Theoretische Informatik I

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1 Theoretische nformatik inheit 3 Kontextfreie Sprachen 1. Kontextfreie Grammatiken 2. Pushdown Automaten 3. igenschaften kontextfreier Sprachen

2 Theoretische nformatik inheit 3.1 Kontextfreie Grammatiken 1. Grammatiken und Ableitungen 2. Ableitungsbäume 3. Mehrdeutigkeiten

3 Grammatiken für Programmiersprachen Grammatiken beschreiben Aufbau von Sprachen Produktionsregeln generieren nichtdeterministisch alle Worte der Sprache Grammatiken können sehr komplexe Sprachen beschreiben Chomsky Hierarchie klassifiziert Grammatiken nach Freiheitsgraden Typ-3 Grammatiken sind einfach & effizient Umwandelbar in endlichen Automaten und reguläre Ausdrücke rkennung von Worten der Sprache in chtzeit Programmiersprachen können nicht regulär sein Korrekte Klammerausdrücke / Schachtelungen sind nicht regulär Die meisten Programmstrukturen enthalten Schachtelungen Blöcke, if-then-else, arithmetische Ausdrücke,... Syntaxanalyse und Compilation von Programmiersprachen braucht kontextfreie Grammatiken Theoretische nformatik 3: 1 Kontextfreie Grammatiken

4 Anwendungen kontextfreier Sprachen Alle bedeutenden Computersprachen sind kontextfrei Programmiersprachen Compiler kann kontextfreie Grammatiken effizient verarbeiten Parser kann aus kontextfreier Grammatik automatisch erzeugt werden Standard Unix tool YACC unterstützt schnellen Compilerentwurf Markup Sprachen HTML: Formattierung von Dokumenten mit Links zu Programmaufrufen XML: inheitliche Beschreibung der Semantik von Dokumenten Beide Sprachen erfordern die Mächtigkeit von kontextfreie Grammatiken Mehr in HMU 5.3 Theoretische nformatik 3: 2 Kontextfreie Grammatiken

5 Kontextfreie Grammatiken Grundbegriffe ine kontextfreie Grammatik (kfg) ist ein 4-Tupel G = (V, T, P, S) mit T endliches Terminalalphabet V endliches Hilfsalphabet mit V T = P V Γ endliche Menge der Produktionen (wobei Γ = V T ) S V Startsymbol Die übliche Schreibweise für Produktionen (A, r) P ist A r ine kompakte Notation für A r 1, A r 2..A r n ist A r 1 r 2.. r n Ableitungbarkeit in G w z x, y Γ. A r P. w=x A y z=x r y w z n N. w n z wobei w 0 z w=z und w n+1 z u Γ. w u u Von G erzeugte Sprache: L(G) {w T S w} n z Theoretische nformatik 3: 3 Kontextfreie Grammatiken

6 Grammatik für geschachtelte Klammerausdrücke G 4 = ( {S}, {(, )}, {S (S), S ɛ}, S ) Zeige L(G 4 ) = {( k ) k k N} Beweise durch nduktion über Länge der Ableitung k N. w {(, )}. S k+1 w w = ( k ) k Basisfall S 1 w (S w) P w = ɛ w = ( 0 ) 0 nduktionsschritt s gelte v {(, )}. S k+1 v v = ( k ) k S k+2 w S (S) k+1 w v {(, )}. S k+1 v w = (v) v {(, )}. v = ( k ) k w = (v) w = ( k+1 ) k+1 (Annahme) {( k ) k k N} L 2 L 3 Theoretische nformatik 3: 4 Kontextfreie Grammatiken

7 Kontextfreie Grammatik für Palindrome L(G 5 ) = {w {0, 1} w = w R } G 5 = ({S}, {0, 1}, P, S) mit P = {S ɛ, S 0, S 1, S 0S0, S 1S1} Beweise durch nduktion über Länge der Ableitung k N. w {0, 1}. S k+1 w w = w R w {2k, 2k+1} Basisfall S 1 w (S w) P w {0, 1, ɛ} w = w R w {0, 1} nduktionsschritt s gelte v {0, 1}. S k+1 v v = v R v {2k, 2k+1} S k+2 w S 0S0 k+1 w S 1S1 k+1 w v {0, 1}. S k+1 v w = 0v0 w = 1v1 v {0, 1}. v = v R v {2k, 2k+1} w = 0v0 w = 1v1 w = w R w {2k+2, 2k+3} Theoretische nformatik 3: 5 Kontextfreie Grammatiken

8 Grammatik für Arithmetische Ausdrücke Ausdrücke über Operatoren + und Bezeichner (dentifier): Buchstabe gefolgt von Buchstaben/Ziffern Buchstaben a, b, Ziffern 0, 1 Ausdrücke (xpressions): Schachtelung mit +, und Klammern G 6 = ({, }, {a, b, 0, 1, +,, (, )}, P, ) mit P = { + () a b a b 0 1 } Theoretische nformatik 3: 6 Kontextfreie Grammatiken

9 Links- und rechtsseitige Ableitungen Strategie für Auswahl von Produktionen Beliebige Ableitung () (+) (+) (+) (a+) (a+0) (a+00) (a+b00) a (a+b00) Linksseitige Ableitung w L z n w wird die am weitesten links stehende Variable ersetzt L L L a L a () L a (+) L a (+) L a (a+) L a (a+) L a (a+0) L a (a+00) L a (a+b00) Rechtsseitige Ableitung w R z n w wird die am weitesten rechts stehende Variable ersetzt R R () R (+) R (+) R (+0) R (+00) R (+b00) R (+b00) R (a+b00) R (a+b00) R a (a+b00) Theoretische nformatik 3: 7 Kontextfreie Grammatiken

10 Ableitungsbäume (Parsebäume) Baumdarstellung von Ableitungen Geordneter markierter Baum nnere Knoten mit Variablen A V markiert Wurzel markiert mit Startsymbol Blätter mit Terminalsymbolen a T oder mit ɛ markiert Hat ein innerer Knoten Markierung A und Nachfolger mit Markierungen v 1...v n so ist A v 1...v n P xkurs: Notation für Bäume Baum: Sammlungen von Knoten mit Nachfolgerrelation Nachfolger sind geordnet in Knoten hat maximal einen Vorgänger Wurzel: Knoten ohne Vorgänger Blatt / nnerer Knoten: Knoten ohne/mit Nachfolger Nachkommen: transitive Hülle der Nachfolgerrelation ( ) a + a 0 0 b Theoretische nformatik 3: 8 Kontextfreie Grammatiken

11 Ableitungsbäume repräsentieren Ableitungen Blätter repräsentieren Terminalworte Auslesen durch Tiefensuche von links nach rechts a (a + b00) Baum repräsentiert Ableitungen S Rekursive rzeugung beginnend mit Wurzel Vorrang für tiefe linke Knoten ergibt Linksableitung L L L a L a () L a (+) L a (+) L a (a+) L a (a+) L a (a+0) L a (a+00) L a (a+b00) Vorrang für tiefe rechte Knoten ergibt Rechtssableitung a ( ) + a 0 0 w es gibt einen Ableitungsbaum mit Blattmarkierung w : Konstruiere Baum induktiv aus Linksableitung von w : xtrahiere Linksableitung von w induktiv aus Baum HMU 5.2 b Theoretische nformatik 3: 9 Kontextfreie Grammatiken

12 Wann ist der Ableitungsbaum eindeutig? + + c a a b b c a b + c hat zwei Ableitungen in G a + a + a b+ a b+ a b+c a a + a + a b+ a b+ a b+c Beide Ableitungen sind Linksableitungen Grammatik G 6 ist mehrdeutig Worte der Sprache können nicht eindeutig analysiert werden Theoretische nformatik 3: 10 Kontextfreie Grammatiken

13 Mehrdeutigkeit indeutige Grammatik G = (V, T, P, S) Jedes Wort w L(G) hat genau einen Ableitungsbaum Andernfalls ist G mehrdeutig (ein w L(G) hat mindestens zwei verschiedene Ableitungsbäume) G 6 ist mehrdeutig indeutige Sprache L s gibt eine eindeutige Grammatik G mit L = L(G) Andernfalls ist L inhärent mehrdeutig (eine eindeutige Grammatik kann nicht angegeben werden) Die Sprache von G 6 ist eindeutig {0 i 1 j 2 k i=j j=k} ist inhärent mehrdeutig Buch von Wegener Programmiersprachen mussen eindeutig sein Theoretische nformatik 3: 11 Kontextfreie Grammatiken

14 Auflösung von Mehrdeutigkeiten G 6 = ({, }, {a, b, 0, 1, +,, (, )}, P, ) mit P = { + (), a b a b 0 1 } G 6 beinhaltet keine Konventionen für und + bindet stärker als + und + werden als linkssassoziativ angesehen Alle anderen Lesarten benötigen Klammern Prioritätsregeln können indeutigkeit erzeugen Niedrigste Prioriät + steht linkssassoziativ außen T erme Höhere Prioriät steht linkssassoziativ innen F aktoren Faktoren können Bezeichner oder Ausdrücke in Klammern sein G 6 = ({, T, F, }, {a, b, 0, 1, +,, (, )}, P, ) mit P = { T +T, T F T F, F () a b a b 0 1 } G 6 ist äquivalent zu G 6 und eindeutig Theoretische nformatik 3: 12 Kontextfreie Grammatiken

15 indeutigkeit von G 6 P = { T +T, T F T F, F () a b a b 0 1 } Jeder Term muß aus einer Faktorenfolge bestehen Faktorenfolge muß von rechts nach links erzeugt werden Faktoren sind nur Bezeichner oder Ausdrücke in Klammern s gibt nur einen Parsebaum für f 1 f 2... f n Jeder Ausdruck muß aus einer Termfolge bestehen Termefolge muß von rechts nach links erzeugt werden Terme haben keine Ausdrücke als direkte Teile s gibt nur einen Parsebaum für t 1 + t t k + T T T F F F a b c inziger Ableitungsbaum für a b + c Theoretische nformatik 3: 13 Kontextfreie Grammatiken

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