereits erläutert, wobei zu beachten ist: im Fall, dass mehr als eine Regel vom Typ C übrigbleibt, wähle stets eine Regel X Y für die es keine Regel der Form Y Z in der Menge der verbliebenden Regeln vom Typ C gibt 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

54 u Beispiel Σ = { a,b } V = { S,A,B,C } Σ = { a,b } V = { S,H } S AA S AC S A A B B A B C A a B b C AA S A A B B A B C A = B S HH S HC S H H H H H H C H a H b C HH S HH S HC S H H HH H a H b C HH... 2/5, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik