Nachklausur zur Vorlesung

Transkript

1 Lehrstuhl für Theoretische Informatik Prof. Dr. Markus Lohrey Grundlagen der Theoretischen Informatik Nachklausur Nachklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik WS 2016/17 / 27. Februar 2017 Vorname: Nachname: Aufgabe Punktzahl Erreicht Σ 100

2 Prüfungsdauer: 180 Minuten Generelle Hinweise: Wenn Sie in der Klausur 50 Punkte erreichen, haben Sie mit Sicherheit bestanden. Hilfsmittel: Ein beidseitig beschriebenes DIN A4 Blatt. Benutzen Sie ein dokumentenechtes Schreibgerät. Überprüfen Sie die Ihnen ausgehändigte Klausur auf Vollständigkeit (15 Aufgaben + 1 Bonusaufgabe auf 17 Seiten inkl. Deckblatt). Tragen Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matr.-Nr. in die entsprechenden Felder ein. Schreiben Sie ihre Lösungen in die dafür vorgesehenen Felder. Reicht der Platz in einem Feld nicht aus, so benutzen Sie die Rückseite des entsprechenden Blattes und vermerken Sie dies auf der Vorderseite. Reicht der Platz dennoch nicht aus, können Sie die Aufsicht nach zusätzlichen Blättern fragen. Schreiben Sie bitte deutlich. Unleserliche Lösungen sind ungültig. Ein Täuschungsversuch führt umgehend zum Ausschluss und Nichtbestehen. Es erfolgt keine Vorwarnung. Alle mitgeführten elektronischen Geräte sind vor der Klausur bzw. spätestens jetzt auszuschalten. Inhaltliche Hinweise: Endliche Automaten können wahlweise graphisch oder tabellarisch angegeben werden. In den While- und Loop-Programmen dürfen Sie die Addition, Multiplikation, die in der Vorlesung definierte Subtraktion und für eine Variable x die Bedingung If x = 0 Then P End als While- bzw. Loop-berechenbar voraussetzen und in Ihren Programmen verwenden. Geben Sie an, in welcher Variable der Ausgabewert am Ende steht. Sie dürfen annehmen, dass die Addition und Multiplikation zweier natürlicher Zahlen primitiv rekursiv sind. Für die Konstruktion von µ- bzw. primitiv rekursiven Funktionen und für Whileund Loop-Programme darf die Schreibweise aus den Übungen benutzt werden.

3 Aufgabe 1. (20 Punkte) In jeder der 10 Teilaufgaben gibt es drei mögliche Antworten, von denen eine, zwei oder auch alle drei Antworten richtig sein können. Für jede Teilaufgabe gibt es 2 Punkte, die nur vergeben werden, wenn alle Kreuze innerhalb der Teilaufgabe richtig gesetzt wurden. (1) Sei L = {(ab) n n 10}. L ist regulär. L ist kontextfrei. L ist endlich. (2) Sei L Σ eine Sprache. Dann gilt: (L ) = L (L + ) + = L + (L + ) = (L ) + (3) Sei L Σ eine reguläre Sprache. Dann gilt: Es gibt einen NFA M, der L erkennt. L ist endlich. Jedes Wort in L ist endlich. (4) Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter... Vereinigung. Schnitt. Konkatenation. (5) Für die regulären Ausdrücke α = (aa bb) und β = (bb aabb) gilt... L(α) L(β) L(α) L(β) L(α) = L(β) (6) Die Grammatik G = ({S}, {a, b}, P, S), wobei P = {S SS S b}, ist kontextfrei. in Chomsky-Normalform. regulär. (7) Die Funktion f : N N, f(n) = 2 22n ist primitiv rekursiv. µ-rekursiv. Turing-berechenbar. (8) Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Jedes While-Programm terminiert. Jedes Loop-Programm terminiert. Jedes Goto-Programm terminiert. (9) Wenn L Σ entscheidbar ist, dann ist... L semi-entscheidbar. Σ \L unentscheidbar. Σ \L entscheidbar. (10) Die Sprache A sei reduzierbar auf die Sprache B. Dann gilt: Wenn A unentscheidbar ist, dann ist B unentscheidbar. Wenn B entscheidbar ist, dann ist A entscheidbar. Wenn B unentscheidbar ist, dann ist A unentscheidbar. Seite 1 von 15

4 Aufgabe 2. (9 Punkte) Sei Σ = {a, b}. Geben Sie für jede der folgenden Sprachen einen endlichen Automaten und einen regulären Ausdruck an. (a) L 1 = {w Σ w enthält nicht das Teilwort ab} (b) L 2 = {w Σ w endet mit b oder w ist gerade} (c) L 3 = {ab n a n 0} Seite 2 von 15

5 Aufgabe 3. (6 Punkte) Gegeben sei der NFA M = ({1, 2, 3}, {a, b}, δ, {1}, {2}), wobei δ gegeben ist durch: δ a b 1 {2, 3} {3} 2 3 {3} {1, 2} (a) Zeichnen Sie das zu M gehörige Automatendiagramm. (b) Geben Sie mittels Potenzmengenkonstruktion einen zu M äquivalenten DFA an. Es genügt den vom Startzustand erreichbaren Teil anzugeben. Seite 3 von 15

6 Aufgabe 4. (6 Punkte) Minimieren Sie den folgenden DFA mit dem Algorithmus aus der Vorlesung. Geben Sie an, welche Zustandspaare in welcher Reihenfolge markiert werden. 7 a a, b a b b a a b b b b a a Seite 4 von 15

7 Aufgabe 5. (5 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgende Sprache L über Σ = {0, 1} nicht regulär ist: L = {a 1 a n {0, 1} a a n n 2 } (L ist also die Menge der Bitstrings, die mindestens so viele 1en wie 0en enthalten.) Seite 5 von 15

8 Aufgabe 6. (5 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgende Sprache L über Σ = {a, b} nicht kontextfrei ist: L = {w n w Σ, w = n} Seite 6 von 15

9 Aufgabe 7. (6 Punkte) Gegeben sei die Grammatik G = ({S, A, B}, {a, b}, S, P ) mit P : S a T S CT T c AU T T U SA AB A a B b C c. Testen Sie mit dem CYK-Algorithmus, ob das Wort ccaab in L(G) enthalten ist. Seite 7 von 15

10 Aufgabe 8. (8 Punkte) Gegeben sei die Sprache L = {a 2(n 1) b n n 1}. (a) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, die L produziert. (b) Konstruieren Sie einen Kellerautomaten, der L erkennt. Seite 8 von 15

11 Aufgabe 9. (5 Punkte) Sei M = ({z 0, z 1 }, {a, b}, {a, b, }, δ, z 0,, {z 1 }) die deterministische Turingmaschine mit - δ(z 0, a) = (z 0, b, L) - δ(z 0, b) = (z 1, b, N) - δ(z 0, ) = (z 0,, R) (a) Akzeptiert M das Wort w 1 = aaaaaaaa? ja nein (b) Akzeptiert M das Wort w 2 = ε? ja nein (c) Welche Sprache akzeptiert M? Seite 9 von 15

12 Aufgabe 10. (8 Punkte) (a) Geben Sie ein Loop-Programm an, welches die Funktion { max(x, y), wenn z 0, f(x, y, z) = min(x, y), sonst. berechnet. (b) Geben Sie an, welche partielle Funktion f : N 2 N das folgende While- Programm berechnet (Eingabevariablen sind x 1 und x 2, die Ausgabevariable ist x 1 ): x 3 := x 1 x 2 ; While x 3 0 Do End; x 1 := x 3 + x 2 Seite 10 von 15

13 Aufgabe 11. (5 Punkte) Seien L, K Σ entscheidbare Sprachen. Beweisen Sie, dass die Sprache (L \ K) (L \ K) entscheidbar ist. Hinweis: Es genügt eine intuitive Beschreibung, wie die charakteristische Funktion berechnet werden kann. Seite 11 von 15

14 Aufgabe 12. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgende Funktion f : N N N primitivrekursiv ist. f(x, y) = 4 2x+1 2 y+1 Seite 12 von 15

15 Aufgabe 13. (4 Punkte) Geben Sie an, welche Funktionen von µf und µg berechnet werden, wobei f und g wie folgt definiert sind. (a) f(n, x, y) = x + (y n) (b) g(n, x, y) = x y (2 n) Aufgabe 14. (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x, y) = x µ-rekursiv ist. 2y+1 Seite 13 von 15

16 Aufgabe 15. (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : N N mit f(n) = 3 (n mod 2), Geben Sie eine Turing-Maschine an, die f berechnet. Beachten Sie, dass die Eingabezahl n als Binärzahl auf dem Band steht (z.b. kodiert 110 die Eingabezahl 6). Seite 14 von 15

17 Aufgabe 16. (5 Punkte (Bonus)) Sei L Σ und R L die Myhill-Nerode-Äquivalenzrelation bezüglich L. Zeigen Sie, dass für alle x, y, z Σ gilt: x R L y = xz R L yz Seite 15 von 15